4.1不定積分的概念與性質第四章不定積分

基礎教學部原函數的概念01不定積分的概念02目錄不定積分的基本公式03不定積分的基本運算法則04不定積分的幾何意義054.1.1原函數的概念定義1設函數與在區間上都有定義，并且在該區間內的任一點都有那么函數就稱為函數在區間上的一個原函數．例如，因為，所以是在上的一個原函數；因為

，所以是在上的一個原函數.4.1.1原函數的概念事實上，研究原函數必須解決以下兩個重要問題：（1）一個函數具備什么條件，能保證它的原函數一定存在？如果存在，是否只有一個？（2）若已知某函數的原函數存在，又怎樣把它求出來？定理4.1如果函數在區間上連續，則函數在區間上存在原函數．4.1.1原函數的概念定理4.2如果函數是在區間上的一個原函數，則1)也是的原函數，其中為任意常數；2)的任意兩個原函數之間只差一個常數；證

1)對任意常數，因為所以是的原函數，即的原函數有無限多個．2)設是的另一個原函數，則有根據拉格朗日中值定理的推論2，可知,因此．原函數的概念01不定積分的概念02目錄不定積分的基本公式03不定積分的基本運算法則04不定積分的幾何意義054.1.2不定積分的概念定義2函數在區間上的全體原函數稱為函數在區間上的不定積分，記作其中記號稱為積分號，稱為被積函數，稱為被積表達式，稱稱為積分變量．由定義2可見，不定積分與原函數是總體與個體的關系，即若函數由是在區間上的一個原函數，則函數在區間上的不定積分是一個函數族，其中是任意常數，即4.1.2不定積分的概念例4.1求下列不定積分：解

(1)因為，所以

．(2)當時，由于，所以是在內的一個原函數．因此，在內，當時，由于，所以是在內的一個原函數．因此，在內，綜合以上兩種情況，可得4.1.2不定積分的概念從不定積分的定義可知，積分運算和微分運算互為逆運算，有如下關系：由于是的原函數，所以又由于是的原函數，所以原函數的概念01不定積分的概念02目錄不定積分的基本公式03不定積分的基本運算法則04不定積分的幾何意義054.1.3不定積分的基本公式4.1.3不定積分的基本公式解

例4.2求不定積分解

例4.3求不定積分原函數的概念01不定積分的概念02目錄不定積分的基本公式03不定積分的基本運算法則04不定積分的幾何意義054.1.4不定積分的基本運算法則法則1兩個函數的代數和的積分等于各個函數不定積分的代數和，即法則2被積表達式中的非零常數因子可提到積分號外，即解

例4.4求不定積分4.1.4不定積分的基本運算法則解

例4.5求不定積分解

例4.6求不定積分4.1.4不定積分的基本運算法則解

例4.7求不定積分解

例4.8求不定積分求不定積分時，有時要對被積函數進行恒等變形，利用不定積分的線性運算性質，轉化為基本積分公式表中存在的不定積分，從而得到它們的不定積分，這種方法稱為直接積分法．原函數的概念01不定積分的概念02目錄不定積分的基本公式03不定積分的基本運算法則04不定積分的幾何意義054.1.5不定積分的幾何意義函數在區間上的一個原函數，表示一條曲線，稱為函數的一條積分曲線．曲線上點處的切線斜率等于，即．由于函數的不定積分是的全體原函數（為任意常數），對于每一個給定的的值，都有一條確定的積分曲線，當取不同的值時，就得到不同的積分曲線，所有的積分曲線組成了積分曲線族．4.1.5不定積分的幾何意義解設所求曲線方程為，由題意可知，所以例4.9