1、有志者，事竟成！ 隨機(jī)變量概述隨機(jī)變量概述 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量1隨機(jī)變量的概念2離散型與連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)字特征3二項(xiàng)分布、泊松分布、正態(tài)分布 1分布函數(shù)概念的理解2密度函數(shù)概念的理解3一般正態(tài)分布的概率計(jì)算例例 1 在在10件同類產(chǎn)品中，有件同類產(chǎn)品中，有3件次品，現(xiàn)件次品，現(xiàn)任取任取2件，用件，用X表示表示“2件中的次品數(shù)件中的次品數(shù)”，X的取值有哪些？對(duì)應(yīng)的概率是多少的取值有哪些？對(duì)應(yīng)的概率是多少?例例 2 “測(cè)試電子元件壽命測(cè)試電子元件壽命”試驗(yàn)，用試驗(yàn)，用Y表示表示 元件壽命元件壽命(小時(shí)小時(shí))，Y的取值如何的取值如何?一、隨機(jī)變量的概念一、隨

2、機(jī)變量的概念一個(gè)變量若滿足：一個(gè)變量若滿足：（1）取值的）取值的隨機(jī)性隨機(jī)性。即取到哪一個(gè)值事前。即取到哪一個(gè)值事前不知道，要由隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果而定；不知道，要由隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果而定；（2）取值的）取值的對(duì)應(yīng)性對(duì)應(yīng)性。即取到的每一個(gè)值都。即取到的每一個(gè)值都 對(duì)應(yīng)于某一隨機(jī)現(xiàn)象；對(duì)應(yīng)于某一隨機(jī)現(xiàn)象；（3）概率的）概率的確定性確定性。即它取某一個(gè)值或在。即它取某一個(gè)值或在 某一區(qū)間內(nèi)取值的概率是確定的。某一區(qū)間內(nèi)取值的概率是確定的。 稱這樣的變量為稱這樣的變量為隨機(jī)變量隨機(jī)變量，通常用大寫，通常用大寫 字母字母 X、Y、Z表示。表示。例例 1中，中， “兩件產(chǎn)品中沒有次品兩件產(chǎn)品中沒有次品”事件事件

3、可用可用 X=0表示表示 “兩件產(chǎn)品中至少一件次品兩件產(chǎn)品中至少一件次品”事件事件 可用可用 X1表示表示例例 2中，中， “元件壽命至少元件壽命至少1000小時(shí)小時(shí)”事件事件 可用可用 Y 1000表示表示 “元件壽命不足元件壽命不足500小時(shí)小時(shí)”事件事件 可用可用 Y500表示表示為什么要引入隨機(jī)變量？為什么要引入隨機(jī)變量？可使隨機(jī)事件數(shù)量化，便于數(shù)學(xué)處理，可使隨機(jī)事件數(shù)量化，便于數(shù)學(xué)處理，從而更深入地研究隨機(jī)現(xiàn)象。從而更深入地研究隨機(jī)現(xiàn)象。上述兩例，隨機(jī)現(xiàn)象較容易用數(shù)量來描述，上述兩例，隨機(jī)現(xiàn)象較容易用數(shù)量來描述，但在實(shí)際中常遇到一些似乎與數(shù)量無關(guān)的但在實(shí)際中常遇到一些似乎與數(shù)量無關(guān)的

4、隨機(jī)現(xiàn)象，如何用隨機(jī)變量來描述它們？隨機(jī)現(xiàn)象，如何用隨機(jī)變量來描述它們？例例3 拋一枚均勻硬幣，試驗(yàn)的可能結(jié)果兩個(gè)，拋一枚均勻硬幣，試驗(yàn)的可能結(jié)果兩個(gè)， 即即“正面向上正面向上”與與“正面向下正面向下”。通常定義隨機(jī)變量通常定義隨機(jī)變量 1 正面向上正面向上 P(X=1)=0.5X= 且且 0 正面向下正面向下 P(X=0)=0.5例例4 一批產(chǎn)品的合格率為一批產(chǎn)品的合格率為P，隨機(jī)抽一個(gè)檢驗(yàn)，隨機(jī)抽一個(gè)檢驗(yàn)， 可能結(jié)果為可能結(jié)果為 “抽到合格品抽到合格品”與與“抽到廢品抽到廢品”。 通常定義隨機(jī)變量通常定義隨機(jī)變量 1 抽到合格品抽到合格品 P(Y=1)=PY= 且且 0 抽到廢品抽到廢品

5、P(Y=0)=1-P例例 5 一批產(chǎn)品的一、二、三級(jí)品率為一批產(chǎn)品的一、二、三級(jí)品率為50%、 35%、 15%，隨機(jī)抽取一個(gè)，可能結(jié)果，隨機(jī)抽取一個(gè)，可能結(jié)果“抽到一級(jí)抽到一級(jí)品品” “抽到二級(jí)品抽到二級(jí)品”、“抽到三級(jí)品抽到三級(jí)品”。 可定義可定義 1 抽到一級(jí)品抽到一級(jí)品 P(Z=1)=50% Z = 2 抽到二級(jí)品抽到二級(jí)品 且且 P(Z=2)=35% 3 抽到三級(jí)品抽到三級(jí)品 P(Z=3)=15%二、隨機(jī)變量的種類二、隨機(jī)變量的種類按隨機(jī)變量的取值不同，可分為按隨機(jī)變量的取值不同，可分為離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量只取有限個(gè)或：隨機(jī)變量只取有限個(gè)或 可列個(gè)可能值。可列個(gè)可能

6、值。連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量：在某一個(gè)或若干個(gè)有限或：在某一個(gè)或若干個(gè)有限或 無限區(qū)間取值的隨機(jī)變量。無限區(qū)間取值的隨機(jī)變量。 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取值為所有可能取值為 x1，x2，xn，其相應(yīng)的概率分別為，其相應(yīng)的概率分別為 p1，p2， pn 記作記作 P(X=xi)=pi， （ i=1，2，n） 稱為離散型隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布，的概率分布， 簡(jiǎn)稱分布。簡(jiǎn)稱分布。 也可表示為：也可表示為： p1 p2 Pi x1 x2 X一、離散型隨機(jī)變量的分布一、離散型隨機(jī)變量的分布概率分布的性質(zhì)概率分布的性質(zhì) 1） 0pi1 i=1，2， 2） pi =1例

7、例 寫出上一節(jié)例寫出上一節(jié)例1、3、4、5的概率分布的概率分布二、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 離散型變量離散型變量X的取值為的取值為x1,x2xi 相應(yīng)的概率為相應(yīng)的概率為p1,p2pi ,xi與與pi的乘積的乘積 之和為之和為X的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望或均值。的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望或均值。 記作記作 E (x)或或 E (x) =xi pi例例 （教材（教材P149例例3、4）數(shù)學(xué)期望是對(duì)隨機(jī)變量集中趨勢(shì)的度量，數(shù)學(xué)期望是對(duì)隨機(jī)變量集中趨勢(shì)的度量，對(duì)其離散程度的度量用方差。對(duì)其離散程度的度量用方差。 離散型變量離散型變量X離差的平方的數(shù)學(xué)期望離差的平方的數(shù)學(xué)期望 稱為稱為

8、X的方差。記作的方差。記作 D(X) 或或 方差的算術(shù)平方根為均方差或標(biāo)準(zhǔn)差，方差的算術(shù)平方根為均方差或標(biāo)準(zhǔn)差， 用用 表示。表示。 2iipx22)( )-E(xD(X)例例 （教材（教材P151 例例6、7）三、離散型隨機(jī)變量的方差三、離散型隨機(jī)變量的方差四、常見的離散型隨機(jī)變量四、常見的離散型隨機(jī)變量一個(gè)試驗(yàn)如果結(jié)果只有兩個(gè)，都可以一個(gè)試驗(yàn)如果結(jié)果只有兩個(gè)，都可以用兩點(diǎn)分布來描述。用兩點(diǎn)分布來描述。（一）（一）兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布 1、定義、定義 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X只可能取只可能取0，1兩個(gè)值，兩個(gè)值， 概率分布為：概率分布為： P(X=1)=p，P(X=0)=1p (0p1) 或或 （k=

9、0,1 0p1） 稱稱X服從兩點(diǎn)分布。記為服從兩點(diǎn)分布。記為 XB (1，p)kkppkXP1)1 ()(2、兩點(diǎn)分布的數(shù)學(xué)期望與方差、兩點(diǎn)分布的數(shù)學(xué)期望與方差 E ( X ) = p D ( X ) = ( 1 p ) p例例 （教材（教材P152 例例8）某射手射擊一次，觀察他中靶與脫靶；某射手射擊一次，觀察他中靶與脫靶；拋硬幣一次，觀察其正面朝上、朝下；拋硬幣一次，觀察其正面朝上、朝下；從一批產(chǎn)品中取一件，觀察其正品、廢品從一批產(chǎn)品中取一件，觀察其正品、廢品;以上試驗(yàn)都可用兩點(diǎn)分布來描述。以上試驗(yàn)都可用兩點(diǎn)分布來描述。某射手射擊多次；某射手射擊多次；連續(xù)拋硬幣多次；連續(xù)拋硬幣多次；從一批

10、產(chǎn)品中取從一批產(chǎn)品中取n件產(chǎn)品；件產(chǎn)品；這些試驗(yàn)還能用兩點(diǎn)分布描述嗎？這些試驗(yàn)還能用兩點(diǎn)分布描述嗎？隨機(jī)試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果隨機(jī)試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果A 或或 ，且且 P(A)=p， P( )=1p = q 這種試驗(yàn)稱為這種試驗(yàn)稱為Bernoulli試驗(yàn)；試驗(yàn)；試驗(yàn)試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)獨(dú)立重復(fù)n次次，稱，稱n重重Bernoulli試驗(yàn)試驗(yàn)。AA（二）（二）二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 令令X為為n重重Bernoulli試驗(yàn)中事件試驗(yàn)中事件A發(fā)生的發(fā)生的 次數(shù)，次數(shù)，X的所有可能取值為的所有可能取值為0、1、2n X 取值取值 k 的概率為的概率為 ( K=0、1、2 n) 其中其中 P(A)=p， P( )=1p

11、= q 0p0) 的泊松分布。的泊松分布。記作記作 XP()。k!ekPxk泊松分布用來描述指定時(shí)間內(nèi)某一事件泊松分布用來描述指定時(shí)間內(nèi)某一事件發(fā)生次數(shù)的分布。發(fā)生次數(shù)的分布。如：如：某市早晚高峰期內(nèi)通過某路口的車輛數(shù)分布；某市早晚高峰期內(nèi)通過某路口的車輛數(shù)分布；某市除夕日被爆竹炸傷人數(shù)的分布；某市除夕日被爆竹炸傷人數(shù)的分布；某景點(diǎn)十一黃金周接到游客投訴電話次數(shù)分布。某景點(diǎn)十一黃金周接到游客投訴電話次數(shù)分布。2、泊松分布的數(shù)學(xué)期望與方差、泊松分布的數(shù)學(xué)期望與方差 E ( X ) = D ( X ) = 例例 （教材（教材P153 例例10） 一、概率密度函數(shù)一、概率密度函數(shù) X為連續(xù)型隨機(jī)變量

12、，為連續(xù)型隨機(jī)變量，x為任一實(shí)數(shù)，為任一實(shí)數(shù)， 若函數(shù)若函數(shù) (x)表示變量表示變量X的分布情況，的分布情況， 即即X取值的規(guī)律，稱取值的規(guī)律，稱 (x)為概率密度為概率密度 函數(shù)，或稱概率分布。函數(shù)，或稱概率分布。性質(zhì)性質(zhì) 對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x， (x) 0 對(duì)于任意對(duì)于任意x1x2，X在其區(qū)間（在其區(qū)間（x1，x2） 的概率的概率P(x1Xx2)是函數(shù)是函數(shù) (x) 的曲線的曲線 下從下從x1到到x2的面積；的面積； (x) 曲線與曲線與x軸構(gòu)成的面積為軸構(gòu)成的面積為1，即，即 P(X)=1。二、常見的連續(xù)型隨機(jī)變量二、常見的連續(xù)型隨機(jī)變量 （一）（一）均勻分布（一致分布）均勻分布（一致

13、分布） 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 0 其他其他 則稱則稱X服從服從 a，b 上的均勻分布上的均勻分布 記作記作 XU a，b (x)bxa b-a 1 如果如果X在在a，b上服從均勻分布，則對(duì)上服從均勻分布，則對(duì)任意滿足任意滿足 的的a，b有有X 取值于取值于a，b中任一小區(qū)間的概率與中任一小區(qū)間的概率與該小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，而與該小區(qū)間該小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，而與該小區(qū)間的具體位置無關(guān)。的具體位置無關(guān)。bdcaabcddXcP)(例例 （教材（教材P158 例例3 ） 均勻分布的數(shù)學(xué)期望與方差均勻分布的數(shù)學(xué)期望與方差 在區(qū)間在區(qū)間a，b上均勻分布變量上均勻分布變量X的數(shù)學(xué)

14、的數(shù)學(xué) 期望和方差為：期望和方差為：1222a)(bD(X) baE(X)（二）（二）正態(tài)分布正態(tài)分布 1、正態(tài)分布正態(tài)分布 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 、 是參數(shù)是參數(shù)（ 0） 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為和和 的正態(tài)分布的正態(tài)分布, 記作記作 XN ( ， ) )x( 21)(22)(212xex222 式中的式中的是正態(tài)隨機(jī)變量是正態(tài)隨機(jī)變量X的均值的均值,即即E(X)= 式中的式中的 是正態(tài)隨機(jī)變量是正態(tài)隨機(jī)變量X的方差的方差,即即D(X)= 22關(guān)于密度函數(shù)的圖形關(guān)于密度函數(shù)的圖形1) 圖形是關(guān)于圖形是關(guān)于 x = 對(duì)稱的鐘形曲線，對(duì)稱的鐘形曲線， 且峰值在且峰

15、值在 x =處取得。處取得。2) 方差方差 越小，曲線峰值越大，曲線越小，曲線峰值越大，曲線 越狹長(zhǎng)；方差越大，曲線越平坦。越狹長(zhǎng)；方差越大，曲線越平坦。3) 當(dāng)當(dāng)x時(shí)，時(shí)， 0，即，即 以以x軸軸 為漸近線。為漸近線。2)(x)(x2、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 若正態(tài)分布若正態(tài)分布 N ( ， )中的參數(shù)中的參數(shù) = 0， = 1時(shí)，其分布時(shí)，其分布 N( 0，1 ) 稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 用用 表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù) 2)(0z20221)(zez標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)圖形關(guān)于縱軸對(duì)稱標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)圖形關(guān)于縱軸對(duì)稱z)P(Z1)zP(Z)

16、zP(Z12標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率可通過查表求得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率可通過查表求得表中能查得的概率為表中能查得的概率為 即即 z)P(Z )(0zz)P(Z )zZP(z21如何求如何求)(0z)(10z3、一般正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、一般正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布) 1 0 ( )，N( X 2，XZ，則時(shí)當(dāng) 即服從一般正態(tài)分布的變量通過上述即服從一般正態(tài)分布的變量通過上述 轉(zhuǎn)換可以變換成為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。轉(zhuǎn)換可以變換成為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。例例 （教材（教材P161 例例5） 例例 （教材（教材P161 例例6） 例例 （教材（教材P161 例例7） X為為n重重Bernoulli試驗(yàn)中事件試驗(yàn)中事件A發(fā)生發(fā)生 的次數(shù)，