1、第二章 平面向量數(shù)學(xué)4是高中數(shù)學(xué)課程的必修模塊，內(nèi)容包括三角函數(shù)、平面上的向量（簡(jiǎn)稱平面向量）、三角恒等變換。平面向量是1996年進(jìn)入高中數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，標(biāo)準(zhǔn)對(duì)其中的一些內(nèi)容作了新的處理，在要求上也有變化。一、教育價(jià)值向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景。這部分內(nèi)容的教育價(jià)值主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。1、有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用。向量是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的重要數(shù)學(xué)模型。力、速度、位移等在實(shí)際生活中隨處可見(jiàn)，這些都是向量的實(shí)際背景，也可以用向量加以刻畫(huà)和描述。標(biāo)準(zhǔn)突出向量的實(shí)際背景與應(yīng)用。因此，通

2、過(guò)本模塊內(nèi)容的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)到向量與實(shí)際生活的緊密聯(lián)系，以及向量在解決實(shí)際問(wèn)題中的廣泛應(yīng)用，從中感受數(shù)學(xué)的價(jià)值，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)世界，去解決日常生活和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問(wèn)題，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。2、有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造過(guò)程。向量既是代數(shù)的對(duì)象，又是幾何的對(duì)象，它是溝通代數(shù)與幾何的橋梁。標(biāo)準(zhǔn)將向量與三角函數(shù)設(shè)計(jì)在一個(gè)模塊中，主要是為了通過(guò)向量溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的聯(lián)系，體現(xiàn)向量在處理三角函數(shù)問(wèn)題中的工具作用。標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過(guò)程，并由此公式作為出發(fā)點(diǎn)，推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角

3、的正弦、余弦、正切公式以及積化和差、和差化積、半角公式等，這個(gè)過(guò)程有助于學(xué)生體會(huì)向量與三角函數(shù)的聯(lián)系、數(shù)與形的聯(lián)系以及三角恒等變換公式之間的內(nèi)在聯(lián)系。3、有助于發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力和推理能力。向量作為代數(shù)對(duì)象，可以象數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算。運(yùn)算對(duì)象的不斷擴(kuò)展是數(shù)學(xué)發(fā)展的一條重要線索。數(shù)運(yùn)算，字母運(yùn)算，向量運(yùn)算，函數(shù)運(yùn)算，映射、變換、矩陣運(yùn)算等是數(shù)學(xué)中的基本運(yùn)算。從數(shù)運(yùn)算、字母運(yùn)算到向量運(yùn)算，是運(yùn)算的一次飛躍，向量運(yùn)算使運(yùn)算對(duì)象從一元擴(kuò)充到多元，對(duì)于進(jìn)一步理解其它數(shù)學(xué)運(yùn)算具有基礎(chǔ)作用。標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生掌握向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積的運(yùn)算，推導(dǎo)三角恒等變換公式。三角恒等變換公式的推導(dǎo)即是一種三角函數(shù)運(yùn)算，也體現(xiàn)

4、了公理化方法和推理論證在數(shù)學(xué)研究中的作用。因此，本模塊內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義，以及運(yùn)算、推理在探索、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，建立數(shù)學(xué)體系中的作用，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力和推理能力。二、課程內(nèi)容加強(qiáng)的方面及依據(jù)1、加強(qiáng)幾何直觀。對(duì)于平面向量，標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)向量概念的幾何背景，強(qiáng)調(diào)理解向量運(yùn)算（加、減、數(shù)乘、數(shù)量積）及其性質(zhì)的幾何意義。2、強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模。標(biāo)準(zhǔn)將向量作為刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型的最好方法是經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，即“問(wèn)題情景建立模型數(shù)學(xué)結(jié)果解釋、應(yīng)用與拓展”。標(biāo)準(zhǔn)對(duì)向量?jī)?nèi)容的處理，首先提供豐富的實(shí)際背景，通過(guò)對(duì)實(shí)際背景（現(xiàn)實(shí)原型）的分析、概括與抽象，建立向量模型（引出向量的概念）

5、，再運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法研究向量模型的性質(zhì)，最后運(yùn)用向量模型及其性質(zhì)去解決包括現(xiàn)實(shí)原型在內(nèi)的更加廣泛的一類實(shí)際問(wèn)題。這樣處理體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程，反映了數(shù)學(xué)的“來(lái)龍去脈”，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，形成對(duì)數(shù)學(xué)完整的認(rèn)識(shí)。4、強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系以及數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系。向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，是溝通代數(shù)與幾何的一種工具，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。本模塊用向量的數(shù)量積來(lái)推導(dǎo)兩角差的余弦公式、刻畫(huà)平面內(nèi)兩條直線平行與垂直的位置關(guān)系等問(wèn)題，體現(xiàn)了向量方法在研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的作用，也溝通了代數(shù)、幾何與三角的聯(lián)系。三角函數(shù)與向量在物理中有著廣泛的應(yīng)用，物理背景也是向量模型的重

6、要原型。標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)突出向量的物理背景和向量在物理中的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與物理等學(xué)科的密切聯(lián)系。 三、課程內(nèi)容削弱的方面及依據(jù) 平面向量與2002年頒布的全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱相比，標(biāo)準(zhǔn)在平面向量部分刪減了平面兩點(diǎn)間的距離公式，線段定比分點(diǎn)及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，平移公式等內(nèi)容。四、對(duì)標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容的有關(guān)說(shuō)明與建議1向量是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)和描述現(xiàn)實(shí)世界的重要數(shù)學(xué)模型。標(biāo)準(zhǔn)將向量當(dāng)作數(shù)學(xué)模型來(lái)處理，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型觀，滲透了數(shù)學(xué)建模的思想。對(duì)于數(shù)學(xué)模型，徐利治先生在數(shù)學(xué)方法論選講一書(shū)中作了這樣的解釋：所謂數(shù)學(xué)模型，是指針對(duì)或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，概括地或近似地表述出來(lái)的一種數(shù)學(xué)結(jié)

7、構(gòu)。徐利治先生在該書(shū)中還對(duì)數(shù)學(xué)模型作了廣義的解釋：凡一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系、各種數(shù)學(xué)公式、各種方程（代數(shù)方程、函數(shù)方程、微分方程、差分方程、積分方程）以及有公式系列構(gòu)成的算法系統(tǒng)等等都可稱之為數(shù)學(xué)模型。這是一種廣義的數(shù)學(xué)模型觀。以這種觀點(diǎn)看待本模塊的內(nèi)容，向量的概念、向量的運(yùn)算等等都是數(shù)學(xué)模型。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型的最好方法是經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過(guò)程，即首先從大量的實(shí)際背景中概括抽象出三角函數(shù)、向量的概念（數(shù)學(xué)模型），然后利用數(shù)學(xué)的方法研究向量的性質(zhì)，再運(yùn)用這些數(shù)學(xué)模型去解決實(shí)際問(wèn)題。由于數(shù)學(xué)模型是從現(xiàn)實(shí)原型中抽象出來(lái)的，它高于原型，可用于刻畫(huà)和解決包括原型在內(nèi)的更加廣泛的一類問(wèn)題。這個(gè)過(guò)程突出了數(shù)學(xué)的來(lái)

8、龍去脈。因此，教師在向量的教學(xué)中，應(yīng)樹(shù)立一種數(shù)學(xué)模型的觀念，用數(shù)學(xué)模型的觀點(diǎn)看待這些內(nèi)容。在向量概念的教學(xué)中，教師也應(yīng)關(guān)注以下兩點(diǎn)：第一，根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)豐富的情境。例如，物理中的力、速度、加速度以及幾何中的有向線段等概念是向量概念的原型，物理中力的合成與分解是向量的加法運(yùn)算與向量分解的原型。通過(guò)這些實(shí)例，可使學(xué)生了解向量的物理背景和幾何背景，認(rèn)識(shí)到向量是描述和刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題、物理和數(shù)學(xué)等學(xué)科中的問(wèn)題的工具。這對(duì)于學(xué)生理解向量概念和運(yùn)用向量解決實(shí)際問(wèn)題都是十分重要的。第二，注重向量模型的運(yùn)用，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用向量解決一些物理和幾何問(wèn)題。例如，利用向量計(jì)算力使物體沿某方向運(yùn)動(dòng)所做的功，利用向量

9、解決平面內(nèi)兩條直線平行與垂直的位置關(guān)系等問(wèn)題。2向量是數(shù)學(xué)中重要的、基本的概念，它既是代數(shù)的對(duì)象，又是幾何的對(duì)象。作為代數(shù)對(duì)象，向量可以運(yùn)算。作為幾何對(duì)象，向量有方向，可以刻畫(huà)直線、平面、切線等幾何對(duì)象；向量有長(zhǎng)度，可以刻畫(huà)長(zhǎng)度、面積、體積等幾何度量問(wèn)題。向量由大小和方向兩個(gè)因素確定，大小反映了向量數(shù)的特征，方向反映了向量形的特征，因此，向量是集數(shù)形于一身的數(shù)學(xué)概念，是數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的典型體現(xiàn)。向量是重要的數(shù)學(xué)模型。（V,+）是一個(gè)群的模型，即向量對(duì)加法運(yùn)算構(gòu)成群；(V,R,+,.)是一個(gè)線性空間的模型，即向量、實(shí)數(shù)對(duì)向量加法、數(shù)與向量乘法構(gòu)成線性空間；(V,R,+,.)是一個(gè)線性賦范空間

10、的模型，即給向量賦以長(zhǎng)度，向量、實(shí)數(shù)對(duì)向量加法、數(shù)與向量乘法構(gòu)成線性賦范空間。因此，向量是抽象代數(shù)、線性代數(shù)、泛函分析中的基本數(shù)學(xué)模型，是理解這些數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)。向量也是重要的物理模型。平面力場(chǎng)、平面位移場(chǎng)以及二者混合產(chǎn)生的做功問(wèn)題，都可以用向量空間來(lái)刻畫(huà)和描述。向量不僅溝通了代數(shù)與幾何的聯(lián)系，而且，體現(xiàn)了近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想，它在高中數(shù)學(xué)中的重要地位是不言而喻的。標(biāo)準(zhǔn)中，對(duì)向量?jī)?nèi)容也是分層次處理的。在必修數(shù)學(xué)4中設(shè)計(jì)了平面向量，在選修系列2中設(shè)計(jì)了空間向量。下面對(duì)數(shù)學(xué)4中的平面向量作進(jìn)一步分析。平面上任意向量可唯一表示成一組不共線的向量的線性組合，也就是說(shuō)，對(duì)于平面上的向量，任意一組不共線的向量

11、都可作為基底。為了方便，通常我們選擇一組標(biāo)準(zhǔn)正交的向量（一組夾角為90度，長(zhǎng)度為1的向量）作為基底。將平面上的一個(gè)向量用標(biāo)準(zhǔn)正交基表示就是向量的正交分解，即平面上的任一向量都可以分解成兩個(gè)正交的向量。從幾何的角度看，向量的正交分解就是把一個(gè)向量分解成兩個(gè)互相垂直（正交）的向量，這兩個(gè)互相垂直的向量的長(zhǎng)度正是原向量分別在正交基的兩個(gè)方向上的投影的長(zhǎng)度。從代數(shù)的角度看，向量的正交分解就是把一個(gè)向量表示為標(biāo)準(zhǔn)正交基的線性組合，這個(gè)線性組合的系數(shù)（唯一的數(shù)對(duì)）就是該向量在此標(biāo)準(zhǔn)正交基下的坐標(biāo)，即向量可以用數(shù)對(duì)來(lái)表示。向量的數(shù)量積是向量的一種重要運(yùn)算。為便于說(shuō)明向量的數(shù)量積的意義，我們不妨以一個(gè)向量與單

12、位向量的數(shù)量積為例。一個(gè)向量與單位向量的數(shù)量積，其物理意義就是由向量表示的力使物體沿單位向量方向作運(yùn)動(dòng)所做的功，其幾何意義就是向量在單位向量上的投影的長(zhǎng)度。一個(gè)向量與自身的數(shù)量積就是該向量長(zhǎng)度的平方。因此，向量的坐標(biāo)就是該向量與標(biāo)準(zhǔn)正交基中的兩個(gè)單位向量的數(shù)量積。運(yùn)用向量的數(shù)量積很容易推導(dǎo)出兩角差的余弦公式。設(shè)（e1,e2）是平面上的標(biāo)準(zhǔn)正交基，a，b是平面上的單位向量，a與e1的夾角為，b與e1的夾角為，且。向量a在（e1,e2）下的坐標(biāo)為，向量b在（e1,e2）下的坐標(biāo)為，向量a，b的數(shù)量積ab =。由于a，b是單位向量，所以，。運(yùn)用向量也可以解釋三角函數(shù)。設(shè)（e1,e2）是平面上的標(biāo)準(zhǔn)正交基，a是平面上的向量，a與e1的夾角為，則可以用向量的數(shù)量積來(lái)解釋三角函數(shù)如下。， 。三角函數(shù)的