1、1秩和檢驗秩和檢驗( Rank Sum Test )2一、非參數統計的概念一、非參數統計的概念 參數統計（參數統計（parametric statistics) : 在在 統計統計推斷中，若樣本所來自的總體分布為已知推斷中，若樣本所來自的總體分布為已知的函數形式（正態的函數形式（正態/近似正態分布），但其近似正態分布），但其中的參數未知，統計推斷的目的就是對這中的參數未知，統計推斷的目的就是對這些未知參數進行估計些未知參數進行估計/檢驗，這類統計推斷檢驗，這類統計推斷方法稱參數統計方法稱參數統計。 參數統計共同點：參數統計共同點： 1. 總體分布形式已知或假定已知總體分布形式已知或假定已知 2

2、. 對該總體的參數按一定的假設進行估計對該總體的參數按一定的假設進行估計或檢驗或檢驗 3 非參數統計非參數統計(nonparametric statistics) : 是指總體分布的函數形式未知或知道得是指總體分布的函數形式未知或知道得很少，所采用的一種不依賴總體分布的很少，所采用的一種不依賴總體分布的具體形式的統計方法，也稱具體形式的統計方法，也稱 分布自由統分布自由統計計( distribution free test )。 非參數統計特點非參數統計特點: 1. 總體分布未知總體分布未知 2. 不是比較參數不是比較參數,而是比較分布而是比較分布 4非參數檢驗方法非參數檢驗方法 1.分布檢驗

3、：正態性檢驗分布檢驗：正態性檢驗 2.單總體檢驗單總體檢驗 符號檢驗、符號檢驗、Wilcoxon符號秩檢驗符號秩檢驗 3 . 分布比較分布比較 ：比較兩組或多組數據是否：比較兩組或多組數據是否來自同一分布。來自同一分布。 （1）兩總體檢驗）兩總體檢驗 兩獨立樣本比較兩獨立樣本比較 Wilcoxon秩和檢驗（亦稱秩和檢驗（亦稱Mann-Whitney u檢驗）檢驗）5中位數檢驗、中位數檢驗、Varder Wareden檢驗、檢驗、Savage檢驗、檢驗、Fisher精確概率精確概率 兩相關樣本比較（相當于配對）兩相關樣本比較（相當于配對） 符號檢驗、符號秩檢驗、符號檢驗、符號秩檢驗、 McNem

4、ar檢驗檢驗(2)k個樣本檢驗個樣本檢驗 k個獨立樣本比較個獨立樣本比較 SPSS提供了提供了Kruskal-Wallis檢驗，還提供檢驗，還提供Savage、中位數、中位數、Varder Wareden檢驗。檢驗。 k個相關樣本比較個相關樣本比較 SPPS可得可得friedman 2 相關測量：等級相關（在相關測量：等級相關（在correlation菜單菜單中提到）中提到）4.非參數判別分析非參數判別分析6二、符和檢驗二、符和檢驗 ( sign test )例例 配對比較兩種方法治療扁平足效果記錄如下，問配對比較兩種方法治療扁平足效果記錄如下，問哪種方法好？哪種方法好？病例號病例號 1 2

5、3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 甲甲 1 1 1 1 3 2 1 1 2 3 1 3 1 2 1 2 乙乙 3 1 3 2 2 3 2 3 2 3 1 3 2 3 2 31表示好表示好 2表示中表示中3表示差表示差7對每個病例的療效作差對每個病例的療效作差di=xi-yi，用，用s+、s-表示表示di中正、負數的個數，中正、負數的個數，n= s+ + s-，如果兩法效果，如果兩法效果一樣的話，一樣的話，s+服從服從B(n, 0.5)，取，取k=min(s+, s-)p=2p(ik|n=11,p=0.5)=2n較大時較大時 p2( )nkiin210)1 (

6、pnpnpk8 結果中結果中m=(s+ - s-)/2=-4.5 p=p(Pr=|M|)=0.0117兩法效果有差兩法效果有差別，且甲法優于乙法（因別，且甲法優于乙法（因m0）符號檢驗簡單，但未充分利用數據所提供符號檢驗簡單，但未充分利用數據所提供的信息。的信息。910Frequencies110516Negative DifferencesaPositive DifferencesbTiescTotal乙 法 - 甲 法N乙法 甲法b. 甲法 = 乙法c. 11Test Statisticsb.012aExact Sig. (2-tailed)乙 法 - 甲 法Binomial distri

7、bution used.a. Sign Testb. 12 威爾柯克遜威爾柯克遜(wilcoxon)在在1945年首先年首先提出了比較兩個總體分布函數的秩和檢提出了比較兩個總體分布函數的秩和檢驗法。秩和檢驗計算簡便，對總體分布驗法。秩和檢驗計算簡便，對總體分布族的假設極為一般，而且在比較兩個正族的假設極為一般，而且在比較兩個正態總體的均值時，利用此法代替檢驗，態總體的均值時，利用此法代替檢驗，其統計結論仍是足夠可靠的。其統計結論仍是足夠可靠的。 秩和檢驗是建立在秩及秩統計量基秩和檢驗是建立在秩及秩統計量基礎上的非參數方法。礎上的非參數方法。 三、秩和檢驗三、秩和檢驗 (rank sum tes

8、t)13（一）配對設計差值的符號秩和檢驗（一）配對設計差值的符號秩和檢驗 （Wilcoxon配對法）配對法） 前面我們介紹了數值變量的配對前面我們介紹了數值變量的配對 t檢檢驗，比較配對后的差值，屬于參數檢驗，驗，比較配對后的差值，屬于參數檢驗，但當差值但當差值d 不滿足正態分布時，數值大不滿足正態分布時，數值大的大小的小，這時，我們一般不宜采用的大小的小，這時，我們一般不宜采用配對配對t檢驗，而用配對符號秩和檢驗。配檢驗，而用配對符號秩和檢驗。配對符號秩和檢驗主要用于配對設計的計對符號秩和檢驗主要用于配對設計的計量資料不滿足參數檢驗時而被采用。量資料不滿足參數檢驗時而被采用。14例例 1 對

9、對10名健康人分別用離子交換法與蒸溜法，測得尿汞名健康人分別用離子交換法與蒸溜法，測得尿汞值，如表值，如表9.1中的中的(2)、 (3)欄欄,問兩法所得結果有無差別問兩法所得結果有無差別?表9.1 10名 健 康 人 用 離 子 交 換 法 與 蒸 餾 法 測 定 尿 汞 值 (g/l）編 號離 子 交 換 法蒸 餾 法差 數秩 次（ 1）（ 2）（ 3）（ 4） = （ 2） - （ 3） （ 5）10.50.00.5222.21.11.1730.00.00.0-42.31.31.0656.23.42.8861.04.6-3.6-971.81.10.73.584.44.6-0.2-192.7

10、3.4-0.7-3.5101.32.1-0.8-5衛生統計學第四版151. 方法步驟方法步驟建立假設及確定檢驗水平建立假設及確定檢驗水平 H0: H0: 兩種方法所測得差值的總體中位數兩種方法所測得差值的總體中位數Md=0 Md=0 H1: Md0 H1: Md0 =0.05 =0.05求差值求差值編秩編秩 按差數的絕對值大小由小到大編秩，再由差值按差數的絕對值大小由小到大編秩，再由差值的符號給秩次加符號。的符號給秩次加符號。 編秩時：若差數為編秩時：若差數為0，舍去不計；，舍去不計； 差數相等，符號相同，仍按順序編秩；差數相等，符號相同，仍按順序編秩； 差數相等，符號不同，則取平均秩次。差數

11、相等，符號不同，則取平均秩次。16求秩和并確定檢驗統計量求秩和并確定檢驗統計量 分別求出正秩和分別求出正秩和 (T+)負秩和負秩和 (T-) 任取任取T+ (或或T-)作檢驗統計量作檢驗統計量T，本例，本例T=18.5確定確定p值和作出統計推斷值和作出統計推斷 n50時，查表時，查表 T界值表（注界值表（注: 差數有差數有0時時n相應相應減小）減小） 本例本例n=9,n=9,查表查表, , T界值表界值表,得雙側得雙側p=0.10p=0.10界值是界值是8 837 37 而而T=18.5T=18.5在其中在其中, p0.10 , p0.10 不拒絕不拒絕H0，故不能認為兩，故不能認為兩法測定有

12、差別。法測定有差別。17n25且相同差值較多時，校正公式且相同差值較多時，校正公式 1819Ranks5a5.3026.504b4.6318.501c10Negative RanksPositive RanksTiesTotal蒸 餾 法 - 離 子 交 換 法NMean RankSum of Ranks蒸餾法 離子交換法b. 離子交換法 = 蒸餾法c. 20Test Statisticsb-.474a.635ZAsymp. Sig. (2-tailed)蒸餾法 - 離子交換法Based on positive ranks.a. Wilcoxon Signed Ranks Testb. 21

13、T T的分布為以中位數為中心對稱的非的分布為以中位數為中心對稱的非連續分布。當連續分布。當H H0 0成立，從總體隨機抽取成立，從總體隨機抽取任一個樣本，所得任一個樣本，所得T T值在中位數附近的概值在中位數附近的概率最大，而率最大，而T T值遠離平均數概率較小，隨值遠離平均數概率較小，隨著著n n增大，增大，T T的分布逐漸逼近正態分布。的分布逐漸逼近正態分布。2. 本法的基本思想本法的基本思想22（二）（二）成組設計兩樣本比較的秩和檢驗成組設計兩樣本比較的秩和檢驗1適用于兩組計量資料，尤其用于不符合適用于兩組計量資料，尤其用于不符合t檢驗條件（方差齊和正態性）的兩組計檢驗條件（方差齊和正態

14、性）的兩組計量資料量資料 ，以及兩組等級資料（，以及兩組等級資料（rank data）。）。23例例2 某實驗室觀察局部溫熱治療小鼠移植性腫瘤的療效，某實驗室觀察局部溫熱治療小鼠移植性腫瘤的療效，以生存日數作為觀察指標，結果如下，試檢驗兩組小鼠以生存日數作為觀察指標，結果如下，試檢驗兩組小鼠生存日數有無差別？生存日數有無差別？衛生統計學第四版24（1）建立假設和確定）建立假設和確定 H0: 兩組小鼠生存日數總體分布相同兩組小鼠生存日數總體分布相同 H1: 兩組小鼠生存日數總體分布不同兩組小鼠生存日數總體分布不同 =0.05（2）編秩，由小到大編秩）編秩，由小到大編秩（兩組數據合在一起）。（兩組

15、數據合在一起）。若數若數據相同，取平均秩次。據相同，取平均秩次。（3）求秩和，樣本例數不等時以例數較小的）求秩和，樣本例數不等時以例數較小的T為檢驗統計為檢驗統計量量T，本例，本例T=170（4）確定確定p p值和作出統計推斷值和作出統計推斷 查表得查表得n n1=10 n=10 n2-n-n1=2=2，T=170T=170已超出表中已超出表中=0.01=0.01的范圍的范圍76-15476-154，p0.01 p10 時時用用正正態態近近似似法法2627Ranks1017.00170.00126.9283.0022組 別實 驗 組對 照 組Total生 存 天 數NMean RankSum

16、of Ranks28Test Statisticsb5.00083.000-3.630.000.000aMann-Whitney UWilcoxon WZAsymp. Sig. (2-tailed)Exact Sig. 2*(1-tailed Sig.)生 存 天 數Not corrected for ties.a. Grouping Variable: 組別b. 293相相同同秩秩次次出出現現較較多多且且用用正正態態近近似似時時宜宜作作校校正正特特別別地地適適用用于于等等級級資資料料（或或頻頻數數表表資資料料）30例例3 20名正常人和名正常人和32名鉛作業工人尿棕色素定性名鉛作業工人尿棕色

17、素定性檢查結果如下，問鉛作業工人尿棕色素是否高于檢查結果如下，問鉛作業工人尿棕色素是否高于正常人？正常人？衛生統計學第四版31（1）H0: 兩組工人尿棕色素總體分布相同兩組工人尿棕色素總體分布相同 H1: 鉛作業工人尿棕色素高于正常人鉛作業工人尿棕色素高于正常人 =0.05 =0.05 單側單側（2）編秩）編秩（3）求秩和，計算檢驗統計量）求秩和，計算檢驗統計量 T=308 n1=20 u=4.1662 c=0.8599 Uc=4.493（4）確定）確定p值，值，Uc2.58 p 5時時H2 2(k-1) k(k-1) k是組數是組數37 1. 方法步驟方法步驟例例4 測得某中學教室中測得某中

18、學教室中6個采樣點不同時間空氣個采樣點不同時間空氣中中CO2含量含量,結果見表結果見表9.4第第(1)、(3)、(5)欄欄,問不同問不同時間空氣中時間空氣中CO2含量有無差別含量有無差別?表表9.4 不不 同同 時時 間間 空空 氣氣 中中CO2含含 量量 （ m g/m3）課課 前前課課 中中課課 后后含含 量量秩秩 次次含含 量量秩秩 次次含含 量量秩秩 次次（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）（ 6）0.4814.4512.52.9570.5324.73143.0780.5534.77153.1890.5544.82163.20100.5854.89173.30110.6265.00

19、184.4512.5Ri2192.557.5Ni666衛生統計學第四版38（1）假設）假設: H0: 三個不同時間空氣中三個不同時間空氣中CO2含量總體分布相同含量總體分布相同 H1: 三個總體的分布不同或不全相同三個總體的分布不同或不全相同 =0.05=0.05（2）編秩）編秩: （3）求秩和）求秩和: （4）計算檢驗統計量）計算檢驗統計量H值值: H=14.95 39（5）確定）確定p值作出推斷值作出推斷: 若組數若組數k=3，每組例數小于等于，每組例數小于等于5，查表，查表，H界值界值表表 若最小樣本的例數大于若最小樣本的例數大于5，則，則H分布近似分布近似2 2分布分布 本例本例ni

20、均為均為6，查，查2 2 界值表，界值表， H=14.95 查表得查表得p0.0054041Ranks63.50615.4269.5818組 別課 前課 中課 后Total二 氧 化 碳 含 量NMean Rank42Test Statisticsa ,b14.9812.001C hi-S quaredfA s y m p. S ig.二 氧 化 碳 含 量Kruskal W allis Testa. Grouping Variable: 組 別b. 432. H值的校正值的校正 例例5 比較小白鼠接種三種不同菌型傷寒比較小白鼠接種三種不同菌型傷寒桿菌桿菌9D、11C、DSC1后存活日數，見表

21、后存活日數，見表9.5，問各接種組存活日數間有無差別？，問各接種組存活日數間有無差別？44表表9.5 小小 白白 鼠鼠 接接 種種 三三 種種 不不 同同 菌菌 型型 傷傷 寒寒 桿桿 菌菌 存存 活活 日日 數數9D11CDSC1存存 活活 日日 數數秩秩 次次存存 活活 日日 數數秩秩 次次存存 活活 日日 數數秩秩 次次（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）（ 6）21510.534.522510.5510.523615.5615.534.5615.5615.546615.5615.54772172158824721710.51026.592572112301026.572111281

22、129Ri84169212Ni10911表表9.5 小小 白白 鼠鼠 接接 種種 三三 種種 不不 同同 菌菌 型型 傷傷 寒寒 桿桿 菌菌 存存 活活 日日 數數9D11CDSC1存存 活活 日日 數數秩秩 次次存存 活活 日日 數數秩秩 次次存存 活活 日日 數數秩秩 次次（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）（ 6）21510.534.522510.5510.523615.5615.534.5615.5615.546615.5615.54772172158824721710.51026.592572112301026.572111281129Ri84169212Ni10911表表9.5

23、 小小 白白 鼠鼠 接接 種種 三三 種種 不不 同同 菌菌 型型 傷傷 寒寒 桿桿 菌菌 存存 活活 日日 數數9D11CDSC1存存 活活 日日 數數秩秩 次次存存 活活 日日 數數秩秩 次次存存 活活 日日 數數秩秩 次次（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）（ 6）21510.534.522510.5510.523615.5615.534.5615.5615.546615.5615.54772172158824721710.51026.592572112301026.572111281129Ri84169212Ni10911表表9.5 小小 白白 鼠鼠 接接 種種 三三 種種 不不

24、同同 菌菌 型型 傷傷 寒寒 桿桿 菌菌 存存 活活 日日 數數9D11CDSC1存存 活活 日日 數數秩秩 次次存存 活活 日日 數數秩秩 次次存存 活活 日日 數數秩秩 次次（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）（ 6）21510.534.522510.5510.523615.5615.534.5615.5615.546615.5615.54772172158824721710.51026.592572112301026.572111281129Ri84169212Ni10911衛生統計學第四版45（1）假設）假設: H0: 三個總體分布相同三個總體分布相同 H1: 三個總體的分布不同或

25、不全相同三個總體的分布不同或不全相同 =0.05=0.05（2）編秩）編秩: （3）求秩和）求秩和: （4）計算檢驗統計量）計算檢驗統計量H值值: H=9.77 C=0.99 Hc=9.87 （5）確定）確定p值作出推斷值作出推斷:4647Ranks108.40918.781119.2730組 別9D11CDSC1Total生 存 天 數NMean Rank48Test Statisticsa ,b9.9402.007C hi-S quaredfA s y m p. S ig.生 存 天 數Kruskal Wallis Testa. Grouping Variable: 組 別b. 49問題思

26、考 ？ 多組間有差異，如何知道兩兩之間多組間有差異，如何知道兩兩之間是否有差異？是否有差異？503. 等級資料的比較等級資料的比較 例例6 三種病人肺切除術的針麻效果，見三種病人肺切除術的針麻效果，見表表9.6，第（，第（1）-（5）欄，問此三種病人）欄，問此三種病人肺切除術的針麻效果有無差別？肺切除術的針麻效果有無差別？51表表9.6 三三 種種 病病 人人 肺肺 切切 除除 術術 的的 針針 麻麻 效效 果果 比比 較較針 麻 效 果肺 癌肺 化 膿 癥肺 結 核合 計秩 次 范 圍平 均 秩 次(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)102448821 8241.51741651238

27、3 205144.019333688206 293249.547819294 312303.0Ri8815.517254.522758.0ni50105157312Ri176.31164.33144.96衛生統計學第四版52（1）假設）假設: H0: 三種病人肺切除術針麻效果的總體分布相同三種病人肺切除術針麻效果的總體分布相同 H1: 三個總體的分布不同或不全相同三個總體的分布不同或不全相同 =0.05=0.05（2）編秩）編秩: （3）求秩和）求秩和: （4）計算檢驗統計量）計算檢驗統計量H值值: H=5.7731 C=0.8979 Hc=6.43（5）確定）確定p值作出推斷值作出推斷:53

28、54Ranks50176.31105164.33157144.96312組 別肺 癌肺 化 膿 癥肺 結 核Total療 效NMean Rank55Test Statisticsa ,b6.4292.040C hi-S quaredfA s y m p. S ig.療 效Kruskal W allis Testa. Grouping Variable: 組 別b. 56（四）隨機區組設計資料的秩和檢驗（四）隨機區組設計資料的秩和檢驗 M檢驗檢驗(Friedman法法)法法 計算步驟：計算步驟： 1.將每個區組的數據由小到大分別編秩將每個區組的數據由小到大分別編秩 2.計算各處理組的秩和計算各處

29、理組的秩和Ri 3.求平均秩：求平均秩：R=1/2b(k+1) 4.計算各處理組的（計算各處理組的（ Ri-R） 5.求求M M= 6.查查M界值表界值表57例例6 受試者受試者5人，每人穿人，每人穿5種防護服，測種防護服，測得脈搏數（次得脈搏數（次/分）結果見下表，問分）結果見下表，問5受受試者穿試者穿5種防護服測得脈搏數有無差別？種防護服測得脈搏數有無差別？58表表9.9 5名名 受受 試試 者者 穿穿5種種 防防 護護 服服 測測 得得 脈脈 搏搏 數數 (次次/分分)結結 果果防防 護護 服服A防防 護護 服服B防防 護護 服服C防防 護護 服服D防防 護護 服服E編編 號號脈脈 搏搏

30、 秩秩 次次脈脈 搏搏 秩秩 次次脈脈 搏搏 秩秩 次次脈脈 搏搏 秩秩 次次脈脈 搏搏 秩秩 次次1130114451433.513321433.521111.51163119511841111.531143106111541132116541234981120310421335511551042111411031011b55555Ri14.51219.51316(Ri-R)-0.5-34.5-21(Ri-R)20.25920.2541衛生統計學第四版5960Ra nk s2.902.403.902.603.20A防 護 服B防 護 服C防 護 服D防 護 服E防 護 服Mean Rank61Test Statisticsa52.8164.589NChi-SquaredfAsymp. Sig.Friedman Testa. 62例例7 現有現有6