1、第二章第二章 控制系統的數學模型控制系統的數學模型本章知識點本章知識點：線性系統的輸入輸出傳遞函數描述線性系統的輸入輸出傳遞函數描述建立機電系統數學模型的機理分析法建立機電系統數學模型的機理分析法傳遞函數的定義與物理意義傳遞函數的定義與物理意義典型環節的數學模型典型環節的數學模型框圖及化簡方法框圖及化簡方法信號流程圖與梅遜公式應用信號流程圖與梅遜公式應用非線性數學模型的小范圍線性化非線性數學模型的小范圍線性化第一節 線性系統的輸入/輸出時間函數描述物理模型物理模型任何元件或系統實際上都是很復雜的，任何元件或系統實際上都是很復雜的，難以對它作出精確、全面的描述，必須進行簡化難以對它作出精確、全面

2、的描述，必須進行簡化或理想化。簡化后的元件或系統稱為該元件或系或理想化。簡化后的元件或系統稱為該元件或系統的物理模型。簡化是有條件的，要根據問題的統的物理模型。簡化是有條件的，要根據問題的性質和求解的精確要求來確定出合理的物理模型。性質和求解的精確要求來確定出合理的物理模型。數學模型數學模型物理模型的數學描述。是指描述系統物理模型的數學描述。是指描述系統輸入、輸出以及內部各變量之間動態關系的數學輸入、輸出以及內部各變量之間動態關系的數學表達式。表達式。數學建模數學建模從實際系統中抽象出系統數學模型的從實際系統中抽象出系統數學模型的過程。過程。建立物理系統數學模型的方法 機理分析法機理分析法 對

3、系統各部分的運動機理進對系統各部分的運動機理進行分析，按行分析，按 照它們遵循的物理規律、化照它們遵循的物理規律、化學規律列出各物理量之間的數學表達式學規律列出各物理量之間的數學表達式,建立起系統的數學模型。建立起系統的數學模型。 實驗辯識法實驗辯識法 對系統施加某種測試信號對系統施加某種測試信號（如階躍、脈沖、正弦等），記錄基本（如階躍、脈沖、正弦等），記錄基本輸出響應（時間響應、頻率響應），估輸出響應（時間響應、頻率響應），估算系統的傳遞函數。算系統的傳遞函數。機理分析法建立系統數學模型的步驟機理分析法建立系統數學模型的步驟確定系統的輸入量、輸出量；確定系統的輸入量、輸出量；根據物理定律列

4、寫原始方程；根據物理定律列寫原始方程；消去中間變量，寫出表示系統輸入、消去中間變量，寫出表示系統輸入、輸出關系的線性常微分方程。輸出關系的線性常微分方程。機理分析法建立系統數學模型舉例機理分析法建立系統數學模型舉例例例2-1:2-1:圖圖2-1為為RC四端無源網絡。試列寫以四端無源網絡。試列寫以U1(t)為輸入量，為輸入量，U2(t)為輸出量的網絡微分方程。為輸出量的網絡微分方程。解：解：設回路電流設回路電流i1、i2，根據克希霍夫定律，列，根據克希霍夫定律，列寫方程組如下寫方程組如下U1 R1R2U2C1C2圖圖2-1 2-1 RC組成的四端網絡組成的四端網絡1111cUiRU(1)dtii

5、CUc)(12111(2)2221ccUiRU(3)dtiCUc2221(4)22cUU(5)機理分析法建立系統數學模型舉例機理分析法建立系統數學模型舉例由由(4)、(5)得得由由(2)導出導出將將i1、i2代入代入(1)、(3)，則得，則得U1 R1R2U2C1C2圖圖2-1 2-1 RC組成的四端網絡組成的四端網絡22222cdUdUiCCdtdt11211212ccdUdUdUiCiCCdtdtdt122112222()cdUdUdUR CCR CUdtdtdtU222111cUiRiRU 這就是這就是RC四端網絡的數學模型，為二階線性四端網絡的數學模型，為二階線性常微分方程。常微分方程

6、。22112 222222()ddUdUR CR iUCR CUdtdtdt22222112211122222d UdUdUdURC R CRCRCR CUdtdtdtdt2221212111222212()d UdUR R C CRCRCR CUUdtdt機理分析法建立系統數學模型舉例機理分析法建立系統數學模型舉例機理分析法建立系統數學模型舉例機理分析法建立系統數學模型舉例例例2-2 圖圖2-6 所示為電樞控制所示為電樞控制直流電動機的微分方程，要直流電動機的微分方程，要求取電樞電壓求取電樞電壓Ua(t)（v）為輸）為輸入量，電動機轉速入量，電動機轉速 m（t）（）（rad/s）為輸出量，）

7、為輸出量，列寫微分方程。圖中列寫微分方程。圖中Ra()、La(H)分別是電樞電路的電阻分別是電樞電路的電阻和電感，和電感，Mc(NM)是折合到電是折合到電動機軸上的總負載轉矩。激動機軸上的總負載轉矩。激磁磁通為常值。磁磁通為常值。圖圖2 2- -6 6 電電 樞樞 控控 制制 直直 流流 電電 動動 機機 原原 理理 圖圖SM負負載載-LaRaEamJ mf mUaifia機理分析法建立系統數學模型舉例機理分析法建立系統數學模型舉例解：列寫電樞電路平衡方程解：列寫電樞電路平衡方程圖圖2 2- -6 6 電電樞樞控控制制直直流流電電動動機機原原理理圖圖SM負負載載-LaRaEamJmfmUaif

8、ia( )( )( )aaaa aadi tU tLRi tEdtEa電樞反電勢，其表達式為電樞反電勢，其表達式為Ea=Cem（t） Ce反電勢系數（反電勢系數（v/rad/s） 由、由、求出求出ia(t)ia(t)，代入，代入，同時，同時亦代入亦代入，得，得2( )( )()()( )( )( )( )mmamamamammemcmaaacdtdtL JL fR JR fC CtdtdtdM tC U tLR M tdt 在工程應用中，由于電樞電路電感在工程應用中，由于電樞電路電感La較小，較小，通常忽略不計，故可簡化為通常忽略不計，故可簡化為其中( )( )emaCtUt12( )( )(

9、 )( )mmmacdtTtKUtK M tdt ammammeR JTR fC C電動機機電時間常數（電動機機電時間常數（s） 2ammeRKRafC C1mammeCKR fC C如果電樞電阻Ra和電動機的轉動慣量Jm都很小而忽略不計時 還可進一步簡化為( )( )emaCtUt電動機的轉速電動機的轉速 與電樞電壓與電樞電壓 成正比，成正比，于是電動機可作為測速發電機使用。于是電動機可作為測速發電機使用。 )(tua)(tm第二節線性系統的輸入第二節線性系統的輸入輸出傳遞函數描述輸出傳遞函數描述一、傳遞函數一、傳遞函數定義：線性定常系統的傳遞函數，定義為零定義：線性定常系統的傳遞函數，定義

10、為零初始條件下，系統輸出量的拉氏變換與輸入量初始條件下，系統輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。零初使條件是指當的拉氏變換之比。零初使條件是指當t0時時,系統系統r(t)、c(t)以及它們的各階導數均為零。以及它們的各階導數均為零。線性系統微分方程的一般形式為線性系統微分方程的一般形式為1111101111( )( )( ).( )( )( )( ).( )nnnnnnnnnnd c tdc tdc taaa c tdtdtdtd r tdr tdr tbbaa r tdtdtdt當初始條件均為當初始條件均為0時時,對上式兩邊求拉氏變換，得對上式兩邊求拉氏變換，得系統的傳遞函數系統的傳遞函

11、數1011111( )( )mmmmnnnnC Sb sbsbsbR Ssa sasa的根，也即線性微分方程的根，也即線性微分方程特征方程的特征值。特征方程的特征值。零點零點傳遞函數分子傳遞函數分子s多項式多項式mmmmbsbsbsbsN1110)(傳遞函數傳遞函數G(S)是復變函數，是是復變函數，是S的有理函數。且有的有理函數。且有mn。極點極點傳遞函數分母傳遞函數分母s多項式多項式的根。的根。 傳函是由微分方程傳函是由微分方程在初始條件為零時在初始條件為零時進行拉氏變換得到的。進行拉氏變換得到的。 如果已知系統的傳遞函數和輸入信號如果已知系統的傳遞函數和輸入信號,則可求得初始條件為零則可求

12、得初始條件為零時輸出量的拉氏變換式時輸出量的拉氏變換式C(s),對其求拉氏反變換可得到系統的對其求拉氏反變換可得到系統的響應響應 c(t)，稱為系統的零狀態響應。，稱為系統的零狀態響應。 系統響應的特性由傳遞函數決定，而和系統的輸入無關。傳系統響應的特性由傳遞函數決定，而和系統的輸入無關。傳遞函數則由系統的結構與參數決定。遞函數則由系統的結構與參數決定。 傳遞函數的分母多項式即為微分方程的傳遞函數的分母多項式即為微分方程的特征多項式，為特征多項式，為1+開開環傳遞函數。環傳遞函數。 同一系統對不同的輸入，可求得不同的傳遞函數，但其同一系統對不同的輸入，可求得不同的傳遞函數，但其特征特征多項式多

13、項式唯一。唯一。 在給定輸入和初始條件下，解微分方程可以得到系統的輸出在給定輸入和初始條件下，解微分方程可以得到系統的輸出響應，包括兩部分響應，包括兩部分 系統響應系統響應=零輸入響應零輸入響應+零狀態響應零狀態響應 零輸入響應零輸入響應在輸入為零時，系統對零初始狀態的響應；在輸入為零時，系統對零初始狀態的響應； 零狀態響應零狀態響應在零初始條件下，系統對輸入的響應。在零初始條件下，系統對輸入的響應。傳遞函數的幾點性質傳遞函數的幾點性質 傳遞函數傳遞函數G(s)(s)是復變量是復變量s s的有理真分式函數，的有理真分式函數，mn，且所有系數均為實數。，且所有系數均為實數。 傳遞函數傳遞函數G(

14、s)取決于系統或元件自身的結構取決于系統或元件自身的結構和參數，與輸入量的形式（幅度與大小）和參數，與輸入量的形式（幅度與大小）無關。無關。 傳遞函數傳遞函數G(s) 描述了系統輸出與輸入之間描述了系統輸出與輸入之間的關系，但它不提供系統的物理結構信息。的關系，但它不提供系統的物理結構信息。具有相同傳遞函數的不同物理系統稱為相具有相同傳遞函數的不同物理系統稱為相似系統。似系統。傳遞函數的幾點性質傳遞函數的幾點性質 如果系統的傳遞函數未知，給系統加上如果系統的傳遞函數未知，給系統加上某種輸入，可根據其輸出，確定其傳遞某種輸入，可根據其輸出，確定其傳遞函數。函數。 系統傳遞函數是系統單位脈沖響應系

15、統傳遞函數是系統單位脈沖響應g(t)的的拉氏變換拉氏變換LLg(t)。 例例23 求例求例21系統的傳遞函數。系統的傳遞函數。已知其輸入輸出微分方程已知其輸入輸出微分方程2221212111222212()d UdUR R C CRCRCR CUUdtdtU1 R1R2U2C1C2圖圖2-1 2-1 RC組成的四端網絡組成的四端網絡設初始狀態為零，設初始狀態為零，對方程兩邊求拉氏對方程兩邊求拉氏變換，得變換，得此即為RC四端網絡的傳遞函數。2221212111222212()d UdUR R C CRCRCR CUUdtdt1)(1)()(2221112212112sCRCRCRsCCRRsU

16、sU第三節第三節 非線性數學模型的小范圍線性化非線性數學模型的小范圍線性化 嚴格講，任何實際系統都存在不同程嚴格講，任何實際系統都存在不同程度的非線性。對于非本質非線性度的非線性。對于非本質非線性數學模數學模型型，可采用，可采用小范圍線性化方法。小范圍線性化方法。設一非線性數學設一非線性數學模型如圖所示。模型如圖所示。 設函數設函數y=f（x）在（）在（x0，y0）點附近點附近連續可微連續可微(此即為非線性此即為非線性系統數學系統數學模型線性化的條件）模型線性化的條件）,則可將函數則可將函數f（x）在（）在（x0，y0）附近展開成泰勒級數附近展開成泰勒級數式中式中 比例系數比例系數,是隨工作點

17、是隨工作點A（x0，y0)不不同而不同的常數同而不同的常數 具有兩個以上輸入量的非線性系統線性化處理方法與前述具有兩個以上輸入量的非線性系統線性化處理方法與前述方法相似。方法相似。 求線性化微分方程的步驟求線性化微分方程的步驟按物理和化學定律，列出系統的原始方程式，確定平衡點處按物理和化學定律，列出系統的原始方程式，確定平衡點處各變量的數值。各變量的數值。找出原始方程式中間變量與其它因素的關系，若為非線性函找出原始方程式中間變量與其它因素的關系，若為非線性函數，在原平衡點鄰域內，各階導數存在并且是唯一的，則可數，在原平衡點鄰域內，各階導數存在并且是唯一的，則可進行線性化處理。進行線性化處理。將

18、非線性特性展開為泰勒級數，忽略偏差量的高次項，留下將非線性特性展開為泰勒級數，忽略偏差量的高次項，留下一次項，求出它的系數值。一次項，求出它的系數值。消去中間變量，在原始方程式中，將各變量用平衡點的值用消去中間變量，在原始方程式中，將各變量用平衡點的值用偏差量來表示。偏差量來表示。注意：注意： （1 1）線性化方程中的常數與選擇的）線性化方程中的常數與選擇的靜態工作點靜態工作點的位的位置有關置有關, ,工作點不同時工作點不同時, ,相應的常數也不相同。相應的常數也不相同。 （2 2）泰勒級數線性化是小范圍線性化。當輸入量的）泰勒級數線性化是小范圍線性化。當輸入量的變化范圍較大時，用上述方法建立

19、數學模型引起的誤變化范圍較大時，用上述方法建立數學模型引起的誤差較大。因此只有當輸入量變化較小時才能使用。差較大。因此只有當輸入量變化較小時才能使用。 （3 3）若非線性特性不滿足）若非線性特性不滿足連續可微連續可微的條件的條件, ,則不能則不能采用前述處理方法采用前述處理方法. . （4 4）線性化方法得到的微分方程是增量化方程。）線性化方法得到的微分方程是增量化方程。 由微分方程直接得出的傳遞函數是由微分方程直接得出的傳遞函數是復變量復變量s的有理分式。的有理分式。對于實際物理系統，傳遞函數的分子、分母多項式的所有系對于實際物理系統，傳遞函數的分子、分母多項式的所有系數均為實數，而且分母多

20、項式的階次數均為實數，而且分母多項式的階次n 不低于分子多項式的不低于分子多項式的階次階次m，分母多項式階次為，分母多項式階次為n的傳遞函數稱為的傳遞函數稱為n階傳遞函數階傳遞函數，相應的系統稱為相應的系統稱為n階系統階系統 。傳遞函數可表示成傳遞函數可表示成復變量復變量s的有理分式的有理分式: :傳遞函數可表示成傳遞函數可表示成零、極點零、極點表示：表示：第四節第四節 典型環節的數學模型典型環節的數學模型 系統傳遞函數有時還具有零值極點，設傳遞函數系統傳遞函數有時還具有零值極點，設傳遞函數中有中有 個零值極點個零值極點, ,并考慮到零極點都有實數和共軛復并考慮到零極點都有實數和共軛復數的情況

21、數的情況, ,則傳遞函數的后兩種表示的一般形式為則傳遞函數的后兩種表示的一般形式為： 可見，系統傳遞函數是由一些常見基本因子可見，系統傳遞函數是由一些常見基本因子,如式如式上上中的中的( js+1)、1/(Tis+1)等組成。即系統傳遞函數表示為等組成。即系統傳遞函數表示為上上式時，系統式時，系統傳遞函數是這些常見基本因子的乘積。這些常見基本因子代表傳遞函數是這些常見基本因子的乘積。這些常見基本因子代表的環節稱為典型環節。任何復雜的系統都可以用若干典型環節的環節稱為典型環節。任何復雜的系統都可以用若干典型環節構成。具有相同基本因子傳遞函數的元件，可以是不同的物理構成。具有相同基本因子傳遞函數的

22、元件，可以是不同的物理元件，但都具有相同的運動規律。元件，但都具有相同的運動規律。從傳遞函數的表示式中可以看到，傳遞函數的從傳遞函數的表示式中可以看到，傳遞函數的基本因子對應的典型環節有比例環節、積分環節、基本因子對應的典型環節有比例環節、積分環節、微分環節、慣性環節、振蕩環節和延遲環節等。微分環節、慣性環節、振蕩環節和延遲環節等。 l l比例環節比例環節 比例環節又稱為放大環節，其輸出量與輸入量之間的關比例環節又稱為放大環節，其輸出量與輸入量之間的關系為固定的比例關系，即它的輸出量能夠無失真、無延遲地系為固定的比例關系，即它的輸出量能夠無失真、無延遲地按一定的比例關系復現輸入量。時域中的代數

23、方程為按一定的比例關系復現輸入量。時域中的代數方程為c(t)=Kr(t) t 0 式中式中K為比例系數或傳遞系數，有時也稱為放大系數為比例系數或傳遞系數，有時也稱為放大系數 所以所以比例環節的傳遞函數為比例環節的傳遞函數為 ：L-變換變換 C(S)=KR(S) 完全理想的比例環節是不存在的。對某些系統完全理想的比例環節是不存在的。對某些系統當做比例環節是一種理想化的方法。當做比例環節是一種理想化的方法。2 2慣性環節慣性環節 慣性環節又稱為非周期環節，其輸入量和輸出量之間的慣性環節又稱為非周期環節，其輸入量和輸出量之間的關系可用下列微分方程來描述關系可用下列微分方程來描述：式中式中 K比例系數

24、比例系數。 T慣性環節的時間常數慣性環節的時間常數 ，衡量輸出量跟隨輸入量，衡量輸出量跟隨輸入量 的變化的變化 L-變換變換 TSC(S)+C(S)=KR(S) 傳遞函數傳遞函數 G(S)= C(s)/ R(s) = 11Ts3 3積分環節積分環節輸出量與輸入量的積分成比例，系數為輸出量與輸入量的積分成比例，系數為K。積分環節的傳遞。積分環節的傳遞函數為：函數為：積分環節的動態方程為：積分環節的動態方程為：積分環節具有一個零值極點，即極點位于積分環節具有一個零值極點，即極點位于S平面上的坐標平面上的坐標原點處。原點處。T稱為積分時間常數。從傳遞函數表達式易求得在單稱為積分時間常數。從傳遞函數表

25、達式易求得在單位階躍輸入時的輸出為位階躍輸入時的輸出為：C（t）=Kt 上式說明，只要有一個恒定的輸入量作用于積分環節，上式說明，只要有一個恒定的輸入量作用于積分環節，其輸出量就與時間成比例地無限增加。其輸出量就與時間成比例地無限增加。 4 4振蕩環節振蕩環節 振蕩環節的微分方程振蕩環節的微分方程是是：相應的傳遞函數為相應的傳遞函數為： 式中式中 T時間常數；時間常數； 阻尼系數（阻尼比），且阻尼系數（阻尼比），且0 1。 振蕩環節的傳遞函數具有振蕩環節的傳遞函數具有一對共軛復數極點一對共軛復數極點,在復平面在復平面S上的位置見圖上的位置見圖2-8所示所示,傳遞函數可改寫為：傳遞函數可改寫為：

26、 n=1/T無阻尼自然振蕩頻率。共軛復數極點為：無阻尼自然振蕩頻率。共軛復數極點為： 5微分環節微分環節 微分是積分的逆運算微分是積分的逆運算,按傳遞函數的不同按傳遞函數的不同,微分環節可微分環節可分為三種：理想微分環節、一階微分環節（也稱為比例分為三種：理想微分環節、一階微分環節（也稱為比例加微分環節）和二階微分環節。相應的微分方程為加微分環節）和二階微分環節。相應的微分方程為 ：相應的傳遞函數為：相應的傳遞函數為： 6 6延遲環節延遲環節 延遲環節延遲環節又稱為純滯后環節、時滯環節。其輸又稱為純滯后環節、時滯環節。其輸出信號比輸入信號遲后一定的時間。就是說，延出信號比輸入信號遲后一定的時間

27、。就是說，延遲環節的輸出是一個延遲時間遲環節的輸出是一個延遲時間 后，完全復現輸入后，完全復現輸入 信號，即信號，即 式中式中 純延遲時間純延遲時間。 單位階躍輸入時，延遲環節的輸單位階躍輸入時，延遲環節的輸出響應如出響應如右右圖示圖示 根據拉氏變換的根據拉氏變換的延遲定理，可得延遲環節的傳遞函數延遲定理，可得延遲環節的傳遞函數為：為： 典型環節數學模型注意三點：典型環節數學模型注意三點： （1）系統的典型環節是按數學模型的共性去）系統的典型環節是按數學模型的共性去建立的，它與系統中采用的元件不是一一對應建立的，它與系統中采用的元件不是一一對應的。的。 （2）分析或設計控制系統必先建立系統或被

28、）分析或設計控制系統必先建立系統或被控對象的數學模型，將其與典型環節的數學模控對象的數學模型，將其與典型環節的數學模型對比后，即可知其由什么樣的典型環節組成。型對比后，即可知其由什么樣的典型環節組成。將有助于系統動態特性的研究和分析。將有助于系統動態特性的研究和分析。 （3）典型環節的概念只適用于能夠用線性定）典型環節的概念只適用于能夠用線性定常數學模型描述的系統。常數學模型描述的系統。 框圖與信號流圖方法是自動控制系統的兩種圖形研究方框圖與信號流圖方法是自動控制系統的兩種圖形研究方法，是分析系統的有力工具。法，是分析系統的有力工具。一框圖的基本概念一框圖的基本概念 控制系統的方框圖又稱為方塊

29、圖或結構圖，是系統各控制系統的方框圖又稱為方塊圖或結構圖，是系統各元件特性、系統結構和信號流向的圖解表示法。元件特性、系統結構和信號流向的圖解表示法。它用一個方框表示系統或環節，如上圖所示。框圖的一端它用一個方框表示系統或環節，如上圖所示。框圖的一端為輸入信號為輸入信號r(t)，另一端，另一端 是是 經經 過過 系統或環節后的輸出信號系統或環節后的輸出信號c（t），圖中箭頭指向表示，圖中箭頭指向表示信號傳遞信號傳遞的方向。方框中用文字表示的方向。方框中用文字表示系統或環節，也可以填入表示環節或系統輸出和輸系統或環節，也可以填入表示環節或系統輸出和輸入信號的拉入信號的拉氏變換之比氏變換之比-傳遞

30、函數，這是更為常用的框圖。傳遞函數，這是更為常用的框圖。第五節第五節 框圖及其化簡方法框圖及其化簡方法六六種典型環節的框圖如種典型環節的框圖如下：下：（1）方塊（）方塊（Block Diagram）:表示輸入到輸出單向傳輸間表示輸入到輸出單向傳輸間 的函數關系。的函數關系。G ( s )R ( s )C ( s ) 圖圖2-122-12 方塊圖中的方塊方塊圖中的方塊信號線信號線方塊方塊r(t)c(t)二二 框圖元素框圖元素（2）比較點（合成點、綜合點）比較點（合成點、綜合點）Summing Point 兩個或兩個以上的輸入信號進行加減比較的元件。兩個或兩個以上的輸入信號進行加減比較的元件。 “

31、+”表示相加，表示相加，“-”表示相減。表示相減。“+”號可省略不寫。號可省略不寫。 +11+22+-)()(21sRsR)(1sR)(2sR11-2+32-3注意：進行相加減注意：進行相加減的量，必須具有相的量，必須具有相同的量綱。同的量綱。圖 2-13 (3)分支點（引出點、測量點）分支點（引出點、測量點）Branch Point表示信號測量或引出的位置表示信號測量或引出的位置 （4）信號線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的）信號線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的流向，在直線旁標記信號的時間函數或象函數。流向，在直線旁標記信號的時間函數或象函數。12( )( )( )( )( )C sG s

32、 G sG sE s( )( )( )B sH sC s前向通路傳遞函數前向通路傳遞函數假設假設N(s)=0 ,打開反饋后，輸出打開反饋后，輸出C(s)與與R(s)之比。等價于之比。等價于C(s)與誤差與誤差E(s)之比之比 反饋回路傳遞函數反饋回路傳遞函數 假設假設N(s)=0， 主反饋信號主反饋信號B(s)與輸出信號與輸出信號C(s)之比。之比。+H( s )-+R( s )E( s )B( s )N( s )打打開開反反饋饋)(1sG)(2sGC(s)圖圖2-15 反饋控制系統框圖反饋控制系統框圖三三 幾個基本概念及術語幾個基本概念及術語開環傳遞函數開環傳遞函數 Open-loop Tr

33、ansfer Function 假假設設N(s)=0，主反饋信號主反饋信號B(s)與誤差信號與誤差信號E(s)之比。之比。12( )( )( )( )( )( )( )B sGs Gs H sG s H sE s 從上式可以看出，系統開環傳遞函數等于前向從上式可以看出，系統開環傳遞函數等于前向通道的傳遞函數與反饋通道的傳遞函數之乘積。通道的傳遞函數與反饋通道的傳遞函數之乘積。閉環傳遞函數閉環傳遞函數 Closed-loop Transfer Function 假設假設N(s)=0=0，輸出信號輸出信號C(s)與輸入信號與輸入信號R(s)之比。之比。12( )( )( )( )( )1( ) (

34、 )1( ) ( )G s G sC sG sR sH s G sH s G s推導：因為 ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )C sE s G sR sC s H s G s右邊移過來整理得 ( )( )( )1( )( )C sG sR sH s G s( )( )( )1( ) ( )1C sG sR sH s G s前向通路傳遞函數開環傳遞函數即 *)()(1)()()(sGsHsGsRsC誤差傳遞函數誤差傳遞函數 假設假設N(s)=0，誤差信號誤差信號E(s)與輸入信號與輸入信號R(s)之比之比 。( )11( )1( )( )1E sR sH s G s 開環傳遞函數(

35、 )( ) ( )C sE s G s代入上式，消去代入上式，消去G( (s) )即得：即得：將將)()(1)()()(sGsHsGsRsC*-N(s )C(s)H( s )(2sG)(1sG圖2-16 輸出對擾動的結構利用公式*，直接可得：2( )( )( )( )1( )( )NG sC sMsN sG s H s輸出對擾動的傳遞函數輸出對擾動的傳遞函數 假設假設R( (s)=0)=0)()(1)()()(sGsHsGsRsC*+H( s )-R( s )E( s )B( s )N( s )打打開開反反饋饋)(1sGC(s) + G2（s）誤差對擾動的傳遞函數誤差對擾動的傳遞函數 假設假設

36、R(s)=0 H(s)N(s)E(s)(1sG)(2sG-1圖2-17 誤差對擾動的結構圖 2( )( )( )( )( )1( )( )NEGs HsE sMsN sG s Hs利用公式*，直接可得：)()(1)()()(sGsHsGsRsC* 線性系統滿足疊加原理，當控制輸入線性系統滿足疊加原理，當控制輸入（）與擾動）與擾動()同時作用于系統時，系統的輸出及誤差可表示為：同時作用于系統時，系統的輸出及誤差可表示為：2( )( )( )( )( )1( )( )1( )( )GsG sC sR sN sG s H sG s H s2( )( )1( )( )( )1( )( )1( )( )

37、Gs H sE sR sN sG s H sG s H s注意：由于注意：由于N(s)極性的隨機性，因而在求極性的隨機性，因而在求E(s)時，不能認時，不能認為利用為利用N(s)產生的誤差可抵消產生的誤差可抵消R(s)產生的誤差。產生的誤差。（1 1）考慮負載效應分別列寫系統各元部件的微分方）考慮負載效應分別列寫系統各元部件的微分方程或傳遞函數，并將它們用方框表示。程或傳遞函數，并將它們用方框表示。（2 2）根據各元部件的信號流向，用信號線依次將各）根據各元部件的信號流向，用信號線依次將各方塊連接起來，便可得到系統的框圖。方塊連接起來，便可得到系統的框圖。 系統框圖也是系統數學模型的一種表示。

38、系統框圖也是系統數學模型的一種表示。 四框圖的繪制RCi（a）iuou圖2-18 一階RC網絡 解：根據基爾霍夫電壓定律及電容元件解：根據基爾霍夫電壓定律及電容元件特性可得特性可得ioouuiRid tuc對其進行拉氏變換得對其進行拉氏變換得 ( )( )( )(1)( )( )(2)iooU sUsI sRI sUssC例：畫出下列例：畫出下列RC電路的方塊圖。電路的方塊圖。 將圖（將圖（b b）和）和(c)(c)組合起來即得到圖組合起來即得到圖(d)(d)，圖，圖(d)(d)為為該一階該一階RCRC網絡的框圖。網絡的框圖。（b）I ( s )(sUi)(sUoI(s)（c）)(sUo1R1

39、S C圖 2-19（d）I ( s )(sUo)(sUo)(sUi圖 2-201/R1/SC-例：畫出下列例：畫出下列R-C網絡的方塊圖網絡的方塊圖 分析：分析：由圖由圖2-212-21清楚地看到，后一級清楚地看到，后一級R R2 2-C-C2 2網絡作為前級網絡作為前級R R1 1- -C C1 1網絡的負載，對前級網絡的負載，對前級R R1 1-C-C1 1網絡的輸出電壓產網絡的輸出電壓產生影響，這就是生影響，這就是負載效應負載效應。1cu解：（解：（1 1）根據電路定理列出方程，寫出對）根據電路定理列出方程，寫出對應的拉氏變換，也可直接畫出該電路的運應的拉氏變換，也可直接畫出該電路的運算

40、電路圖如圖算電路圖如圖(b)(b)；（；（2 2）根據列出的）根據列出的4 4個式個式子作出對應的框圖；（子作出對應的框圖；（3 3）根據信號的流向）根據信號的流向將各方框依次連接起來。將各方框依次連接起來。 111111212222()()()( 1 )()()()( 2 )()()()( 3 )()()( 4 )rCCCccUsUsIsRIsIsUss CUsUsIsRIsUss C例 如果在這兩極如果在這兩極R-C網絡之間接入一個輸網絡之間接入一個輸入阻抗很大而輸出阻入阻抗很大而輸出阻抗很小的隔離放大器，抗很小的隔離放大器，如圖如圖2-222-22所示。則此所示。則此電路的方塊圖如圖電路

41、的方塊圖如圖( (b b) )所示。所示。 框圖的框圖的等效變換等效變換相當于在框圖上進行數學方程相當于在框圖上進行數學方程的運算。常用的方框圖等效變換方法可歸納為兩類。的運算。常用的方框圖等效變換方法可歸納為兩類。環節的合并環節的合并; 信號分支點或相加點的等效移動。信號分支點或相加點的等效移動。 框圖變換必須遵循的原則是：變換前、后的數框圖變換必須遵循的原則是：變換前、后的數學關系保持不變，因此框圖變換是一種等效變換，學關系保持不變，因此框圖變換是一種等效變換，同時由于傳遞函數和變量的方程是代數方程，所以同時由于傳遞函數和變量的方程是代數方程，所以框圖變換是一些簡單的框圖變換是一些簡單的代

42、數運算代數運算。（）環節的合并（）環節的合并 環節之間互相連接有環節之間互相連接有三種基本形式：三種基本形式：串聯、并串聯、并聯和反饋聯和反饋連接連接。 五五. . 框圖的等效變換框圖的等效變換1 1環節的串聯環節的串聯 特點特點: 前一個環節的輸出信號就是后一環節前一個環節的輸出信號就是后一環節的輸入信號，的輸入信號，下下圖所示為三個環節串聯的例子。圖中，每個環節的方框圖為：圖所示為三個環節串聯的例子。圖中，每個環節的方框圖為：要求出第三個環節的輸出與第一個環節的輸入之間的傳遞函數時要求出第三個環節的輸出與第一個環節的輸入之間的傳遞函數時 上式表明，三個環節的串聯可以用一個上式表明，三個環節

43、的串聯可以用一個等效環節等效環節來代替。這種情況可以推廣到來代替。這種情況可以推廣到有限有限個環節個環節串聯（各環節之間無負載效應）的情串聯（各環節之間無負載效應）的情況，等效環節的傳遞函數等于各個串聯環節況，等效環節的傳遞函數等于各個串聯環節的傳遞函數的的傳遞函數的乘積，乘積，如有如有n個環節串聯則等效個環節串聯則等效傳遞函數可表示為：傳遞函數可表示為：2. 2. 環節的并聯環節的并聯 環節并聯的特點是各環節的環節并聯的特點是各環節的輸入信號相同輸入信號相同，輸出信號相加，輸出信號相加（或相減），（或相減），下下圖所示為三個環節的并聯，圖中含有信號相加圖所示為三個環節的并聯，圖中含有信號相加

44、點。從圖中可見點。從圖中可見:等效傳遞函數為等效傳遞函數為 ： 以上結論可推廣到一般情況，當有以上結論可推廣到一般情況，當有n個環節并聯時，其個環節并聯時，其輸出信號相加則有等效傳遞函數輸出信號相加則有等效傳遞函數3反饋連接反饋連接 將系統或環節的輸出信號反饋到輸入端，并與原輸入信號將系統或環節的輸出信號反饋到輸入端，并與原輸入信號進行比較后再作為輸入信號，即為反饋連接，如進行比較后再作為輸入信號，即為反饋連接，如下下圖圖所示。所示。負反饋：反饋信號與給定輸入信號符號相反的反饋。負反饋：反饋信號與給定輸入信號符號相反的反饋。 正反饋：反饋信號與給定輸入信號符號相同的反饋。正反饋：反饋信號與給定

45、輸入信號符號相同的反饋。 上述三種基本變換是進行方框圖等效變換的上述三種基本變換是進行方框圖等效變換的基礎。對于較復的系統基礎。對于較復的系統,例如當系統具有信號交例如當系統具有信號交叉或反饋環交叉時叉或反饋環交叉時,僅靠這三種方法是不夠的。僅靠這三種方法是不夠的。 （二）信號相加點和信號分支點的等效變換（二）信號相加點和信號分支點的等效變換 對于一般系統的方框圖，系統中常常出現對于一般系統的方框圖，系統中常常出現信號或反饋環相信號或反饋環相互交叉互交叉的現象，此時可將信號相加點（匯合點）或信號分支的現象，此時可將信號相加點（匯合點）或信號分支點（引出點）作適當的等效移動，先點（引出點）作適當

46、的等效移動，先消除消除各種形式的交叉，各種形式的交叉，再進行等效變換即可。再進行等效變換即可。將信號引出點及匯合點前后移動的規則：將信號引出點及匯合點前后移動的規則：1.變換前與變換后前向通道中傳遞函數的乘積必須保持不變變換前與變換后前向通道中傳遞函數的乘積必須保持不變;2.變換前與變換后回路中傳遞函數的乘積必須保持不變。變換前與變換后回路中傳遞函數的乘積必須保持不變。 信號相加點信號相加點的移動分兩種情況：的移動分兩種情況：前移和后移前移和后移。為使信號。為使信號相加點移動前后輸出量與輸入量之間的關系不變相加點移動前后輸出量與輸入量之間的關系不變,必須在移動必須在移動相加信號的傳遞通道上增加

47、一個環節，它的傳遞函數分別為相加信號的傳遞通道上增加一個環節，它的傳遞函數分別為 1G（S）（前移）和）（前移）和 G（S）（后移）。）（后移）。 信號分支點信號分支點（取出點）的移動也分（取出點）的移動也分前移和后移前移和后移兩種情況。兩種情況。但分支點前移時應在取出通路上增加一個傳遞函數為但分支點前移時應在取出通路上增加一個傳遞函數為G（S）的環節，后移時則增加一個傳遞函數為的環節，后移時則增加一個傳遞函數為1G（S）的環節。）的環節。 此外，兩個相鄰的信號相加點和兩個相鄰的信號分支點可此外，兩個相鄰的信號相加點和兩個相鄰的信號分支點可以互換位置。但必須注意，以互換位置。但必須注意，相鄰的

48、相加點與分支點的位置不相鄰的相加點與分支點的位置不能簡單互換。能簡單互換。 下表列出了信號相加點和信號分支點等效變換的各種方法。下表列出了信號相加點和信號分支點等效變換的各種方法。 例例：求傳遞函數求傳遞函數EiEEo+R1C2s+11R11C s21R21C sR1C2S+-EiEo1 11RCS221RCS圖2-27（a)圖2-27（b)EoR1C2S+-Ei1111111RC SRC S2222111RC SRC SR1C2S+-EiEo11221(1)(1)RC SR C S圖2-27（c)圖2-27（d)EiEo212121 122121()1RRCC SRCRCRC S圖2-27（

49、e)第六節第六節 信號流圖與梅遜公式信號流圖與梅遜公式 信號流圖信號流圖和框圖類似，和框圖類似，都可用來表示系統結構和信號傳送都可用來表示系統結構和信號傳送過程中的數學關系。因而過程中的數學關系。因而信號流圖也是數學模型一種表示。信號流圖也是數學模型一種表示。 框圖及其等效變換雖然對分析系統很有效，但是對于比較框圖及其等效變換雖然對分析系統很有效，但是對于比較復雜的系統，方框圖的變換和化簡過程往往顯得繁瑣、費時，復雜的系統，方框圖的變換和化簡過程往往顯得繁瑣、費時，并易于出錯。如采用信號流圖，則可利用并易于出錯。如采用信號流圖，則可利用梅遜公式梅遜公式，不需作變，不需作變換而直接得出系統中任何

50、兩個變量之間的數學關系。換而直接得出系統中任何兩個變量之間的數學關系。（）基本概念）基本概念 信號流圖是一種將線性代數方程組用圖形來表示的方法。信號流圖是一種將線性代數方程組用圖形來表示的方法。例如：例如： 一一. . 信號流圖及其等效變換信號流圖及其等效變換 信號流圖中，用小圓圈信號流圖中，用小圓圈“O”表示變量，并稱其為表示變量，并稱其為節點節點。節。節點之間用點之間用加權加權的有向線段連接，稱為的有向線段連接，稱為支路支路。通常在支路上標明。通常在支路上標明前后兩個變量之間的數學關系，因此支路的前后兩個變量之間的數學關系，因此支路的權又稱為權又稱為傳輸傳輸。（二）常用術語（二）常用術語

51、信號流圖中除有節點和支路外，還常用到下述術語。信號流圖中除有節點和支路外，還常用到下述術語。 1.1. 出支路：出支路：離開節點的支路。離開節點的支路。2. 入支路入支路：進入節點的支路。：進入節點的支路。3. 源節點源節點：只有出支路的節點，對應于自變量或外部輸人，因此也稱為：只有出支路的節點，對應于自變量或外部輸人，因此也稱為輸入節點。輸入節點。4. 匯節點匯節點：只有入支路的節點，對應于因變量，有時也稱為輸出節點。：只有入支路的節點，對應于因變量，有時也稱為輸出節點。 5. 混合節點混合節點：既有入支路，又有出支路的節點。：既有入支路，又有出支路的節點。6. 通道通道：又稱為路徑，是指從

52、一個節點出發，沿著支路的箭號方向相繼：又稱為路徑，是指從一個節點出發，沿著支路的箭號方向相繼經過多個節經過多個節 點間的支路，一個信號流圖可以有多條通道。點間的支路，一個信號流圖可以有多條通道。7. 開通道開通道：如果通道從某個節點出發，終止于另一個節點上，并且通道：如果通道從某個節點出發，終止于另一個節點上，并且通道中每個節點只經過一次，則稱這樣的通道為開通道。中每個節點只經過一次，則稱這樣的通道為開通道。 8. 閉通道閉通道：如果通道的終點就是通道的起始點，并且通道中：如果通道的終點就是通道的起始點，并且通道中每個節點只經過一次，則該通道稱為閉通道或回路、回環每個節點只經過一次，則該通道稱

53、為閉通道或回路、回環等。如果一個通道從一個節點開始，只經過一個支路又回等。如果一個通道從一個節點開始，只經過一個支路又回到該節點，則稱這樣的通道為自回環。到該節點，則稱這樣的通道為自回環。 9. 前向通道前向通道：從源節點出發到匯節點終止，而且每個節點只：從源節點出發到匯節點終止，而且每個節點只通過一次的通道稱為前向通道。通過一次的通道稱為前向通道。10.互不接觸回環互不接觸回環：如果一些回路沒有任何公共節點和回路，：如果一些回路沒有任何公共節點和回路，就稱它們為互不接觸回環。就稱它們為互不接觸回環。11.通道傳輸通道傳輸：指沿通道各支路傳輸的乘積，也稱為通道增益。：指沿通道各支路傳輸的乘積，

54、也稱為通道增益。 12. 回環傳輸回環傳輸：又稱為回環增益，指閉通道中各支路傳輸的：又稱為回環增益，指閉通道中各支路傳輸的乘積。乘積。第一張第一張第一張 例如例如下下圖中，圖中，x。為源節點，為源節點，x6為匯節點。為匯節點。 x1、x2、x3、x4和和x5為混合節點。通道為混合節點。通道abcdej是一條前向通道，而是一條前向通道，而abcde和和fghi是普通的通道，是普通的通道，ai不是通道不是通道,因為兩條支路的方向不一致。因為兩條支路的方向不一致。bbi也不是通道，因為兩次經過節點也不是通道，因為兩次經過節點x1 。bi是一個閉通道是一個閉通道（回（回環）環），而而bchi不是一個閉

55、通道，因為有兩次經過節點不是一個閉通道，因為有兩次經過節點x2。圖中。圖中共有四個回環，即共有四個回環，即bi,ch,dg和和ef。兩個互不接觸的回環有三種。兩個互不接觸的回環有三種組合，即組合，即bief,bidg和和chef。本系統沒有三個及三個以上互不接。本系統沒有三個及三個以上互不接觸的回環。觸的回環。（三）信號流圖的基本性質（三）信號流圖的基本性質 （四）信號流圖的簡化（四）信號流圖的簡化 （l）串聯支路的總傳輸等于各支路傳輸的乘積。）串聯支路的總傳輸等于各支路傳輸的乘積。 （2）并聯支路的總傳輸等于各支路傳輸之和。）并聯支路的總傳輸等于各支路傳輸之和。 （3）混合節點可以用移動支路的方法消去。）混合節點可以用移動支路的方法消去。 （4）回環可以用框圖中反饋連接的規則化為）回環可以用框圖中反饋連接的規則化為等效支路。等效支路。 （1）用）用節點節點表示表示變量變量，源節點源節點代表代表輸入量輸入量，匯節點匯節點代表代表輸輸出量出量，用混合節點表示變量或信號的匯合。在，用混合節點表示變量或信號的匯合。在混合節點混合節點處，所處，所有有出支路出支路的信號（即混