1、實用標準無錫特人教育1對1數學學科與學案（第1次課）教師： 柏鶴 學生:年級：日期：星期：時段:課 題圓專題復習教學目標1:復習并掌握圓的相關知識點；2:掌握圓有關題型的解答思路和方法。教學重點圓的綜合題型的解答。教學難點掌握圓相關題型的解題思路，能夠做到舉一反二。教學內容與過程（一）、檢查和評講上次課課后作業、簡要回顧上次課內容教學內容與過程（二）三、本次課知識點梳理一、圓的概念集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合；3、圓的內部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡形式的概念：圓：到定點的距離等于定長的

2、點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓;二、點與圓的位置關系1、點在圓內 ;d ： r點C在圓內；2、點在圓上 二d = r點B在圓上；3、點在圓外;d r點A在圓外；三、直線與圓的位置關系1、直線與圓相離二 dr口 無交點；2、直線與圓相切二d二r二有一個交點;3、直線與圓相交二d:：r二后兩個交點;文檔大全四、圓與圓的位置關系外離（圖1）二 無交點外切（圖2）= 有一個交點相交（圖3）= 有兩個交點 內切（圖4）=有一個交點 內含（圖5）二 無交點d R r ；d = R r ;R-r ： d 二 R r ;d=R-r;d :R-r;圖1圖2五、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平

3、分弦所對的弧。推論1： （1）平分弦（此弦不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結論, 即：AB是直徑 AB_LCD CE = DE 推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在。中，= AB / CD.弧 AC =MBD弧BC=MBD 弧ac=Mad六、圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等, 弦心距相等。 此定理也稱1推3定理，即上述四個結

4、論中， 只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結論， 即： /AOB =/DOE ; AB = DE ; OC =OF ;弧 BA=M BDB七、圓周角定理1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。即：V /AOB和/ACB是弧AB所對的圓心角和圓周角丁. /AOB =2/ACB2、圓周角定理的推論：推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧 是等弧；即：在。中，= /C、/D都是所對的圓周角.2C =4ABA推論2:半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑即：在。中，AB是直徑或.一/C=90口ZC =909

5、AB 是直徑推論3:若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形即：在 ABC 中，v OC = OA = OB. ABC是直角三角形或ZC =90°注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于 斜邊的一半的逆定理。八、圓內接四邊形圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形的對角互補，外角等于它的內對角 即：在。O中，二.四邊形ABCD是內接四邊形.C . BAD =180. B . D =180.DAE 二，C九、切線的性質與判定定理(1)切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線;兩個條件：過半徑 外端且垂直半徑，二者缺一不可即：= M

6、N_LOA且MN過半徑OA外端 MN是。的切線(2)性質定理：切線垂直于過切點的半徑(如上圖)推論1:過圓心垂直于切線的直線必過切點。推論2:過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心；過切點；垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個 十、切線長定理切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平 分兩條切線的夾角。即：: PA、PB是的兩條切線PA = PB PO平分 NBPAH一、圓幕定理(1)相交弦定理：圓內兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。即：在。中，;弦AB、CD相交于點P,PA PB = PC PD(2)

7、推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段 的比例中項。即：在。中，二.直徑AB -LCD ,2 CE = AE BE(3)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割 線與圓交點的兩條線段長的比例中項。即：在。中，: PA是切線，PB是割線PA2 =PC PB（4）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）。即：在。O 中，v PB、PE是割線 PC PB = PD PE十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的的公共弦。如圖：O1O2垂直平分ABo即：Oi、。2相交于A、B兩點O

8、1O2垂直平分AB十三、圓的公切線兩圓公切線長的計算公式:AO2O1ABCO1O2(1)公切線長：RtZOQzC 中，AB2 =CO12 =O1O2 CO22 ；CO2是半徑之差； 內公切線長：CO2是半徑之和十四、圓內正多邊形的計算（1）正三角形在。O中 ABC是正角形，有關計算在RUBOD中進行：OD : BD :OB =1: S: 2 ;（2）正四邊形同理，四邊形的有關計算在 RtiOAE中進行，OE: AE:OA=1:1: 72：（3）正六邊形同理，六邊形的有關計算在 RMOAB中進行，AB:OB:OA=1: 73:2.十五三角形外接圓內切圓三角形一定有外接圓，其他的圖形不一定有外接圓

9、。 三角形的外接圓圓心是 三邊的垂直平分線的交點。三角形外接圓圓心叫外心銳角三角形外心在三角形內部。直角三角形外心在三角形斜邊中點上。鈍角三角形外心在三角形外。有外心的圖形、一定有外接圓 （各邊中垂線的交點、叫做外心）外接圓圓心到三角形各個頂點的線段長度相等過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心在三角形中，三角形的外心不一定在三角形內部，可能在三角形外部（如鈍角三角形） 也可能在三角形上（如直角三角形）過不在同一直線上的三點可作一個圓（且只有一個圓）與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，圓心叫做三角形的內心,三角形叫做圓的外切三角形。三角形的內心是三角形三條角平分

10、線的交點。三角形一定有內切圓,其他的圖形不一定有內切圓,且內切圓圓心定在三角形內部。示FI中，三個角的角平分線的交點是內切圓的圓心，圓心到三角形各個邊的垂線段相等。內切圓的半徑為 r=2S+C,當中S表示三角形的面積，C表示三角形的周長。在直角三角形的內切圓中，有這樣兩個簡便公式： 1、兩直角邊相加的和減去斜邊后除以2,得數是內切圓的半徑。2、兩直角邊乘積除以直角三角形周長，得數是內切圓的半徑。1、r=(a+b-c)/2(注：r是Rt內切圓的半徑， a, b是Rt 的2個直角邊，c是斜邊)2、r=ab/ (a+b+c)十六、扇形、圓柱和圓錐的相關計算公式1、扇形：(1)弧長公式：l =竺巨；1

11、802(2)扇形面積公式：S = L旦= 11R3602n：圓心角 R:扇形多對應的圓的半徑l :扇形弧長 S:扇形面積2、圓柱：(1)圓柱側面展開圖S表=S側2 s底二2二由2二r2(2)圓柱的體積：V =nr2h(2)圓錐側面展開圖(1) $表=S側+S底="Rr +7r r2AB1 c(2)圓錐的體積：V =-Ttr h3圓錐的側面展開圖的弧長等于圓錐的底面周長;高組成直角三角形，可利用勾股定理求解.圓錐的底面半徑,母線長,四、典型例題講解或例文分析點與圓的位置關系1 .已知四邊形ABCD1菱形，設點E、F、G H是各邊的中點，試判斷點E、F、G H是否在同一個圓上， 為什么？

12、又自AC BD的交點O向菱形各邊作垂線，垂足分別為 M N P、Q點，問：這四點在同一個 圓上嗎？為什么？2 .已知。的直徑為16厘米，點E是。內任意一點，（1）作出過點E的最短的弦；（2）若OE=4厘米, 則最短弦在長度是多少？垂徑定理1 .如圖，在。中，弦AB=2a點C是弧AB的中點，CDL人8。口也則。的半徑R=2 .。與OQ相交于點A B,過點B作CD/ OQ ,分別交兩圓于點 C D.求證:CD= 2OQ3 .如圖7-12,圓管內，原有積水平面寬 CD=10厘米，水深 GF=1厘米，后水面上升1厘米(即EG=1厘 米)，問：些時水面寬 AB為多少？圖 7-12圓心角、圓周角1 .如圖

13、，設點P是。的直徑AB上的一點，在AB的同側由點P到圓上作兩條線段PQ PR,若/APQ二 /BPR求證： AP(QARPB.圖 7-352 .如圖，AB是。的直徑，D是AB的中點，CD交AB于點E, (!)求證：aD=CD?DE; (2)若AC6 ,BC=J3 , 求BE的長。圖 7-383 .如圖，ZXABC的高AR BE交于點M,延長AD交 ABC卜接圓于點G,求證：D為GMM勺中點。圖 7-39圓的內接四邊形1 .圓內接四邊形 ABCD勺一組對邊AB DC的延長線相交于點 P,求證：(1)PB? AC= PC? BD (2)點P到AD的距離與點P到BC的距離之比等于AD:BC.2 .四

14、邊形ABCD!。的內接梯形，AB/ BC,對角線AC BD相交于點E.求證：OE平分/ BEC.直線和圓的位置關系1.如圖，AB是。的直徑，BP切。于點B,。的弦AC平行于OP (1)求證：PC是。的切線;PB AC：2) 如果切線PC和BA的延長線相父于點D,且DA等于。的半徑，求證： 一=-C.DP OP田 7-92如圖，AT切。O于點 T, CB為。O直徑，/ BCT=3dCT="3 ,求 BC AG Saabt .圖 7-943.AB是。的直徑，CD! AB,AD DB是方程x2-5x+4=0的兩個根，求CD的長圓和圓的位置關系1 .如圖，互相外切的兩圓。和。Q都與/ MPN

15、勺兩邊PM PN相切，若/ MPN= 60° ,則小圓半徑ri和大圓半徑2的比值為.2 .如圖，。0與。Q外切于T點，過點了的直線分別交兩圓于點 A、B, /AOT= 80° , C是。Q上任 點，則 / TCB=3 .如圖，。和。相交于A、B兩點，一直線CED眠次交。0于點G D,交。于點E、F,則/CB已五、課內鞏固性練習1. （2011福建福州）如圖，以。為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB切小圓于點C ,若/AOB =120，則大 圓半徑R與小圓半徑r之間滿足（）D. R=2/rA . R =3rB. R=3r C . R=2r2. （2011山東東營）如圖，直線y=

16、x+4與x軸、y分別相交與A、B兩點，圓心P的坐標為（1, 30）,圓P與y軸相切與點Q若將圓P沿x軸向左移動，當圓P與該直線相交時，橫坐標為整數的點P'的個數是（）C. 4D. 53. （2011四川廣安）如圖l圓柱的底面周長為6cm, AC是底面圓的直徑，高BC = 6cm,點P是母線BC 上一點且PC=2BC . 一只螞蟻從A點出發沿著圓柱體的表面爬行到點 P的最短距離是（）36、A . （4 + - ） cm B. 5cm C . 3 而 cm D . 7cm 耳4. （11湘潭）興隆蔬菜基地建圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示，已知a五16m半徑。上10 m高度CD為 m .5.

17、（2011四川宜賓）如圖，PA PB是。的切線，A、B為切點，AC是。的直徑，/ P=40° ,則/ BAC=8. (11南昌)如圖，AB為。O勺直彳全,CD_LAB于點E,交。于點D , OF_L AC于點F .(1)請寫出三條與BC有關的正確結論；(2)當ND=30，BC=1時，求圓中陰影部分的面積.9. (2011廣東肇慶)已知：如圖，AABC昔誤！未找到引用源。內接于。Q AB錯誤！未找到引用源為直徑，/ CBA勺平分線交AC于點F,交。于點D, DEL AB于點E,且交AC于點P,連結AD(1)求證：/ DAC = / DBA(2)求證：錯誤！未找到引用源。是線段AF的中點;(3)若CDOJtH全為 5, AF =15,求 tan/ABF的值. 2120。，則圓錐的母線長是6.如果圓錐的底面周長是