1、橢圓中的最值問題與定點、定值問題解決與橢圓有關的最值問題的常用方法(1)利用定義轉化為幾何問題處理；(2)利用數形結合，挖掘數學表達式的幾何特征進而求解；利用函數最值得探求方法，將其轉化為區間上的二次函數的最值來處理，此時應注意橢圓中x、y的取值范圍；精品財會，給生活賦能(3)(4)利用三角替代(換元法)轉化為三角函數的最值問題處理。一、橢圓上一動點與焦點的距離的最值問題橢圓上一動點與焦點的距離稱為焦半徑，橢圓上一動點與長軸的兩端點重合時，動點與焦點取得最大值a+c (遠日點)、最小值a-c (近日點)。22推導：設點P(x0,y0)為橢圓x2+與=1 (a >b A0)上的任意一點，左

2、焦點為F1(c,0),a b 222| PFi |=寸& +c)2 +y2 ,由空 +與=1 得 yo =b2(1-X2),將其代入 a ba| PFi |=/& +c)2 +y2并化簡得| PFi |=cXo+a。所以，當點 P(x0, y0)為長軸的右端點aA2(a,0)重合時，|PFi|max = £，a+a=c + a；當點 P(x°, y°)為長軸的左端點 A(a,0)重 ac合時。|PF11min = (a)+a=ac。當焦點為右焦點 F2(c,0)時，可類似推出。a2X 2.1. (2015浙江卷)如圖，已知橢圓-2 y =11不同的

3、點A、B關于直線y=mx + 一對稱。2(1)求實數m的取值范圍；(2)求 MOB面積的最大值(O為坐標原點)。解：(1)由題意知m#0,可設直線 AB的方程為-2x . 2.1 22）x m2b /x + b 1=0。 m+ y =112彳 ，消y去，得（1十1. .2y= - x +bl. m1.，一 x 2.因為直線有兩個不同的交點,y = 一x +b 與橢圓+ y = 1m2一,o4-所以 A = -2b2 +2 + > 0。4mbm設 A（Xi，Yi）,B（X2，Y2）,線段 AB 的中點 M （Xm , Ym ）,則 Xi +x2XM所以yM2mbXi X2 _2_ m2 2

4、1 um2b二 一 Xm b =2mm 2將線段AB的中點M2, 2mb m b2 Z，2 Zm 2 m 2)代入直線1 m 2 個y = mx 十一，解得 b = -2。2 2m由得m :二一-6或m 6 。3 3(2)令 t =則 |AB". 1m1 . 2t4 2t2 3X2)2 -4X2 1= t2 1 12 ,t212t2 1且O到直線AB的距離為d = I 2,t2 1設 MOB 的面積為 S(t),所以 S(t) =-| AB| d =1J-2(t2 -1)2 +2 <2 , 22 .2221. 2當且僅當t2=時，等號成立。故 AAOB面積的最大值為 。 222

5、.已知橢圓4X2 + y2=1及直線y=X+ m.(1)當直線和橢圓有公共點時，求實數m的取值范圍；(2)求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程.4X2+y2=1,22解(1)由得 5X+2mX+ m1 = 0,、y= x+ m因為直線與橢圓有公共點，所以 A= 4m220(m2 1)>0,解得一當&m&*.(2)設直線與橢圓交于 A(X1, y1), B(X2, y2)兩點, 由(1)知：5X2 + 2mX+ m21=0,-1),2m所以 X1+X2= l , X1X2 =5所以 AB|=q(xi X2j +(yi : V2x1 _ X2 j = U2(Xl+X2：4X1X

6、2224m- -(m2 -1 J =2710-8m2.Y I255 一 5,所以當m=0時，AB|最大，即被橢圓截得的弦最長，此時直線方程為y=X.反思與感悟解析幾何中的綜合性問題很多，而且可與很多知識聯系在一起出題，例如不等式、三角函數、平面向量以及函數的最值問題等.解決這類問題需要正確地應用轉化思想、函數與方程思想和數形結合思想.其中應用比較多的是利用方程根與系數的關系構造等式或 函數關系式，這其中要注意利用根的判別式來確定參數的限制條件22跟蹤訓練2如圖，點A是橢圓C：壬十3=1但色0）的短軸位于y軸下方的端點，過點 Aa bAB AP=9.且斜率為1的直線交橢圓于點 B,若P在y軸上，

7、且BP/X軸,若點P的坐標為（0,1）,求橢圓C的標準方程;（2）若點P的坐標為（0, t）,求t的取值范圍.解 二.直線AB的斜率為1, ；/BAP= 45°,即 BAP是等腰直角三角形，|AB|= /2|AP|.,.Ab AP=9,AB|AP|cos 45=也APfcos 45 = 9, |AP| = 3.(0,1), .|OP|=i, |OA|=2,即 b=2,且 B(3,1).B 在橢圓上，；02 + 1=1，得 a2 = 12,22橢圓c的標準方程為12+4=1.由點P的坐標為（0, t）及點A位于X軸下方，得點A的坐標為（0, t 3）, - t3= b,即 b = 3

8、t.顯然點B的坐標是(3, t),將它代入橢圓方程得: 22l *=1，解得'口七手.2,- a2>b2>0,g ；>(3-1)2>0.3 - 2t332t.一>1 即一一1=t>03-2t'3-2t3-2t'一一一 一一一3所求t的取值沱圍是0<t<.二、橢圓中的定點和定值問題解決時應用數形結合、分類討論、幾何法等方法。解決此類問題的方法有兩種：(1)進行一般計算、推理求出結果；(2)通過檢查特殊位置，探索出“定點”“定值”，然后再進行一般性證明或計算。2.已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在 X軸上，橢圓C上的點到焦點距

9、離的最大值為3,最小值為1。(1)求橢圓C的標準方程；(2)若直線l : y =kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(A、B不是左右頂點)，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點。求證：直線 l過定點，并求出該定點的坐標。22解：(1)根據題意可設橢圓方程 與+4=1 (a Ab >0), a2 b2a +c =3 a = 222由已知得,解得二b2=221=3,a -c =1c =122所以橢圓的標準方程為 +-=1 o43y = kx + m(2)設 A(x1, y),B(x2, y2),聯立 ,；x2y2得(3 + 4k2)x2+8mkx+4(m2 -3) = 0,143則由題意得 =64

10、m2k2 -16(3+4k2)(m2-3)>0,即 3+4k2-m2 >0,且 4xi x2xi x2 二8mk3 4k24(m2 -3)'3 4k2一一 、22 3(m2 -4k2)又 V1 y2 = (k +m)(kx2 + m) = k x1x2 + mk(x + x2) +m =2，3 4k設橢圓的右頂點為 D 丁以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D(2,0)，二 kADkBD= -1,即 1 =一1y1y2* xix2- 2(K+ x2)+4=0,X1 - 2 X2 -22 2、23(m -4k ) 4(m -3)16mk22/.二 + /+2 + 4 = 0,化簡整理得 7m +16mk +4k =0,3 4k 3 4k 3 4k 2k 22斛得 m1 =2k,m2 =7-,且均滿足 3+4k -m >0。當5=2k時。l的方程為y = k(x2),直線過定點 D(