1、3.3 3.3 單自由度彈性體系的水平地震作用與抗震設計反應譜單自由度彈性體系的水平地震作用與抗震設計反應譜一、單自由度體系的水平地震作用一、單自由度體系的水平地震作用 對于單自由度體系，把慣性力看作反映地震對結構體對于單自由度體系，把慣性力看作反映地震對結構體系影響的等效力，用它對結構進行抗震驗算。系影響的等效力，用它對結構進行抗震驗算。1 1、水平地震作用基本公式、水平地震作用基本公式 .gF tm xtx t 作用在質點上的慣性力等于質量作用在質點上的慣性力等于質量m乘以它的絕對加速乘以它的絕對加速度（即地面加速度和質點相對加速度）度（即地面加速度和質點相對加速度） .gkx tcx t

2、m xtx t若將上式代入（若將上式代入（2）并考慮到）并考慮到 遠小于遠小于 而忽略不計，則得：而忽略不計，則得： .( )cx t( )kx tFtk xt F tkx t 1x tF tF tk為桿件柔度系數，某點在單位力下的側向位移。上式等號左邊為桿件柔度系數，某點在單位力下的側向位移。上式等號左邊為地震作用時質點產生的相對位移，等號右側為該瞬時慣性為地震作用時質點產生的相對位移，等號右側為該瞬時慣性力使質點產生的相對位移。因此，可以認為，在某瞬時地震力使質點產生的相對位移。因此，可以認為，在某瞬時地震作用使結構產生的相對位移是該瞬時的慣性力引起的。作用使結構產生的相對位移是該瞬時的慣

3、性力引起的。將解微分方程所得的相對位移的解書將解微分方程所得的相對位移的解書P50式式3-12代入上式得代入上式得 .0sinttgF tmxetd 由上式可見，水平地震作用是時間由上式可見，水平地震作用是時間t的函數的函數它的大小隨時間而變化它的大小隨時間而變化在抗震設計中，不需要求出每一時刻的地震作用數值，只在抗震設計中，不需要求出每一時刻的地震作用數值，只需要求出最大絕對值即可。則取上式的最大絕對值需要求出最大絕對值即可。則取上式的最大絕對值F .0maxsinttgFmxetd設設.maxgasx令令 .0maxsinttgasxetd.maxgxkg（3）代入式（代入式（3）并以）并

4、以 代替代替F，則得：，則得：EkF質點加速度最大值質點加速度最大值地震動峰值地震動峰值加速度加速度地震系數地震系數動力系數動力系數EkFmkgk G.maxgxkg.maxgxkg峰值加速度峰值加速度 即地震時在某處所記錄下來的加速度最大即地震時在某處所記錄下來的加速度最大值。很顯然，與地震烈度有因果關系的影響，地面加速度越值。很顯然，與地震烈度有因果關系的影響，地面加速度越大，地震烈度一般越大。不同的大，地震烈度一般越大。不同的 對應不同的地震烈度，對應不同的地震烈度，即有不同即有不同 對應不同烈度，從而根據對應不同烈度，從而根據中國地震動參數區劃中國地震動參數區劃圖圖所規定的地震動峰值加

5、速度取值（與設計基本加速度取值所規定的地震動峰值加速度取值（與設計基本加速度取值相當）相當） ，可得到抗震設防烈度與地震系數的對應關系參見書，可得到抗震設防烈度與地震系數的對應關系參見書P52表表3-1 .maxgx.maxgxkb、動力系數、動力系數 是地震作用下最大反應加速度與地面最大是地震作用下最大反應加速度與地面最大加速度之比加速度之比.maxgsx單質點體系的最大加速度（絕單質點體系的最大加速度（絕對加速度）對加速度）地面最大加速度地面最大加速度 .0maxsinttgasxetd.maxgsx .0max.maxsinttggxetdx2T .0max.maxsin2ttggxet

6、dTx.maxgx.maxgxT.maxgxk.max.maxggxSSakggx單質點體系的最大加速度（絕對加速度 ） .gxtx tEkFmkgk GEkFaGEkFaG0.1Tsmax0.1Ts*0.1gsTTmaxgT*5ggTTT0.9maxgTT*56gTTs0.9max0.20.025gTT2GTgk11kk maxmaxkmaxmaxkmaxmaxmaxmax0.452.25kmaxmaxmaxmaxmaxkmax2.25maxkmaxgT-特征周期；特征周期；)(sT01 . 0gTgT50 . 6max2max45. 0max2)(TTgmax12)5(2 . 0gTT 地

7、震特征周期分組的特征周期值（地震特征周期分組的特征周期值（s s）0.90 0.65 0.450.35第三組第三組0.75 0.55 0.400.30第二組第二組0.65 0.45 0.35 0.25第一組第一組 場地類別場地類別-曲線下降段的衰減指數；曲線下降段的衰減指數；1-直線下降段的斜率調整直線下降段的斜率調整系數；系數；2-阻尼調整系數，小于阻尼調整系數，小于 0.550.55時，應取時，應取0.550.55。55 . 005. 09 . 08/ )05. 0(02. 017 . 106. 005. 012-地震影響系數；地震影響系數；max-地震影響系數最地震影響系數最 大值；大值

8、；地震影響系數最大值地震影響系數最大值 1.400.90(1.20)0.50(0.72)-罕遇地震罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震多遇地震 9 8 7 6地震影響地震影響烈度烈度 括號數字分別對應于設計基本加速度括號數字分別對應于設計基本加速度0.15g0.15g和和0.30g0.30g地區的地震影響系數地區的地震影響系數T-結構周期；結構周期；)(sT01 . 0gTgT50 . 6max2max45. 0max2)(TTgmax12)5(2 . 0gTT maxmaxmaxmaxmaxmaxmaxmax解：解：（1 1）求結構體系的自振周期）求結構體

9、系的自振周期kN/m249601248021222hiKct 4 .71s/m8 . 9/kN700/2gGms336. 024960/4 .712/2KmT（2 2）求水平地震影響系數）求水平地震影響系數查表確定查表確定max16. 0max地震影響系數最大值（阻尼比為地震影響系數最大值（阻尼比為0.050.05）1.400.90(1.20)0.50(0.72)-罕遇地震罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震多遇地震 9 8 7 6地震影響地震影響烈度烈度例：單層單跨框架。屋蓋剛度為無窮大，質量集中于屋例：單層單跨框架。屋蓋剛度為無窮大，質量集中于屋蓋處。已

10、知設防烈度為蓋處。已知設防烈度為8 8度，設計地震分組為二組，度，設計地震分組為二組，類類場地；屋蓋處的重力荷載代表值場地；屋蓋處的重力荷載代表值G=700kNG=700kN，框架柱線剛，框架柱線剛度度 , ,阻尼比為阻尼比為0.050.05。試求該結構多。試求該結構多遇地震時的水平地震作用。遇地震時的水平地震作用。 mkN106 . 2/4hEIicch=5mh=5m查表確定查表確定max16. 0max解：解：例：單層單跨框架。屋蓋剛度為無窮大，質量集中于屋例：單層單跨框架。屋蓋剛度為無窮大，質量集中于屋蓋處。已知設防烈度為蓋處。已知設防烈度為8 8度，設計地震分組為二組，度，設計地震分組

11、為二組，類類場地；屋蓋處的重力荷載代表值場地；屋蓋處的重力荷載代表值G=700kNG=700kN，框架柱線剛，框架柱線剛度度 , ,阻尼比為阻尼比為0.050.05。試求該結構多。試求該結構多遇地震時的水平地震作用。遇地震時的水平地震作用。 mkN106 . 2/4hEIicc（1 1）求結構體系的自振周期）求結構體系的自振周期kN/m249601248021222hiKct 4 .71s/m8 . 9/kN700/2gGms336. 024960/4 .712/2KmT（2 2）求水平地震影響系數）求水平地震影響系數h=5mh=5m查表確定查表確定gT3 . 0gT地震特征周期分組的特征周期

12、值（地震特征周期分組的特征周期值（s s）0.90 0.65 0.450.35第三組第三組0.75 0.55 0.400.30第二組第二組0.65 0.45 0.35 0.25第一組第一組 場地類別場地類別解：解：例：單層單跨框架。屋蓋剛度為無窮大，質量集中于屋例：單層單跨框架。屋蓋剛度為無窮大，質量集中于屋蓋處。已知設防烈度為蓋處。已知設防烈度為8 8度，設計地震分組為二組，度，設計地震分組為二組，類類場地；屋蓋處的重力荷載代表值場地；屋蓋處的重力荷載代表值G=700kNG=700kN，框架柱線剛，框架柱線剛度度 , ,阻尼比為阻尼比為0.050.05。試求該結構多。試求該結構多遇地震時的水

13、平地震作用。遇地震時的水平地震作用。 mkN106 . 2/4hEIicc（1 1）求結構體系的自振周期）求結構體系的自振周期kN/m24960Kt 4 .71ms336. 0T（2 2）求水平地震影響系數）求水平地震影響系數16. 0maxh=5mh=5m3 . 0gTggTTT5144. 016. 0)336. 0/3 . 0(9 . 0（3 3）計算結構水平地震作用）計算結構水平地震作用kN8 .100700144.0GF0.9maxgTT周期計算周期計算2GTgyE I二、重力荷載代表值的確定二、重力荷載代表值的確定 結構的重力荷載代表值等于結構和構配件自重標準結構的重力荷載代表值等于

14、結構和構配件自重標準值值G Gk k加上各可變荷載組合值。加上各可變荷載組合值。niikQikQGG1ikQ-第第i i個可變荷載標準值；個可變荷載標準值；Qi-第第i i個可變荷載的組合值系數；個可變荷載的組合值系數； 不考慮不考慮 軟鉤吊車軟鉤吊車 0.3 硬鉤吊車硬鉤吊車 0.5 其它民用建筑其它民用建筑 0.8 藏書庫、檔案庫藏書庫、檔案庫 1.0按實際情況考慮的樓面活荷載按實際情況考慮的樓面活荷載 不考慮不考慮 屋面活荷載屋面活荷載 0.5屋面積灰荷載屋面積灰荷載 0.5 雪荷載雪荷載組合值系數組合值系數可變荷載種類可變荷載種類按等效均布荷載考慮按等效均布荷載考慮的樓面活荷載的樓面活

15、荷載吊車懸吊物重力吊車懸吊物重力組合值系數組合值系數 多自由度地震作用分析又稱作振型分解反應譜法多自由度地震作用分析又稱作振型分解反應譜法, ,顧名思義不難想到是利用振型分解和反應譜來解決多顧名思義不難想到是利用振型分解和反應譜來解決多自由度體系的地震反應自由度體系的地震反應. .1 1、反應譜理論的適用條件、反應譜理論的適用條件實際上反應譜理論有如下三個假定實際上反應譜理論有如下三個假定: : 1) 1) 結構的地基是剛性盤體結構的地基是剛性盤體. . 這一假定對一般建筑物由于其長度遠小于地震波這一假定對一般建筑物由于其長度遠小于地震波的波長的波長, ,可認為近似滿足可認為近似滿足. .但對

16、于大跨度橋梁和大型但對于大跨度橋梁和大型水壩等結構水壩等結構, ,這一假定是不合理的這一假定是不合理的. .3.4 3.4 多自由度彈性體系的地震反應分析多自由度彈性體系的地震反應分析 振型分解反應譜法振型分解反應譜法3 3) ) 地面運動過程可以用地震記錄來表示地面運動過程可以用地震記錄來表示. . 雖然地震儀在高頻和低頻部分有失真雖然地震儀在高頻和低頻部分有失真, ,但是除但是除地震記錄外地震記錄外, ,沒有更可靠的資料能說明地震地沒有更可靠的資料能說明地震地面運動的規律面運動的規律. .2) 2) 結構是理想彈性體結構是理想彈性體. . 在小震作用下在小震作用下, ,結構不破壞結構不破壞

17、, ,可近似看作彈性可近似看作彈性體體. .但在大震、罕遇地震作用下但在大震、罕遇地震作用下, ,我國抗震設我國抗震設計原則是計原則是“大震不倒大震不倒”, ,允許結構進入非彈允許結構進入非彈性狀態性狀態, ,此時反應譜理論不適用此時反應譜理論不適用. .2 2、計算簡圖、計算簡圖對于多層框架結構，應按集中質量法將上下層之間的結構對于多層框架結構，應按集中質量法將上下層之間的結構重力荷載、樓面（或屋面）可變荷載集中于樓面（或重力荷載、樓面（或屋面）可變荷載集中于樓面（或屋面）標高處。設他們的質量為屋面）標高處。設他們的質量為m mi i 并假設這些質點由并假設這些質點由無重量的彈性直桿支承于地

18、面上，即可將多層框架簡無重量的彈性直桿支承于地面上，即可將多層框架簡化成多質點彈性體系。化成多質點彈性體系。ii+1m1m2mimn實際工程中，多層或高層工業與民用建筑可簡化實際工程中，多層或高層工業與民用建筑可簡化成多質點體系來計算。成多質點體系來計算。3 3、多質點體系的運動狀態、多質點體系的運動狀態2 2n n1 1i in-1n-1m m2 2m mn nm m1 1m mi im mn-1n-1解解: :例例. .求圖示體系的頻率、振型求圖示體系的頻率、振型. . 已知已知: :.;2121mmmkkk0222221122111mkkkmkm12k1EI1EI1km201212121

19、11XmXkXk0222222121XmXkXkkkkk22111kkk2112kk220222mkkkmk0)(2(222kmkmkmk /618. 01mk /618. 12618. 01;618. 1122122111XXXX 618. 111X 618. 012X1 11.6181.6181 10.6180.618 1X 2X（1 1）多自由度彈性體系動力分析回顧）多自由度彈性體系動力分析回顧1 112121112211mAAm 6顯然，這一比值與時間顯然，這一比值與時間t無關。體系按無關。體系按振動過程中，任一時刻各質點的位移比值振動過程中，任一時刻各質點的位移比值 等于等于 即始終

20、保持不變。同理取即始終保持不變。同理取 時時得到下面的式子：得到下面的式子：1 1211xtxt1211AA21 112222212121mAAm 7顯然，這一比值也與時間無關，體系按顯然，這一比值也與時間無關，體系按 振動過程中，任一振動過程中，任一時刻各質點的位移比值時刻各質點的位移比值 等于等于 ，也始終保持不，也始終保持不變。綜上所述，對應于頻率變。綜上所述，對應于頻率 和和 的運動方程的特解的運動方程的特解是相應于這樣的兩種振動：前者各質點按是相應于這樣的兩種振動：前者各質點按 的比值作簡諧的比值作簡諧調振動；后者各質點按調振動；后者各質點按 的比值作簡諧振動。他們在各的比值作簡諧振

21、動。他們在各自的振動過程中，振動形式保持不變，而只改變大小和方自的振動過程中，振動形式保持不變，而只改變大小和方向。向。2 2221xtxt2221AA211211AA2221AA1 1121211211221111mAxAmx 1 1122222221212211mAxAmx 上面兩式非常重要，在后面計算振型參與系數上面兩式非常重要，在后面計算振型參與系數 時會用時會用到。到。按振型振動時的運動規律按振型振動時的運動規律m1)(1tym2)(2ty)sin()()sin()(2211iiiiiitXtytXty按按i i振型振動時，質點的位移為振型振動時，質點的位移為質點的加速度為質點的加速

22、度為)sin()()sin()(222211iiiiiiiitXtytXty 質點上的慣性力為質點上的慣性力為)sin()()sin()(222222211111iiiiiiiitXmymtItXmymtI 質點上的慣性力與位移同頻同步。質點上的慣性力與位移同頻同步。11X21X211iiXm222iiXm 振型可看成是將按振型振動時的慣性力幅值作為靜振型可看成是將按振型振動時的慣性力幅值作為靜荷載所引起的靜位移。荷載所引起的靜位移。（2 2）振型的正交性振型的正交性( (證明見書證明見書P64)P64)i i振型振型NiiiiXXXX21i i振型上的慣性力振型上的慣性力NiiiNiNiiN

23、iiiiXXXmmmXmXmXm212122222121 iiXm21m2miX1NmiX2NiX1m2mjX1NmjX2NjXj j振型振型NiiiiXXXX21i i振型上的慣性力在振型上的慣性力在j j振型上作的虛功振型上作的虛功jiijiiijXXmXXmW22221121iTjiXmX2iiXm121iiXm222NiiNXm2i i振型振型j j振型振型j j振型上的慣性力振型上的慣性力jjNiiNiiiiXmXmXmXm22222121 i i振型上的慣性力在振型上的慣性力在j j振型上作的虛功振型上作的虛功iTjiijXmXW21m2miX1NmiX2NiX1m2mjX1Nmj

24、X2NjXi i振型振型j j振型振型j j振型上的慣性力在振型上的慣性力在i i振型上作的虛功振型上作的虛功jTijjiXmXW2iTjjXmX2jjXm121jjXm222NjjNXm2ijjiWW由虛功互等定理由虛功互等定理0)(22iTjijXmX0iTjXmX振型正交性的應用振型正交性的應用檢驗求解出的振型的正確性。檢驗求解出的振型的正確性。對耦聯運動微分方程組作解對耦聯運動微分方程組作解 耦運算等等耦運算等等. .主振型的正交性主振型的正交性:兩個不同的主振型的對應位置上的質點兩個不同的主振型的對應位置上的質點位移相乘位移相乘,再乘以該質點的質量再乘以該質點的質量,然后將各質點所求

25、出的上然后將各質點所求出的上述乘積作代數和述乘積作代數和,其值等于零其值等于零.（3 3）求解多質點彈性體系）求解多質點彈性體系設在振動過程中某瞬時質點設在振動過程中某瞬時質點m m1 1,m,m2 2, ,m,mn n的位的位移分別是移分別是 , , , 則作用在質點則作用在質點m m1 1,m,m2 2, ,m,mn n上的慣性力分別為上的慣性力分別為 .nnm xt .22m xt .11m x t設不考慮阻尼影響，根據疊加原理，可寫設不考慮阻尼影響，根據疊加原理，可寫出質點出質點mi的位移表達式：的位移表達式： .111222.iiinnnix tm x tm xtm xt 1,2,.

26、in .10nikkkikx tm xt可以寫成下面的形式可以寫成下面的形式：1,2,.in 單位力單位力F=1作用在質點作用在質點k上，質點上，質點i產生的水平位移，產生的水平位移， 稱為柔度系數。稱為柔度系數。ki對于對于n個質點的體系，線性微分方程組的通解可寫成：個質點的體系，線性微分方程組的通解可寫成： 1sinnijijjjx tAt單質點體系在諧波的作用下的振型稱為基本振型。單質點體系在諧波的作用下的振型稱為基本振型。由上式可知，任一地震波都可以分解為若干諧波由上式可知，任一地震波都可以分解為若干諧波的疊加，多質點體系按振型分解法計算地震作用的疊加，多質點體系按振型分解法計算地震作

27、用時，可以簡化為具有基本振型的等效單質點體系時，可以簡化為具有基本振型的等效單質點體系進行分析。一個多質點體系會有多個振型。是不進行分析。一個多質點體系會有多個振型。是不是所有振型都需要考慮呢？需要指出的是，實驗是所有振型都需要考慮呢？需要指出的是，實驗結果表明，振型越高，阻尼作用所造成的衰減越結果表明，振型越高，阻尼作用所造成的衰減越快，所以通常高振型只在振動初始才比較明顯，快，所以通常高振型只在振動初始才比較明顯，以后則逐漸衰減。以后則逐漸衰減。一般來說，低階振型對結構振動的影響要大于高一般來說，低階振型對結構振動的影響要大于高階振型的影響。對一般較規則的建筑物，選擇階振型的影響。對一般較

28、規則的建筑物，選擇的振型個數可以取其地震作用計算時的質點數的振型個數可以取其地震作用計算時的質點數（大多數情況下為樓層數），若質點數較多時，（大多數情況下為樓層數），若質點數較多時，根據計算結果可以只取前幾個振型（即低階振根據計算結果可以只取前幾個振型（即低階振型）進行疊加。也即，在建筑抗震設計中，僅型）進行疊加。也即，在建筑抗震設計中，僅考慮較低的幾個振型的影響。考慮較低的幾個振型的影響。 周期越大（也就是頻率越小）質點作簡諧振動周期越大（也就是頻率越小）質點作簡諧振動的振型越低，設計中，一般先取最大周期所對的振型越低，設計中，一般先取最大周期所對應的簡諧振動的振型作為第一振型。應的簡諧振動

29、的振型作為第一振型。質點的受力分析質點的受力分析取隔離體第取隔離體第i i個質點個質點S Si iR Ri i其中，其中，彈性恢復力：彈性恢復力：11221.niiininrirrSk xk xk xk x 阻尼力：阻尼力：.11221.niiininrirrRc xc xc xc x k kriri: :第第i i個質點產生單位位移，其余質點不動在第個質點產生單位位移，其余質點不動在第r r個質點產生的彈性反力。個質點產生的彈性反力。4、多質點彈性體系的水平受力平衡方程、多質點彈性體系的水平受力平衡方程c criri: :第第i i個質點產生單位速度，其余質點速度為個質點產生單位速度，其余質

30、點速度為0 0，在第，在第r r個質點產生的阻尼力。個質點產生的阻尼力。多質點體系的運動方程多質點體系的運動方程根據力的平衡列出方程如下：根據力的平衡列出方程如下： .11nnrgrirriirrk xtc xtmxtx t其中，其中，k k、m m、c c均為矩陣形式。上式即為多質點均為矩陣形式。上式即為多質點彈性體系在地震作用下的運動微分方程組。運彈性體系在地震作用下的運動微分方程組。運動方程的求解，詳細過程參見書動方程的求解，詳細過程參見書P66P66，此處簡，此處簡略介紹。略介紹。將體系任一質點將體系任一質點i i的位移的位移 按主振型展開：按主振型展開： 其中，其中， 稱為廣義坐標，稱為廣義坐標，它是時間的函數；它是時間