1、第 五 章 導 數 和 微 分1 導數的概念一 導數的定義導數的思想最初是由法國 數學家 費馬 ( Fermat ) 為研究 極值 問題 而引 入的 , 但與導數概念直接相聯系的是以下兩個 問題 : 已 知運 動規律 求速 度和已 知曲 線 求它的切線 .這是由英國數學家牛 頓 ( Newton) 和德國數 學家萊布 尼茨 ( Leibniz) 分別在研究力學和幾何學過程中建立起來的 .下面我們以這兩個問題為背景引入導數的概念 .1. 瞬時速度 設一質點作直線運動 , 其運動 規律 為 s = s ( t ) .若 t0 為某 一 確定的時刻 , t 為鄰近于 t0 的時刻 , 則 s( t)

2、 - s( t0 )珔v =t -t0是質點在時間段 t0 , t ( 或 t , t0 ) 上的 平均速 度 .若 t t0 時 平均速 度 珔v 的 極 限存在 , 則稱極限v = limt t0 s( t) - s( t0 ) t -t0( 1)為質點在時刻 t0 的瞬時速度 .以后我們將會發現 , 在計算諸如 物質比熱、電流 強 度、線密度等問題中 , 盡管它們的物理背 景各 不相 同 , 但最終 都歸 結于討 論形 如 (1 ) 式的極限 .2. 切線 的 斜 率 如 圖 5 - 1 所 示 , 曲 線 y = f ( x ) 在其上一點 P( x0 , y0 ) 處的 切線 PT

3、是割線 PQ 當動點 Q 沿 此曲線 無限 接近于 點 P 時的極限位置 .由于割線 PQ 的斜率為 f ( x) -f( x0 )k =x -x0,因此當 x x0 時如果 k 的極限存在 , 則極限圖 5 - 188第五章 導數和微分即為切線 PT 的斜率 .k = limx x0f ( x) -f ( x0 ) x -x0( 2)上述兩個問題中 , 前一個是運動 學的 問題 , 后 一個是 幾何 學的問 題 , 但是 它 們都可以歸結為形如 (1 ) 、(2 ) 這種類型的極限 .下面我們給出導數的定義 .定義 1 設函數 y = f ( x ) 在點 x0 的某鄰域內有定義 , 若極限

4、 f ( x) -f ( x0 )limx x0x -x0( 3)存在 , 則稱函數 f 在點 x0 處可導 , 并稱該極 限為 函數 f 在點 x0 處 的導數 , 記 作f( x0 ) .令 x = x0 + x ,y = f ( x0 + x) - f ( x0 ) , 則 (3 ) 式可改寫為ylim= lim f ( x0 + x ) -f ( x0 )=f( x0 ) .( 4) x 0 x x 0 x所以 , 導數是函數增量 y 與自變量增量 x 之比y 的極限 .這個增量比稱為函x數關于自變量的平均變 化率 ( 又 稱差 商 ) , 而 導數 f( x0 ) 則為 f 在 x0

5、 處 關 于 x的變化率 .若 (3 ) ( 或 (4 ) ) 式極限不存在 , 則稱 f 在點 x0 處不可導 .例 1 求函數 f ( x) = x2 在點 x = 1 處的導 數 , 并求 曲線在 點 ( 1 , 1 ) 處的 切 線方程 .解 由定義求得f( 1) = lim x 0 f (1 + x) -f ( x ) x= lim x 0 (1 + x )2 - 1x= lim x 02x + x2 x= lim ( 2 + x ) = 2 x 0由此知道拋物線 y = x2 在點 ( 1 , 1) 處的切線斜率為k =f( 1) = 2 ,所以切線方程為y - 1 = 2( x

6、- 1) 即 y = 2 x - 1 . 例 2 證明函數 f ( x ) = | x | 在點 x0 = 0 處不可導 .證 因為 f ( x ) -f( 0)x - 0=| x |x=1 ,x 0 ,- 1 ,x 0當 x 0 時極限不存在 , 所以 f 在點 x = 0 處不可導 .例 3 顯然常量函數 f ( x) = C 在任何一點 x 的導數都等于零 , 即1 導數的概念89f( x ) = 0 . 下面我們介紹有限增量公式 .設 f ( x) 在點 x0 可導 , 那么y =f( x0 ) - x是當 x0 時的無窮小量 , 于是 x = o(x ) , 即y = f( x0 )

7、 x + o(x ) .( 5) 我們稱 ( 5 ) 式 為 f ( x ) 在點 x0 的 有限 增量公 式 .注意 , 此 公式 對 x = 0 仍舊 成 立 .由公式 (5 ) 立即推得如下定理 .定理 5.1 若函數 f 在點 x0 可導 , 則 f 在點 x0 連續 .注 可導僅是函數在該點連續的充分條件 , 而不是必要條件 .如例 2 中的函 數 f ( x) = | x | 在點 x = 0 處連續 , 但不可導 .0例 4 證明函數 f ( x) = x2 D( x) 僅 在點 x = 0 處可 導 , 其中 D( x ) 為狄 利 克雷函數 .證 當 x0 0 時 , 由歸

8、結原 理 可得 f ( x ) 在 x = x0 處不 連 續 , 所 以由 定 理5.1 , f ( x) 在 x = x0 處不可導 .當 x0 = 0 時 , 由于 D( x) 為有界函數 , 因此得到f(0 ) = lim f ( x) -f (0 )x - 0x 0= limx 0xD( x) = 0 . 若 只討論 函數 在點 x0 的右 鄰域 ( 左鄰域 ) 上的 變化率 , 我們需 引進 單側 導 數的概念 .定義 2 設函數 y = f ( x ) 在點 x0 的某右 鄰域 ( x0 , x0 + ) 上有 定義 , 若 右極限limy =lim f ( x0 + x ) -

9、f ( x0 ) ( 0 x ) x 0 + x x 0 + x存在 , 則稱該極限值為 f 在點 x0 的右導數 , 記作 f+ ( x0 ) .類似地 , 我們可定義左導數f- ( x0 ) =lim x 0 - f ( x0 + x) -f( x0 ) x. 右導數和左導數統稱為單側導數 .如同左、右極限與極限之間的關系 , 我們有定理 5.2 若函數 y = f ( x ) 在點 x0 的某 鄰域內 有定 義 , 則 f( x0 ) 存在 的 充要條件是 f+ ( x0 ) 與 f- ( x0 ) 都存在 , 且f+ ( x0 ) =f- ( x0 ) .90第五章 導數和微分 例 5

10、 設 f ( x) =導數 .解 由于1 - cos x ,x 0 , x ,x 0 ,x1 , x 0 , a 1 , x 0 ) , 特別 ( ln x )= 1 .x證 ( i) 對于 y = x n , 由于y x =x( x + x ) n -xn x1 導數的概念91= C1 xn - 12n - 2nn - 1n+ C n x因此x + Cn x,y= lim y= limC1 x n - 1 + C2xn - 2nn - 1 x 0 xn= C1 xn - 1n x 0=nxn - 1 .nx + Cn x ( ii) 下面證第一個等式 , 類似地可證第二個等式 .由于sin

11、( x + x) - sin x x=2sinx x2 cosx +2 xsin x= 2 cosx + x,x22以及 cos x 是 ( - , + ) 上的連續函數 , 因此得到sin x( sin x)= lim 2 lim cosx + x x 0 x x 022 ( iii) 由于= cos x .log a ( x + x) - log a xx= 1x xlog a 1 +x x = 1 x xx log a1 +x,所以( log a x )= lim x 0 1xx log a 1 +x x 1 x =log a e .( 6) x若 a = e , 且以 e 為底的自然對

12、數常寫作 ln x , 則由 ln e = 1 及 (6 ) 式有( ln x )= 1 .x三 導數的幾何意義我們已經知道 f ( x) 在點 x = x0 的切 線斜率 k , 正是 割線 斜率在 x x0 時 的極限 , 即k =limx x0 f( x ) -f ( x0 ).x -x0由導數的定義 , k = f( x) , 所以曲線 y = f ( x) 在點 ( x0 , y0 ) 的切線方程是92第五章 導數和微分y -y0 =f( x0 ) ( x -x0 ) .( 7)這就是說 : 函數 f 在點 x0 的導數 f( x0 ) 是曲 線 y = f ( x ) 在點 ( x

13、0 , y0 ) 處的切線 斜率 .若 表示這條切 線與 x 軸正 向的 夾 角 , 則 f( x0 )= tan .從而 f( x0 ) 0 意味 著切 線與 x 軸 正向的夾角為銳角 ; f( x0 ) 0 , 則 存在 0 ,對任何 x ( x0 , x0 + ) , 有f ( x0 ) 0 ,圖 5 - 4所以 由 保 號 性 可 知 , 存 在 正 數 , 對 一 切x ( x0 , x0 + ) 有 f( x ) -f ( x0 ) x -x0 0 ,從而不難推得 , 當 0 x - x0 時 , (10) 式成立 . 用類似的方法可討論 f+ ( x0 ) 0 和 f- ( x0

14、 ) 0 , 則存在 0 , 對任何 x ( x0 - , x0 ) , 有 f ( x0 ) f ( x ) . 注 例 8 告訴我們 : 若 f( x0 ) 存在且不為零 , 則 x0 不是 f ( x) 的極值點 . 這樣我們就得到了著名的費馬定理 .定理 5 .3 ( 費馬定理 ) 設 函數 f 在 點 x0 的某 鄰域 內有 定 義 , 且在 點 x0 可 導 .若點 x0 為 f 的極值點 , 則必有f( x0 ) = 0 . 費馬定理的幾何意義非常明確 : 若函數 f ( x ) 在極值點 x = x0 可導 , 那么 在 該點的切線平行于 x 軸 .我們稱滿足方程 f( x)

15、= 0 的點為穩定點 .對于函數 f ( x) = x3 , 點 x = 0 是穩定點 , 但卻不是極值點 .定理 5.4 ( 達布 Darboux) 若函數 f 在 a, b 上可導 , 且 f+ ( a) f- ( b) , k 為介于 f+ ( a) , f- ( b) 之間任一實數 , 則至少存在一點 ( a , b) , 使得f() = k . 證 設 F( x ) = f ( x ) - kx , 則 F( x) 在 a , b 上可導 , 且F+ ( a) F- ( b) = ( f+ ( a) -k) ( f- ( b) -k) 0 , F- ( b) 0 .由例 8 , 分別

16、存在 x1 U + ( a) , x2 U - ( b) , 且x1 F( a) , F( x2 ) F( b) .(11)因為 F 在 a , b 上可導 , 所以 連續 .根據 最大 最小值 定理 ( 定理 4.6 ) , 存 在一 點 a , b , 使 F 在點取 得 最大 值 .由 (11 ) 式 , 可知 a , b .這就 說 明 是 F 的極大值點 .由費馬定理得 F() = 0 , 即f() =k, ( a , b) . 有時稱上述定理為導函數的介值定理 .習 題1. 已知直線運動方程為s = 10 t + 5 t2 ,分別令 t = 1 , 0.1 , 0.01 , 求從

17、t = 4 至 t = 4 + t 這一段時間內運 動的平均速 度及 t = 4 時的 瞬時速度 .2. 等速旋轉的角速度等于旋轉角與 對應時 間的比 , 試由 此給出 變速旋 轉的角 速度的 定義 .3. 設 f ( x0 ) = 0 , f( x0 ) = 4 , 試求極限x2 ,x3 ,limx 0 f( x0 + x) x. 4. 設 f ( x) =ax + b ,x 3 ,試確定 a , b 的值 , 使 f 在 x = 3 處可導 .5. 試確定曲線 y = ln x 上哪些點的切線平行于下列直線 :( 1) y = x - 1; ( 2) y = 2 x - 3 .6. 求下列

18、曲線在指定點 P 的切線方程與法線方程 :( 1) y = x264/, P(2 , 1) ; (2) y = cos x , P(0 , 1 ) .7. 求下列函數的導函數 :( 1) f ( x) = | x | 3 ; (2 ) f ( x) = 8. 設函數xm sin 1 ,x 0 ,x + 1 ,x0 ,1 ,x 0 , 則在 ( a , b)內至少有一點 , 使 f () = K .15. 設有一吊橋 , 其鐵鏈成拋物線型 , 而端系于相距 100 米高度 相同的支柱 上 , 鐵鏈 之最 低點在懸點下 10 米處 , 求鐵鏈與支柱所成之角 .16. 在曲線 y = x3 上取一點

19、 P , 過 P 的切 線與該曲線交于 Q , 證明 : 曲線在 Q 處的切線 斜率正好是在 P 處切線斜率的四倍 .2 求 導 法 則上一節我們從定義出發求出了一些簡單函數的導數 , 對于一般函數的導數 , 雖然也可以用定義來求 , 但通常極為 繁瑣 .本 節將 引入一 些求 導法則 , 利 用這 些 法則 , 能較簡便地求出初等函數的導數 .一 導數的四則運算定理 5 .5 若函數 u ( x ) 和 v ( x ) 在 點 x0 可 導 , 則 函 數 f ( x ) = u ( x ) v( x ) 在點 x0 也可導 , 且f( x0 ) = u( x0 ) v( x0 )( 1)

20、u( x0 + x) v( x0 + x) - u ( x0 ) v( x0 ) 證 f( x0 ) = lim x 0= lim x 0 u ( x0 + x ) - u( x0 ) xx lim x 0 v ( x0 + x ) - v ( x0 ) x= u( x0 ) v( x0 ) .定理 5.6 若函數 u ( x) 和 v ( x) 在點 x0 可 導 , 則 函數 f ( x) = u( x ) v ( x)在點 x0 也可導 , 且f( x0 ) = u( x0 ) v( x0 ) + u( x0 ) v( x0 ) .( 2)96第五章 導數和微分 證 f( x0 ) =

21、lim x 0u ( x0 + x ) v ( x0 + x ) - u( x0 ) v( x0 )x= lim x 0 u( x0 +x) v( x0 +x) - u( x0 ) v( x0 +x) + u( x0 ) v( x0 +x) - u( x0 ) v( x0 )x= lim x 0 u( x0 + x) - u ( x0 )xv( x0 + x ) + lim x 0u ( x0 ) v( x0 + x) - v( x0 )x= u( x0 ) v( x0 ) + u ( x0 ) v( x0 ) .利用數學歸納法可以把這個法則推廣到任意有限個函數乘積的情形 .例如 : ( uv

22、 w)= uv w + u vw + uv w. 推論 若函數 v( x) 在點 x0 可導 , c 為常數 , 則( cv ( x ) )x = x= cv( x0 ) .( 3)0 例 1 設 f ( x ) = x3 + 5 x2 - 9 x +, 求 f( x) .解 由公式 (1 ) 、(3 ) ,f( x ) = ( x3 )+ 5 ( x2 )- 9( x )+ ()= 3 x2 + 10 x - 9 . 一般地說 : 多項式函數nn - 1f ( x ) = a0 x+ a1 x+ an - 1 x + an的導數為f( x ) = na0 xn - 1 + ( n - 1)

23、a1 x n - 2 + an - 1 .它比 f 低一個冪次 .例 2 設 y = cos xln x , 求 y x = .解 由公式 (2 ) ,y= ( cos x)ln x + cos x( ln x)= - sin xln x + 1 cos x .x所以y x = = - 1 . 定理 5.7 若函數 u( x) 和 v( x) 在點 x0 都可導 , 且 v( x0 ) 0 , 則 f ( x ) = u( x )v( x) 在點 x0 也可導 , 且f( x0 ) = u( x0 ) v( x0 ) -u( x0 ) v( x0 )2( 4) v ( x0 ) 證 設 f (

24、 x) = u ( x ) g( x ) , 其 中 g( x) = 1, 現證 g ( x ) 在 點 x0 可導 .v ( x )由于 g( x0 + x ) -g( x0 ) x= 1v( x0 + x) -x 1v( x0 )2 求 導 法 則97 v ( x0 + x ) -v( x0 ) 10= - x v( x+ x ) v ( x ) .0而 v( x) 在點 x0 可導 , 從而在點 x0 連續 , 且 v ( x0 ) 0 , 因此 g( x0 + x ) -g( x0 ) v( x0 ) 1v( x)x = x0= g( x0 ) = lim x 0 x= -2 v( x

25、0 ) . ( 5)應用公式 (2 ) 、(5 ) 證得f( x0 ) =u ( x )v( x )x = x0= u( x0 )1v( x0 )+ u( x0 )- v( x0 ) v( x0 ) 2 u( x0 ) v( x0 ) -u( x0 ) v( x0 )=2. v( x0 ) 例 3 證明 ( x - n )= - nx - n - 1 , 其中 n 為正整數 .證 由公式 (5 ) 可得x - n =1 xn= - n xn - 1x2 n= -nx - n - 1 . 例 4 證明 : ( tan x )= sec2 x; ( cot x)= - csc2 x .證 由 ta

26、n x = sin x 及其公式 ( 4) 可推得cos x( tan x)=sin xcos x2= (sin x)cos x - sin x ( cos x )cos2 x2= cosx + sinx 12cos2 x=cos2 x = secx .同理可證 ( cot x)= - csc2 x .例 5 證明 : ( sec x )= sec xtan x; ( csc x )= - csc xcot x .證 我們仍只證第一式 , 第二式請讀者自證 .由 sec x = 1及公式 (5 ) 有cos x( sec x )=1cos x ( cos x)-=cos2 x= sin xco

27、s2 x = sec x tan x .二 反函數的導數我們已經求得對數函數與三角函數的導數 , 為求得它們的反函數的導數 , 下 面先證明反函數求導公式 .定理 5.8 設 y = f ( x ) 為 x = ( y) 的反函數 , 若 ( y) 在點 y0 的某鄰域 內 連續 , 嚴格單調且 ( y0 ) 0 , 則 f ( x) 在點 x0 ( x0 = ( y0 ) ) 可導 , 且f( x0 ) = 1( y0 ).( 6) 證 設 x = ( y0 + y) - ( y0 ) , y = f ( x0 + x) - f ( x0 ) .因為 在 y098第五章 導數和微分0的某鄰域

28、內連續且嚴格單 調 , 故 f = - 1 在 x 的 某 鄰域 內連 續且 嚴格 單 調 .從 而當且僅當 y = 0 時 x = 0 , 并且當且僅當 y 0 時 x 0 .由 ( y0 ) 0 , 可 得yf( x0 ) = lim= lim y = 1= 1. 例 6 證明 : x 0 x y 0 xxlim y 0 y( y0 )( i) ( ax )= ax ln a( 其中 a 0 , a1 ) ,特別地 ( e x )= e x .(ii) ) ( arcsin x)= 1; ( arccos x )= - 1.1 - x21 - x2(iii) ) ( arctan x)=

29、1; ( arccot x )= - 1.1 + x21 + x2a證 ( i) 由于 y = ax , xR 為對數函數 x = log y, y ( 0 , + ) 的反函數 ,故由公式 (6 ) 得到( ax )= 1= y= ax ln a .( log a y)log a e ( ii) 由于 y = arcsin x , x ( - 1 , 1 ) 是 x = sin y, y- , 的反 函22數 , 故由公式 ( 6) 得到( arcsin x)= 1= 1= 1= 1, x ( - 1 , 1) .( sin y)cos y1 - sin2 y1 -x2同理可證 : ( ar

30、ccos x)= - 1, x ( - 1 , 1 ) .1 - x2( iii) 由于 y = arctan x , xR 是 x = tan y, y- , 的反函數 , 因此22( arctan x )= 1= 1= 1= 1, x ( - , + ) .( tan y)sec2 y1 + tan2 y1 + x2同理可證 : ( arccot x )= - 1, x ( - , + ) .1 + x2三 復合函數的導數為了證明復合函數的求導公式 , 我們先證明一個引理 .引理 f ( x) 在點 x0 可導 的充要 條件 是在 x0 的某 鄰域 U ( x0 ) 內 , 存在 一 個在

31、點 x0 的連續函數 H ( x ) , 使得f ( x ) -f ( x0 ) =H( x ) ( x -x0 ) ,從而 f( x0 ) = H( x0 ) .2 求 導 法 則99證 設 f ( x) 在點 x0 可導 , 令 f ( x) -f ( x0 ),x U0 ( x0 ) ,則因limx x0H( x ) =H ( x ) = limx x0x -x0f( x0 )x =x0 , f ( x) -f ( x0 )0x -x=f( x0 ) =H( x0 ) ,所以 H( x ) 在點 x0 連續 , 且 f ( x) - f ( x0 ) = H( x) ( x - x0 )

32、 , x U( x0 ) .反之 , 設存在 H( x) , x U ( x0 ) , 它在點 x0 連續 , 且f ( x ) -f ( x0 ) =H( x) ( x -x0 ) , x U( x0 ) .因存在極限limx x0 f ( x) -f ( x0 ) x -x0= limx x0H( x ) =H( x0 ) ,所以 f ( x) 點 x0 可導 , 且 f( x0 ) = H( x0 ) . f ( x) - f ( x0 )注 引理說明了點 x0 是 函 數 g ( x ) =x - x0可 去間 斷 點的 充要 條件是 f ( x) 在點 x0 可導 .這個結論可推廣到

33、向量函數的導數 ( 第二十三章 ) .定理 5.9 設 u = ( x ) 在點 x0 可導 , y = f ( u ) 在點 u0 = ( x0 ) 可 導 , 則 復 合函數 f 在點 x0 可導 , 且( f)( x0 ) =f( u0 ) ( x0 ) =f ( ( x0 ) ) ( x0 ) .( 7) 證 由 f ( u) 在點 u0 可導 , 由引理必要性部分 , 存在 一個在點 u0 連續的 函 數 F( u ) , 使得 f( u0 ) = F( u0 ) , 且f ( u ) -f ( u0 ) = F( u) ( u -u0 ) , u U( u0 ) .又由 u = (

34、 x ) 在 點 x0 可 導 , 同理 存 在一 個 在點 x0 連 續 的 函 數 ( x ) , 使 得 ( x0 ) = ( x0 ) , 且( x) - ( x0 ) = ( x) ( x -x0 ) , x U( x0 ) .于是就有f ( ( x) ) -f ( ( x0 ) ) = F( ( x ) ) ( ( x) - ( x0 ) )= F( ( x ) ) ( x ) ( x -x0 ) .因為 , 在點 x0 連續 , F 在點 u0 = ( x0 ) 連續 , 因此 H ( x ) = F( ( x ) ) ( x)在點 x0 連續 .由引理充分性部分證得 f 在點

35、x0 可導 , 且( f)( x0 ) = H ( x0 ) = F( ( x0 ) ) ( x0 ) =f( u0 ) ( x0 ) . 注 1 復合函數的求導公式 ( 7) 亦稱為鏈式法則 .函數 y = f ( u ) , u = ( x)的復合函數在點 x 的求導公式一般也寫作100第五章 導數和微分d yd yd ud x =.( 8)d ud x對于由多個函數復合而得的復合函數 , 其導數公式可反復應用 ( 8) 式而得 .注 2 f( ( x) ) = f( u )u = ( x ) 與 ( f ( ( x ) ) )= f( ( x ) ) ( x ) 的含 義 不可混淆 .例

36、 7 設 y = sin x2 , 求 y.解 將 sin x2 看作 y = sin u 與 u = x2 的復合函數 , 故(sin x2 )= cos u 2 x = 2 xcos x2 . 注 必須指出 : ( sin x2 )cos x2 .例 8 設 為實數 , 求冪函數 y = x( x 0 ) 的導數 .解 因為 y = x = eln x 可看作 y = e u 與 u = ln x 的復合函數 , 故ln xl n x- 1( x )= ( e)= e x= x. 例 9 設 f ( x ) =x2 + 1 , 求 f(0 ) , f( 1) .解 由于f( x) =x2 + 1 = 1 ( x2 + 1)= x ,2x2 + 1x2 + 1因此 f(0 ) = 0 , f(1 ) = 1 .2例 10 求下列函數的導函數 ;( i) f ( x) = ln ( x +1 + x2 ) ; ( ii) f ( x) = tan2 1 .x解 ( i) ( ln( x +1 + x2 ) )= 1( x