1、第二章 導數與微分內容概要名稱主要內容導數的定義函數的求導法則(1) 導數的四則運算法則i.ii.iii.(2) 復合函數的求導法則(鏈式法則)隱函數的導數(1) 求隱函數的導數時,只需將確定隱函數的方程兩邊同時對自變量求導,凡遇到含有因變量的項時,把當作中間變量看待,再按照復合函數求導法則求之,然后從所得等式中解出(2) 對數求導法:對冪指函數,可以先在函數兩邊取對數,然后在等式兩邊同時對自變量求導,最后解出所求導數反函數的導數反函數的導數等于直接函數導數的倒數,即,其中為的反函數高階導數(1) 直接法:利用基本求導公式及導數的運算法則,對函數逐次地連續求導(2) 間接法:利用已知的高階導數

2、公式,通過導數的四則運算,變量代換等方法,間接求出指定的高階導數(3) 萊布尼茨公式 課后習題全解習題2-1 1. 用定義求函數在處的導數.知識點：函數在某點處導數的定義思路：按照三個步驟：(1)求增量；（2）算比值；（3）求極限解： 2. 已知物體的運動規律,求該物體在時的速度.知識點：導數的定義思路： 根據導數的定義，按照三個步驟求導解: 3. 設存在，試利用導數的定義求下列極限：知識點：導數的定義思路：利用導數的定義式求極限(1)解：(2)解： (3)解： 4.設在處連續，且，求.知識點:導數和連續的定義思路: 關鍵求出,再利用導數的定義解: 在處連續又 5.給定拋物線,求過點的切線方程

3、與法線方程.知識點：導數的幾何意義思路：利用導數的幾何意義得切線的斜率解: 切線的斜率切線的方程為,即 法線方程為,即 6.求曲線在點處的切線方程和法線方程.知識點：導數的幾何意義思路：利用導數的幾何意義得切線的斜率解: 切線的斜率切線的方程為,即 法線方程為,即 7.函數在點處是否可導?為什么?知識點：函數在某點可導的充要條件思路：利用導數的定義求左右導數，然后利用函數在某點可導的充要條件判別解： 在處不可導. 8.用導數的定義求在處的導數.知識點：函數在某點可導的充要條件思路：利用導數的定義求左右導數，然后利用函數在某點可導的充要條件解: 9.設,求.知識點：分段函數的導數思路：分段函數在

4、每一段內可以直接求導，但是在分段點處要利用導數的定義求導解：當時，當時，當時， 10.試討論函數在處的連續性與可導性.知識點：函數在某點連續與可導的定義思路：利用函數在某點連續與可導的定義判斷解: 在處連續. 在處可導. 11.設在處連續, ,求.知識點：函數在某點處導數的定義思路：利用導數的定義求導數解:在處連續 12.設不恒為零的奇函數在處可導,試說明為函數的何種間斷點.知識點：導數以及間斷點的定義思路：利用導數的定義求極限解:為奇函數 又在處可導 即在處有極限.為函數的可去間斷點. 13.當物體的溫度高于周圍介質的溫度時,物體就不斷冷卻,若物體的溫度與時間的函數關系為,應怎樣確定該物體在

5、時刻的冷卻速度?知識點: 導數的定義思路: 導數反映的是函數的變化率,在時刻的冷卻速度即為函數對時間的導數解:時刻該物體的溫度為,則時刻物體的溫度為,物體在時刻的冷卻速度. 14.設函數在其定義域上可導,若是偶函數,證明是奇函數;若是奇函數,則是偶函數(即求導改變奇偶性).知識點：導數的定義思路：利用導數的定義求導數解:若為偶函數時, 為奇函數. 若為奇函數時, 為偶函數.習題2-2 1. 計算下列函數的導數：知識點：基本初等函數的導數和導數的四則運算法則思路：利用基本初等函數的導數和導數的四則運算法則求導數(1);解: (2);解: (3);解: (4);解: (5);解: (6);解: (

6、7);解:(8);解:(9);解: (10);解： (11);解:(12).解: 2.計算下列函數在指定點處的導數:知識點：基本初等函數的導數和導數的四則運算法則思路：利用基本初等函數的導數和導數的四則運算法則求導數(1),求;解: (2),求.解: 3.求曲線上橫坐標為的點處的切線方程與法線方程.知識點：導數的幾何意義，基本初等函數的導數和導數的四則運算法則 思路：利用基本初等函數的導數和導數的四則運算法則求導數得切線的斜率解: 在的點處切線的斜率又當時, 在的點處切線方程為，法線方程為 4.寫出曲線與軸交點處的切線方程.知識點：導數的幾何意義，基本初等函數的導數和導數的四則運算法則 思路：

7、利用基本初等函數的導數和導數的四則運算法則求導數得切線的斜率解:當時，即 解得或 曲線與軸的交點為, 點處的切線的斜率為 切線方程為，即 點處的切線的斜率為 切線方程為，即 5.求下列函數的導數:知識點：基本初等函數的導數以及復合函數的求導法則思路：利用鏈式法則求復合函數的導數(1);解:(2);解:(3);解:(4);解:(5);解:(6);解:(7);解:(8);解:(9).解: 6.求下列函數的導數:知識點：導數的四則運算法則和復合函數的求導法則思路：利用導數的四則運算法則和復合函數的求導法則求導數(1);解: (2);解:(3);解:(4);解:(5);解:(6);解:(7);解:(8

8、);解:(9)解:(10);解: (11);解:(12).解: 7.設為可導函數,求:知識點：復合函數的導數思路：利用鏈式法則求復合函數的導數(1);解:(2);解:(3).解: 8.設,且可導,求.知識點：抽象函數的導數思路：利用換元法求函數表達式，然后求導數解:令,則 9.設為可導函數，且，求.知識點：復合函數的導數思路：表示對的導數，表示對的導數，注意求導的變量解: 由有 令,則 10.已知，求.知識點：抽象函數的導數思路：利用換元法求函數表達式，然后求導數解:令,則 11.已知,且,證明.知識點：復合函數的導數思路：利用鏈式法則求導數解:由，得 12.設在內可導,且,證明:知識點: 復

9、合函數的導數思路: 利用鏈式法則求導解:由,有 13.求下列函數的導數:知識點：復合函數的導數思路：利用鏈式法則求導數(1);解:(2);解:(3);解:(4);解:(5);解:(6).解:習題2-3 1.求下列函數的二階導數:知識點：高階導數思路：利用基本求導公式及導數的運算法則,對函數逐次求導(1);解: (2);解: (3);解:(4);解:(5);解:(6);解: (7);解: (8);解:(9).解: 2.設,求.知識點：高階導數思路：利用基本求導公式及導數的運算法則,對函數逐次求導解: 3.已知物體的運動規律為(是常數),求物體運動的加速度,并驗證:.知識點：高階導數思路：利用基本

10、求導公式及導數的運算法則,對函數逐次求導解: 4.驗證函數(是常數)滿足關系式: 知識點：高階導數思路：利用基本求導公式及導數的運算法則,對函數逐次求導解: 5.設連續,且,求.知識點: 導數的定義思路: 因為不一定存在,不能直接求二階導數,要利用導數的定義求解: 又連續,但不一定存在 6.若存在,求下列函數的二階導數.知識點: 高階導數,復合函數的求導法則思路: 利用鏈式法則求導(1)解: (2).解: 7.已知在處有二階導數,試確定參數的值.知識點：可導與連續的定義，以及可導與連續的關系思路：由已知條件得方程組，聯立方程組求解解:在處有二階導數 在處連續，且在處連續從而有，即 又 在處可導

11、 而 ，且 又 在處二階可導 而 ，即8.求下列函數所指定階的導數:知識點：高階導數思路: 利用已知的高階導數公式和萊布尼茨公式求高階導數 (1)求;解: (2),求;解: (3) ,求;解: (4),求.解: 9.作變量代換,簡化方程.知識點: 高階導數思路: 利用鏈式法則求導 解: 又 代入方程得 即 習題2-41.求下列方程所確定的隱函數的導數:知識點: 隱函數的導數思路: 方程兩邊同時對自變量求導,凡遇到含有因變量的項時,把當作中間變量看待,再按照復合函數求導法則求之,然后從所得等式中解出 (1);解:方程兩邊同時對求導,得 解得 (28) ;解:方程兩邊同時對求導,得 解得 (3)

12、;解:方程兩邊同時對求導,得 解得 (4);解:方程兩邊同時對求導,得 解得 (5).解:方程兩邊同時對求導,得 即 解得2.求下列方程所確定的隱函數的導數:知識點: 隱函數的導數,高階導數思路: 方程兩邊同時對自變量求導,凡遇到含有因變量的項時,把當作中間變量看待,再按照復合函數求導法則求之,然后從所得等式中解出,再對一階導數利用導數四則運算法則和復合函數求導法則求導 (1) 解:方程兩邊同時對求導,得 解得 (2);解: 方程兩邊同時對求導,得 解得 (3).解: 方程兩邊同時對求導,得 解得 3.用對數求導法則求下列函數的導數:知識點: 對數求導法思路: 在函數兩邊取對數,然后在等式兩邊

13、同時對自變量求導,最后解出所求導數 (1);解:等式兩邊同時取對數,得 等式兩邊同時對求導,得 (2) 解: 等式兩邊同時取對數,得等式兩邊同時對求導,得 (3) 解:等式兩邊同時取對數,得等式兩邊同時對求導,得 4.設函數由方程確定,求,并求曲線上其橫坐標處點的切線方程與法線方程.知識點:隱函數導數和導數的幾何意義思路: 方程兩邊同時對自變量求導,凡遇到含有因變量的項時,把當作中間變量看待,再按照復合函數求導法則求之,然后從所得等式中解出解: 方程兩邊同時對求導,得 解得 當時, 在處切線的斜率 處的切線方程為,即 法線方程為,即 5.求曲線在對應點處的切線方程和法線方程.知識點: 參數方程

14、表示的函數的導數思路: 利用參數方程表示的函數的求導公式求導解: 當時, 在對應點處的切線方程為, 即 法線方程為, 即6.求下列參數方程所確定的函數的導數:知識點: 參數方程表示的函數的導數思路: 利用參數方程表示的函數的求導公式求導 (1) ;解: (2) ;解: (3) .解: 7.求下列參數方程所確定的函數的導數:知識點: 參數方程表示的函數的導數思路: 利用參數方程表示的函數的求導公式求一階導數,再將看作中間變量利用復合函數求導法則求二階導數, (1) ;解: (2) ;解: (3) .解: 8.落在平靜水面上的石頭,產生同心波紋,若最外一圈波半徑的增大率總是6,問在2末擾動水面面積

15、的增大率為多少? 知識點: 導數的定義 思路: 導數反映的函數的變化率,列出函數求導解:設最外一圈波半徑為,則水面面積擾動水面面積的增大率 (*)在時,. 代入(*)式得 9.一長為5米得梯子斜靠在墻上.如果梯子下端以0.5米/秒的速率滑離墻壁,試求梯子與墻的夾角為時,該夾角的增加率.知識點: 導數的定義思路: 導數反映的函數的變化率,列出函數求導解:設梯子下端離墻面的距離為,則設梯子與墻的夾角為,則 當時,即 當時,夾角的增加率為 10.在中午十二點整甲船以6公里/小時的速率向東行駛,乙船在甲船之北16公里處,以8公里/小時的速率向南行駛,問下午一點整兩船相距的速率為多少?知識點: 導數的定

16、義思路: 導數反映的函數的變化率,列出函數求導解:在十二點后小時甲船行駛的路程(km),乙船行駛的路程為(km)當時,甲乙兩船的距離當時,甲乙兩船相距的速率km/h習題2-5 1.已知，在點處計算當分別為1，0.1，0.01時的及之值.知識點：函數增量以及函數微分的定義思路：利用函數增量以及函數微風的定義計算即可解： 當時， (2) 當時， (3) 當時， 2.將適當的函數填入下列括號內，使等式成立：知識點：微分形式的不變性思路：利用求函數微分(1) 解： (2) 解： (3) 解： (4) 解： (5) 解： (6) 解： 3.求下列函數的微分：知識點：基本初等函數的導數，導數的四則運算法則

17、，復合函數的導數，以及微分的定義思路：利用求函數微分 (1) 解： （2）解： (3) 解: (4) 解: (5)解: (6)解: (7)解: (8)解: 4.求方程所確定的函數的微分.知識點: 微分的四則運算法則和微分形式的不變性思路: 方程兩邊同時求微分,再解出解:方程兩邊同時求微分, 即 化簡得 5.求由方程所確定的函數的微分. 知識點: 微分的四則運算法則和微分形式的不變性 思路: 方程兩邊同時求微分,再解出解:方程兩邊同時求微分,得 即 化簡得 6.當較小時,證明下列近似公式:知識點: 微分的應用思路: 當較小時, (1)解:當較小時, 即(2)解: 即(3)解: 即 7.計算下列格

18、式的近似值:知識點: 微分的應用思路: 當較小時, (1) 解: 令則取得(2) 解:令,則取,得(3) 解:令,則取,得 8.為了計算出球的體積(精確到1%), 問度量球的直徑所允許的最大相對誤差是多少?知識點: 微分的定義思路: 當很小時, 解:球的體積 由題目已知條件可知 9.擴音器插頭為圓柱形,截面半徑為0.15cm,長度為4cm,為了提高它的導電性能,要在該圓柱的側面鍍上一層厚為0.001cm的純銅,問每個插頭約需多少克純銅?知識點: 微分的定義思路: 當很小時, 解:圓柱底面積 鍍層的體積 10.某廠生產一扇形板,半徑 ,要求中心角為,產品檢測時,一般用測量弦長的方法來間接測量中心

19、角.如果測量弦長時的誤差,問由此而引起的中心角測量誤差是多少?知識點: 微分的定義思路: 當很小時, 解: ,又(弧度)總習題二 1.設存在，求知識點：導數的定義思路：利用導數的定義式求極限解： 2設，求.知識點: 導數的四則運算法則思路: 含有的項為零,所以只需要求出導數不含的解: 3.設對任何滿足,且(常數),求.知識點: 導數的定義思路: 關鍵湊出導數定義的極限形式解:由得 而 令,則,當時, 即 4.設函數對任何實數有且,證明:函數可導,且.知識點: 導數的定義思路: 關鍵湊出導數定義的極限形式解:由 5.求解下列問題: (1)求的反函數的導數;知識點: 反函數的導數思路: 反函數的導

20、數等于原函數導數的倒數解: (2)設是的反函數,且,求.知識點:反函數的導數思路: 關鍵是理解反函數和原函數之間的關系,反函數中的自變量的值是原函數的函數值解:由得 6.在拋物線上取橫坐標為及的兩點,作過兩點的割線,問拋物線上哪一點的切線平行于這條割線?知識點:導數的幾何意義思路: 切線的斜率為曲線在該點的導數,列方程求解解:當時,; 當時，過點(1,1)和點(3,9)的直線的斜率為設點處的切線平行于這條割線，則，即 ，即 7.求與直線垂直的曲線的切線方程.知識點:導數的幾何意義思路: 切線的斜率為曲線在該點的導數,列方程求解解: 直線的斜率為設點處的切線與直線垂直,則或當時,;當時,點為(-

21、1,1)或(3,5) 切線方程為即或，即 8.討論函數在點處的可導性.知識點: 導數的定義思路: 利用定義求左右導數,看左右導數是否相等解: 在處可導. 9.設函數,為了使函數在處連續且可導,應取什么值知識點:連續與可導的定義思路: 利用連續與可導的定義的方程組求解解：要使在處連續，則要使在處可導，則而, 10.試確定，使在處可導.知識點: 連續與可導的定義思路: 可導一定連續,由連續性和可導得方程組求解解：若在處可導，則在處連續 要使在處可導，則而 由得 11.設函數在-1,1上定義,且滿足,證明存在,且.知識點: 導數的定義思路: 利用定義求左右導數,看左右導數是否相等解：由,得 當時而由

22、夾逼準則知當時而由夾逼準則知又 12.設,求.知識點: 導數的定義思路: 求分段函數在分段點的導數, 利用定義求左右導數,看左右導數是否相等解: 13.求下列函數的導數:知識點: 導數的四則運算法則及復合函數的求導法則思路: 利用導數的四則運算法則和鏈式法則求導數 (1);解： (2);解： (3);解： (4);解： (5);解： (6);解： (7);解： (8);解： (9).解: 14.設,求知識點: 導數的四則運算法則及復合函數的求導法則思路: 先利用對數的性質化簡函數, 再利用導數的四則運算法則和鏈式法則求導數解：15.設為可導函數,求:知識點: 導數的四則運算法則及復合函數的求導

23、法則思路: 利用導數的四則運算法則和鏈式法則求導數 (1);解： (2).解： 16.設時，可導函數滿足：，求.知識點: 函數的定義思路: 由已知條件可將自變量換為,得方程組求解解：由得得 17.已知,求.知識點: 復合函數的導數思路: 利用鏈式法則求導解:18.求下列函數的二階導數:知識點: 高階導數思路: 利用基本求導公式及導數的運算法則,對函數逐次求導 (1);解： (2).解： 19.試從導出:知識點:高階導數思路: 要分清求導的變量,求導過程中表示對自變量的導數(1);解：(2).解： 20.已知函數具有任意階導數，且，則當n為大于2的正整數時，的n階導數是( A )知識點: 高階導

24、數思路: 利用歸納推理法(A);(B);(C);解： 歸納可得21.求下列函數所指定階的導數：知識點: 高階導數思路: 通過函數變形, 利用已知的高階導數公式間接求出指定的高階導數,對乘積函數利用萊布尼茨公式求階導數 (1),求；解： (2)設，求；解： (3)，求.解： 22.設,求.知識點: 高階導數思路: 轉化為乘積函數,利用萊布尼茨公式求階導數解： 等式兩邊同時求n階導數,并由萊布尼茨公式,可得當時,有 ,又 由(*)式遞推,可得 23.求曲線在點處的切線方程和法線方程.知識點: 導數的幾何意義思路: 利用隱函數的求導方法求出導數,得切線斜率解：方程兩邊同時對求導,得解得 點處切線的斜

25、率為切線方程為，即 法線方程為，即 24.設方程確定為的函數,求.知識點:隱函數導數思路: 將方程兩邊同時對自變量求導,凡遇到含有因變量的項時,把當作中間變量看待,再按照復合函數求導法則求之,然后從所得等式中解出解：方程兩邊同時對求導,得 解得 將代入方程,得 25.用對數求導法則求下列函數的導數:知識點: 隱函數求導思路: 方程兩邊同時取對數,利用對數性質化簡函數,再利用隱函數的求導方法求導數 (1);解:兩邊同時取對數,得 兩邊同時對求導,得 (2).解: 兩邊同時對求導,得 26.設函數由方程所確定，求.知識點:隱函數求導法思路: 先利用隱函數求導法求一階導數,再對一階導數求導,在求到過

26、程中將看作中間變量,利用復合函數求導法求之解:方程兩邊同時對求導,得解得 將代入方程得 27.求下列方程所確定的隱函數的導數:知識點:隱函數求導法思路: 先利用隱函數求導法求一階導數,再對一階導數求導,在求到過程中將看作中間變量,利用復合函數求導法求之 (1)；解:等式兩邊同時對求導,得 解得 將代入得 (2).解: 方程兩邊同時對求導,得 解得 將代入得 28.設由方程所確定,二階可導且,求.知識點: 隱函數的導數思路: 利用對數求導法求一階導數,再求二階導數解：等式兩邊同時取對數,得 等式兩邊同時對求導,得 29.求下列參數方程所確定的函數的二階導數:知識點: 參數方程表示的函數的導數思路

27、: 求二階導數時將看作中間變量,利用復合函數求導法則求之 (1);解: (2).解: 30.設由方程組確定了是的函數，則( )知識點: 參數方程表示的函數及隱函數的導數思路: 求二階導數時將看作中間變量,利用復合函數求導法則求之(A); (B) (C) (D)解:在方程的兩邊同時對求導,得解得 由得 31.設函數由方程所確定，求.知識點: 隱函數的導數思路: 利用對數求導法,在等式兩邊同時取對數,再求隱函數的導數解: 方程兩邊同時取對數,得.即等式兩邊同時對求導,得 32.設函數的極坐標式為,求.知識點:參數方程表示的函數的導數思路: 利用函數的極坐標形式轉化為參數方程解:由得 33.設一質點的運動方程為,求質點在時的運動速度及加速度的大小(為大于零的常數).知識點: 參數方程表示的函數的導數思路: 由導數的意義知,而解: 34.求下列函數的微分:知識