1、第四章 高階線性方程教學(xué)目的 ：使學(xué)生理解高階線性微分方程的一般理論； 熟練掌握常數(shù)變易法、 特征根法、比較系數(shù)法和 Laplace 變換；熟練掌握幾種可降階的高階微分方程的 解法；能夠依據(jù)解的一般表示討論解的一些屬性教學(xué)內(nèi)容 ：1、線性微分方程的一般理論 高階線性微分方程的一般理論、常數(shù)變易法2、常系數(shù)線性微分方程的解法、特征根法、比較系數(shù)法、 Laplace 變換3、高階方程的降階和冪級(jí)數(shù)解法幾種可降階的高階微分方程的解法、 * 冪級(jí)數(shù)解法 教學(xué)重點(diǎn) ：高階線性微分方程的一般理論及解法 教學(xué)難點(diǎn) ：比較系數(shù)法求特解 教學(xué)過程：§ 4.1 線性微分方程的一般理論4.1.1 引言 本

2、章主要討論如下 n 階線性微分方程dnx dtnn1 dx a1(t) n 1 dt n 1an 1(t)dxdtan (t)x f (t)(4.1)其中ai(t)(i 1,2, ,n)及 f(t)均為區(qū)間a t b上的連續(xù)函數(shù)若 f(t) 0，則方程 (4.1)變?yōu)閐nx dtna1(t)d n 1xan 1(t)dtn1dxdtan (t)x 0(4.2)稱之為 n階齊線性微分方程 ，簡(jiǎn)稱為 齊線性方程 ，稱(4.1)為 n階非齊線性微分方程 ，簡(jiǎn)稱 為非齊線性方程 ，稱 (4.2)為 對(duì)應(yīng)于方程 (4.1)的齊線性方程方程(4.1)的解的存在唯一性定理定理 若ai(t) (i 1, 2,

3、 , n)及 f (t )均為區(qū)間 a t b上的連續(xù)函數(shù)，則對(duì)于任意t0 a,b 及任意的 x0,x0(1), ,x0(n1) ，方程 (4.1)存在唯一解 x(t ) ，定義于區(qū)間a t b 上，且滿足初始條件：(t0) x0d (t0)(1)dtdn1 (t0) x0(n1)dt(4.3)證明在下一章給出4.1.2齊線性方程的解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)首先討論齊線性方程 (4.2)，易得齊線性方程的解的疊加原理定理(疊加原理)若x1(t),x2(t), ,xk(t)是方程 (4.2)的k個(gè)解，則它們的線性組合 c1x1(t) c2x2(t)ckxk(t)也是(4.2)的解，其中 c1, c2, ,

4、ck是任意常數(shù)當(dāng) n k 時(shí)，方程 (4.2) 有解x c1x1(t) c2x2 (t)cn xn (t)(4.4)在什么條件下， (4.4)能成為 n 階齊線性方程 (4.2)的通解？考慮定義在區(qū)間 a t b上的函數(shù) x1(t), x2(t), , xk(t) ，如果存在不全為零的常數(shù) c1, c2, , ck ，使得恒等式 c1x1(t) c2x2(t)ckxk(t) 0對(duì)于任意的 t a, b均成立，則稱這些函數(shù) 線性相關(guān)， 否則就稱這些函數(shù)在所給區(qū)間上 線性無關(guān)例(略)由定義在區(qū)間 a t b上的 k 個(gè)可微 k 1次的函數(shù) x1(t), x2(t), , xk(t) 所成的行列 式

5、Wx1(t),x2(t), ,xk(t) W(t)x1(t)x2 (t)xk(t)x1(t)x2 (t)xk(t)x1(k 1)(t)x2(k 1) (t)xk(k 1)(t)稱為這些函數(shù)的 伏朗斯基行列式 定理 若函數(shù) x1(t), x2(t), , xk(t) 在區(qū)間 a t b上線性相關(guān)，則在 a,b上它們 的伏朗斯基行列式 W(t) 0這個(gè)定理的逆命題一般不成立(例子見105)定理 若方程 (4.2)的解 x1(t), x2(t), , xk (t) 在區(qū)間 a t b 上線性無關(guān)，則Wx1(t),x2(t), , xk(t)在此區(qū)間的任何點(diǎn)上均不等于零，即 W(t) 0 (a t b

6、) 定理 n 階齊線性方程 (4.2)一定存在 n 個(gè)線性無關(guān)解定理(通解結(jié)構(gòu)定理)若x1(t), x2(t), ,xn(t)是方程 (4.2)的n個(gè)線性無關(guān)解，則(4.11)方程 (4.2)的通解可表為x c1x1(t) c2x2 (t)cnxn(t)其中 c1,c2, , cn為任意常數(shù)且通解 (4.11)包括了方程 (4.2)的所有解推論 方程(4.2)的線性無關(guān)解的最大個(gè)數(shù)等于 n 因此可得結(jié)論： n階齊線性方程的所 有解構(gòu)成一個(gè) n 維線性空間方程 (4.2)的一組 n個(gè)線性無關(guān)解稱為方程的一個(gè) 基本解組， 顯然，基本解組不唯一4.1.3 非齊線性方程與常數(shù)變易法考慮 n 階非齊線性

7、方程an 1(t) dx an(t)x f (t) dt(4.1)n n 1ddtnnx a1(t) ddtnn11x易見方程 (4.2) 是它的特殊情形性質(zhì) 若 x(t)是方程 (4.1)的解，而 x(t)是方程 (4.2)的解，則 x(t) x(t) 也是方程 (4.1) 的解性質(zhì) 方程 (4.1)的任意兩個(gè)解之差必為方程 (4.2)的解定理 設(shè) x1(t), x2(t), , xn(t) 是方程 (4.2)的基本解組，而 x(t) 是方程 (4.1)的某個(gè) 解，則方程 (4.1) 的通解可表為x c1x1(t) c2x2 (t)cnxn(t) x(t) (4.14)其中為任意常數(shù)且通解

8、(4.14) 包括了方程 (4.1)的所有解定理告訴我們， 要解非齊線性方程， 只需知道它的一個(gè)解和對(duì)應(yīng)的齊線性方程的基本解 組即可 事實(shí)上，只要知道對(duì)應(yīng)的齊線性方程的基本解組就可以利用常數(shù)變易法求得非齊線 性方程的解常數(shù)變易法 設(shè) x1(t), x2(t), , xn(t) 是方程 (4.2)的基本解組，因而(4.15)x c1x1(t) c2x2(t)cnxn(t)為(4.2)的通解把其中的任意常數(shù) ci 看作 t 的待定函數(shù) ci(t) (i 1,2, , n) ， (4.15)變?yōu)?4.16)x c1(t)x1(t) c2(t)x2(t)cn(t)xn(t)將它代入方程 (4.1)，就

9、得到 c1(t), c2(t), ,cn(t) 必須滿足的一個(gè)方程， 但待定函數(shù)有 n個(gè)，為了確定它們，還需再找出 n 1 個(gè)限制條件，理論上，這些條件可任意給出。 如果已知對(duì)應(yīng)的齊線性方程的基本解組， 則非齊線性方程的任一解可由求積得到 因此， 對(duì)于線性方程來說，關(guān)鍵是求出齊線性方程的基本解組例 (見課本 P112 例 1)例 2(見課本 P112 例 2)作業(yè) P113 (1、2、4、6、7、 8、9)§ 4.2 常系數(shù)線性微分方程的解法4.2.1 復(fù)值函數(shù)與復(fù)值解如果對(duì)于區(qū)間 a t b中的每一實(shí)數(shù) t ，有復(fù)數(shù) z(t) (t) i (t)，其中 (t)和 (t) 是在區(qū)間

10、a t b上定義的實(shí)函數(shù)， i 是虛數(shù)單位，則稱在區(qū)間 a t b 給定了一個(gè) 復(fù)值 實(shí)函數(shù) z(t) 如果 (t)和 (t)當(dāng)t趨于 t0時(shí)有極限，并且定義 lim z(t) lim (t) ilim (t) t t0t t0 t t0如果 lim z(t) lim z(t0) ，則稱 z(t)在t0 連續(xù)t t0t t0顯然 z(t)在 t0 連續(xù)相當(dāng)于 (t)和 (t )在t0連續(xù)當(dāng) z(t) 在區(qū)間 a t b上每一點(diǎn)連續(xù)時(shí)，就稱 z(t) 在區(qū)間 a t b連續(xù)如果極限 tlimt0 z(tt) tz0(t0) 存在，就稱 z(t)在 t0有導(dǎo)數(shù) 且記此極限為 dzd(tt0) 或

11、z(t0)顯然 z(t)在 t0 有導(dǎo)數(shù)相當(dāng)于 (t)和 (t)在t0有導(dǎo)數(shù)，且 dz(t0) d (t0) i d (t0)dt dt i dt如果 z(t)在區(qū)間 a t b上每一點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù)，就稱 z(t) 在區(qū)間 a t b上有導(dǎo)數(shù) 高階導(dǎo)數(shù)可以類似地定義設(shè) z1(t) 、 z2(t) 是定義在 a t b上的可微函數(shù)， c 是復(fù)值常數(shù)，易證下列等式成立：ddt z1(t) z2(t)dz1(t) dz2(t)dt dtddtcz1(t) cdz1(t)dtdddtz1(t) z2(t)dz1(t)dtz2(t) z1(t)dz2 (t )dt設(shè) K i 為任一復(fù)數(shù)，這里 , 為實(shí)數(shù)，

12、t 為實(shí)變量，定義Ktee( i )te t(cos t isin t)由上式可得cos t 1(ei t e i t )2sin t 1 (ei t e i t)2iKteKt 的性質(zhì)(1)(K1 K2 )tK1teeK 2te(2)deKtdtKeKt(3)dn Kt dtnen Kte定義于區(qū)間 a t b上的實(shí)變量復(fù)值函數(shù) x z(t)稱為方程 (4.1)的復(fù)值解， 如果dnz(t)dtna1(t)dn 1z(t)dtn 1an 1(t)dzd(tt) an(t)z(t) f(t)對(duì)于 a t b 恒成立定理 如果方程 (4.2)中所有系數(shù) x z(t) (t) i (t )是方程的復(fù)

13、值解， 則 z(t)的實(shí)部 (t) 、虛部 (t) 和共軛復(fù)值函數(shù) z(t) 也都是方程 (4.2)的解定理 若方程dnz(t)dtna1(t)d n 1z(t)dtn 1an 1(t)dz(t)n 1 dtan(t)z(t) u(t) iv(t)有復(fù)值解 x U(t) iV (t)，這里ai(t) (i 1,2, , n)及u(t ), v(t )都是實(shí)值函數(shù)，那么這個(gè)解的實(shí)部 U(t)和虛部 V (t)分別是方程n n 1 d x d x dxn a1(t) n 1 an 1(t)an(t)x u(t)dtn 1 dtn 1 n 1 dt ndnx dtnan(t)x v(t)a1(t)

14、ddtn x1an 1(t) ddtxdt dt的解4.2.2 常系數(shù)齊次線性微分方程和歐拉方程Lxndxdtnn1dtn1dxan 1anx 0,dt(4.19)設(shè)齊次線性微分方程中所有系數(shù)都是常數(shù) , 即方程形式為其中 a1,a2, ,an為常數(shù) . 稱(4.19)為 n階常系數(shù)齊次線性微分方程(4.19)的基本解組的 毆拉待定指數(shù)函數(shù)法 (又稱為特征根法 )(4.20)為 (4.19)的解的充要條件是是代數(shù)方程F( ) n a1 n 1 an 1 an 0 (4.21)的根 . 稱它為方程 (4.19) 的特征方程 , 它的根就稱為 特征根 .(1) 特征根是單根的情形設(shè) 1, 2, ,

15、 n是特征方程 (4.21)的 n個(gè)彼此不相等的根 , 則相應(yīng)的方程 (4.19)有如下 n的解e 1t,e 2t, ,e nt, (4.22) n個(gè)解在區(qū)間 a t b 上線性無關(guān) , 從而組成方程的基本解組 .如果 i(i 1,2, , n) (均為實(shí)數(shù) , 則(4.22) 是方程 (4.19) n個(gè)線性無關(guān)的實(shí)數(shù)解 , 方 程 (4.19) 的通解為x c1e1t c2e2tcnent, 其中 c1,c2, , cn為任意常數(shù)如果特征方程 (4.21)有復(fù)根，由于其系數(shù)是實(shí)的，它的復(fù)根一定是共軛成對(duì)地出現(xiàn). 設(shè)1 i 是一特征根 , 則 2 i 也是(4.21)的根 . 由定理 4.8，

16、 這兩個(gè)特征根所對(duì) 應(yīng)的解是實(shí)變量復(fù)值函數(shù) , 因而與這對(duì)共軛復(fù)根對(duì)應(yīng)的 , 方程 (4.19)有兩個(gè)復(fù)值解e( i )t e t (cos t sin t),e( i )t e t (cos t sin t).由定理 4.8，它們的實(shí)部和虛部也是方程的解 . 這樣可求得方程 (4.19)的兩個(gè)實(shí)值解e t cost, e t si n t.(2)特征根有重根設(shè) 1是(4.21)的k(1 k n)重根(實(shí)的或復(fù)的 )，由定理 4.8 知e 1t是(4.21)的一個(gè)解， 如何求出其余的 k-1 個(gè)解呢 ?n n 1 k設(shè) 1 0, 即特征方程有因子 k,d nx a1d n1xan1d kx 0

17、,有k個(gè)解1dtn1 dtn 1 n 1 dt k1,t,t 2, ,t k 1, 而且它們是線性無關(guān)的 .如果這 k重根 1 0, 作變量變換 , x ye 1t ,方程(4.19)有k1個(gè)解e 1t,te 1t,t2e 1t, ,tk1 1e 1t,(4.25)對(duì)于特征方程有復(fù)重根的情況 , 不妨假設(shè) i 是 k 重特征根 , 則 i 也 是 k 重特征根 , 仿 1)處理 , 得到 (4.19)的 2k個(gè)實(shí)值解e tcos tet,tcos tet,t2cos tet,tk 1coste t sin tet , tsin tet ,t2 sin tet,tk 1sin td4x例1 求方

18、程 d 4x x 0的通解 .dt4(通解為 x c1et c2e t c3cost c4sint, 這里 c1, c2 , c3, c4為任意常數(shù) .)例 2 求方程 d 3xdt3x 0的通解 .通解為 x c1e t12t3 3e2 (c2cos t c3sin t) , 這里 c1, c2, c3, 為任意常數(shù)) 22例 3 求方程 d 3xdt3d 2xdx3d 2x 3dx x 0 的通解 . dt2 dt通解 x (c1 c2t2tc3t2)et, 這里 c1,c2,c3, 為任意常數(shù))d4x4例4 求方程 4 2d 2x x 0的通解 .dt4 dt 2通解為 x (c1 c2

19、t)cost (c3 c4t)sint , 這里 c1, c2, c3,c4 為任意常數(shù) .)作業(yè) P164 2（ 單號(hào)習(xí)題 ）歐拉方程ndydxn形如4.29)a1xn 1 ddxnn1 1yan 1x ddxy any 0dx dx的方程稱為歐拉方程，其中 a1,a2, ,an為常數(shù) . 此方程可以通過變量變換化為常系數(shù)齊次 線性微分方程，因而求解問題也就可以解決 .方程（ 4.31）的 m 重實(shí)根 K K 0 ，對(duì)應(yīng)于方程（ 4.29）的 m 個(gè)解 xK0,xK0lnx,xK0ln2x, ,xK0lnm 1x方程（ 4.31 ）的 m 重復(fù)根 Ki ，對(duì)應(yīng)于方程（ 4.29）的 2m 個(gè)

20、實(shí)值解x cos( lnx),x lnxcos( lnx), ,x lnm 1 x cos( lnx)， x sin( lnx),x ln x sin( lnx), ,x lnm1 xsin( lnx). 例5 求方程 x2 d 2y xdy y 0的通解dx2dx(通解為 y (c1 c2 ln x)x , 這里 c1,c2 為任意常數(shù) .)例6求方程 x2 ddx2y3xdy 5y 0 的通解 dx1(通解為 y(c1 cos(2ln x ) c2 sin(2ln x ) , 這里 c1,c2 為任意常數(shù) )x4.2.3 常系數(shù)非齊次線性微分方程 比較系數(shù)法與拉普拉斯變換法常系數(shù)非齊次線性

21、微分方程Lxndxddtnxa1 d nn11xan1 dx1 dt n 1n 1 dtanx f (t)4.32)的求解問題，其中 a1,a2, , an為常數(shù)，而 f （t ）為連續(xù)函數(shù)一) 比較系數(shù)法類型 1設(shè) f(t) (b0tm b1tm 1bm 1t bm)e t，其中 及bi(i 0,1, , m )為實(shí)常數(shù)，則方程( 4.32)有形如x tk(B0tm B1tm 1Bm 1t Bm)e t ，(4.33 ) 的特解， 其中 k為特征方程 F( ) 0的根 的重?cái)?shù)(單根相當(dāng)于 k =1；當(dāng) 不是特征根時(shí)，取k =0)，而 B0,B1, ,Bm 1, Bm是待定常數(shù)，可以通過比較系

22、數(shù)法來確定.(1) 如果 =0 ，則此時(shí)f(t) b0t m b1t m 1bm 1t bm分兩種情形討論1) 在 =0 不是特征根的情形，即 F(0) 0 ，2) 在 =0 是 k 重 特 征 根 的 情 形 ， 即 F(0) F (0)F (k 1)(0) 0, F (k)(0) 0，(2)如果0，則作變量變換 x ye t ，將方程( 4.32)化為nn 1A14.37)ddtny A1 ddtn 1yAn 1 ddyt Any b0tmbmdtdtdt其中 A1,A2, ,An 都是常數(shù) .在 不是特征方程( 4.21 )的根的情形，方程( 4.37)有特解y B0tm B1tm 1B

23、m 1t Bm ，因而方程( 4.32)有特解x (B0tm B1tm 1Bm 1t Bm)e t.在 是特征方程( 4.21)的 k 重根的情形，方程( 4.37 )有特解 y tk(B0tm B1tm 1Bm 1t Bm) ，因而方程( 4.32)有特解x tk(B0tm B1tm 1Bm 1t Bm)e t.例7d 2xdx求方程 d 2x 2 dx 3x 3t 1的通解 dt 2 dt(通解為 x c1e3t c2e t t 31)例8求方程 d 2x 2dx 3x e t的通解 dt 2 dt3t t 1 t(通解為 x c1e3t c2e t te t )例9求方程d x 3 d

24、2x 3dx x e t (t 5)的通解 dt3dt 2dt2t(通解為 x (c1 c2t c3t 2)e t1 t 3(t 20)e24這里 c1,c2,c3為任意常數(shù)作業(yè) P164 3類型 2設(shè) f(t) A(t)cos t B(t)sin te t ，其中 , 為實(shí)常數(shù)，而 A(t),B(t) 是帶實(shí) 系數(shù)的 t 的多項(xiàng)式，其中一個(gè)的次數(shù)為 m ，而另一個(gè)的次數(shù)不超過 m ，則有如下結(jié)論：方 程( 4.32)有形如x tkP(t)cos t Q(t)sin te t ， (4.38 ) 的特解，其中 k 為特征方程 F( ) 0的根 i 的重?cái)?shù)，而 P(t),Q(t) 為待定的帶實(shí)

25、P(t) 2Re D(t) ,Q(t) 2Im D(t) ，可以通過比較系數(shù)法來確定 .d x dx例10 求方程 2 4 4x cos2t 的通解 dt 2dt2t 2 t 1(通解為 x c1e 2t c2te 2tsin2t )8特殊情形f(t) A(t)e t cos t, 或 f(t) B(t)e t sin t可用 復(fù)數(shù)法 求解 .例11d 2 xdx求方程 2 4 4x cos2t 的通解 dt 2 dt(通解為 x c1e 2t c2te 2t 1 sin 2t )8(二)拉普拉斯變換法 常系數(shù)齊次線性微分方程(組)還可以應(yīng)用拉普拉斯變換法進(jìn)行求解 . 由積分F(s) 0 e

26、st f(t)dt所定義的確定于復(fù)平面 ( Res )上的復(fù)變數(shù) s的函數(shù) F(s) ，稱為函數(shù) f(t) 的拉普拉斯f(t) Me t ，這里變換， 其中 f(t) 于t 0上有定義，且滿足不等式M , 為兩個(gè)正常數(shù) . 稱 f (t) 為原函數(shù)，而 F(s) 稱為像函數(shù) .應(yīng)用設(shè)給定微分方程4.32)n n 1 d x d x dxna1 n 1an 1anxf (t)dt n1dt n 1n 1 dtn及初始條件 x(0) x0 ,x (0) x0, ,x(n 1) (0) x0n 1 ，其中 a1,a2, ,an 為常數(shù)， 而 f (t)為連續(xù)函數(shù)且滿足原函數(shù)的條件dx例12 求方程 x e2 t滿足初始條件 x(0) 0 的解 dt2t t(解為 x(t) e2t et )例13 求解方程 x a2x b sin at ；x(0) x0, x(0) x0，其中 a, b為非零常數(shù) .解為x(t) b2 (sin at at cos at) x0cosat x0 sinat 2a a12 (b 2ax0 )sin at a(2 ax0 bt )cos at) 2a2習(xí)題 第 165頁第 4、6、7 題§4.3 高階方程的降階和冪級(jí)數(shù)解法4.3.1 可降階的一些方程類型n 階微分方程一般