1、精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -圓錐曲線大綜合第一部分圓錐曲線常考題型和熱點問題一常考題型題型一：數形結合確定直線和圓錐曲線的位置關系題型二：弦的垂直平分線問題題型三：動弦過定點問題題型四：過已知曲線上定點的弦的問題題型五：共線向量問題題型六：面積問題題型七：弦或弦長為定值的問題題型八：角度問題題型九：四點共線問題題型十：范疇為題（本質是函數問題）題型十一： 存在性問題 （存在點， 存在直線ykxm ，存在實數， 三角形 （等邊、 等腰、直角），四邊形（矩形，菱形、正方形），圓 ）二熱點問題1. 定義與軌跡方程問題2. 交點與中點弦問題3. 弦長及面積

2、問題4. 對稱問題5. 范疇問題6. 存在性問題7. 最值問題8. 定值，定點，定直線問題其次部分學問儲備一與一元二次方程ax2bxc0a0 相關的學問（三個“二次”問題）21. 判別式：b24ac2. 韋達定理：如一元二次方程axbxc0a0 有兩個不等的實數根x1, x2 ，就x1x2bc， x1x2aa3. 求根公式：如一元二次方程ax2bxc0a0 有兩個不等的實數根x , x ，就12x1, 2bb22a4 ac二與直線相關的學問1. 直線方程的五種形式：點斜式，斜截式，截距式，兩點式，一般式精選名師 優秀名師 - - - - - - - - - -第 1 頁，共 14 頁 - -

3、- - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -2. 與直線相關的重要內容：傾斜角與斜率：ytan，0, ；點到直線的距離公式：dAx0By0C（一般式）或dkx0y0b（斜截式）A2B 212k 23. 弦長公式：直線ykxb 上兩點A x1 , y1, B x2 , y2間的距離：AB1k 2 xx1k 2 xx 24x x 或 AB11yyk12121 22124. 兩直線l1 : y1k1x1b1 ,l2 : y2k2 x2b2 的位置關系：l1l2k1k21 l1 / / l2k1k2且b1b25. 中點坐標公式：已知兩點A x

4、1 , y1 ,B x2, y2，如點Mx,y 線段AB 的中點，就xx1x1 , y2y1y2 2三圓錐曲線的重要學問考綱要求：對它們的定義、幾何圖形、標準方程及簡潔性質，文理要求有所不同；文科：把握橢圓，明白雙曲線；理科：把握橢圓及拋物線，明白雙曲線1. 圓錐曲線的定義及幾何圖形：橢圓、雙曲線及拋物線的定義及幾何性質；2. 圓錐曲線的標準方程：橢圓的標準方程雙曲線的標準方程拋物線的標準方程3. 圓錐曲線的基本性質：特殊是離心率，參數a,b,c 三者的關系，p 的幾何意義等4. 圓錐曲線的其他學問：通徑：橢圓2b2 a，雙曲線2b2 a，拋物線 2 p焦點三角形的面積：p 在橢圓上時S F1

5、PF2b 2tan2p 在雙曲線上時S F1PF2b 2 / tan2四常結合其他學問進行綜合考查1 圓的相關學問：兩種方程，特殊是直線與圓，兩圓的位置關系2 導數的相關學問：求導公式及運算法就，特殊是與切線方程相關的學問3 向量的相關學問：向量的數量積的定義及坐標運算，兩向量的平行與垂直的判定條件等4 三角函數的相關學問：各類公式及圖像與性質5 不等式的相關學問：不等式的基本性質，不等式的證明方法，均值定理等五不同類型的大題（ 1）圓錐曲線與圓例 1.（本小題共14 分）精選名師 優秀名師 - - - - - - - - - -第 2 頁，共 14 頁 - - - - - - - - - -

6、精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -已知雙曲線2C : xa 22y1a b 20, b0 的離心率為3 ，右準線方程為x33（）求雙曲線C 的方程；（）設直線l 是圓O : x2y22 上動點P x , y x y0 處的切線， l與雙曲線 C0000交于不同的兩點A, B ，證明AOB 的大小為定值,【解法 1】此題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎學問，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算才能a23（）由題意，得c c2a3，解得 a 31, c3 ， b2c2a 22 ，所求雙曲線C 的方程為x2y1 .（）點Px

7、 , yx y0在圓 x22y22 上，0000圓在點Px , y處的切線方程為yyx0x x，0000y0化簡得x0 xy0 y2 .2x12y22222由2及 x0y02 得x0 xy0 y23x04x4 x0 x82x00 ，切線l 與雙曲線C 交于不同的兩點A、B，且 022 ，x0 3x240 ，且16x24 3 x2482 x20 ，0000設 A、B 兩點的坐標分別為x1, y1,x2 , y2，就 xx4x0, x x82x20，4123x21 23x2400 cosAOBOA OB，且OAOBOAOBx1 x2y1y2x1x21y22x0 x102x0 x2，精選名師 優秀名

8、師 - - - - - - - - - -第 3 頁，共 14 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -12x x42 xxxx x xx21 201201 22022x282x282x0148x0003x242x23x243x2400002282 x082x00 .3x243x2400AOB的大小為90 .000000【解法 2】（）同解法1.（） 點 Px, yx y0在圓 x2y22 上，圓在點P x , y處的切線方程為 yyx0xx，化簡得2x xy y2 . 由xy221及 x2y220y000000x0

9、xy0 y2得2223 x04x4x0 x82 x003x24y28 y x82 x20000切線l 與雙曲線C 交于不同的兩點A、B，且 022 ，x0 3x240 ，設 A、B 兩點的坐標分別為x , y,x , y，011220就 x x82x2, y y2x280，1 23x24123x2400 OA OBx1x2y1 y20 ，AOB 的大小為90 .00且 x y0 ， 0x22,0y22 ，從而當 3x200000（ x2y2240 時，方程和方程的判別式均大于零）.練習 1：已知點A 是橢圓22C : xy1 t0的左頂點， 直線l : xmy1mR 與橢圓 C 相交于E ,

10、F9兩點，與tx 軸相交于點B . 且當 m0 時，AEF16的面積為.3（）求橢圓C 的方程；精選名師 優秀名師 - - - - - - - - - -第 4 頁，共 14 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -（）設直線AE ， AF與直線 x3 分別交于M ， N兩點，試判定以MN 為直徑的圓是否經過點B ？并請說明理由.（ 2）圓錐曲線與圖形外形問題2例 2.1 已知 A， B， C 是橢圓 W： x4 y2 1 上的三個點， O 是坐標原點1當點 B 是 W 的右頂點，且四邊形OABC 為菱形時，求此菱形的

11、面積；2當點 B 不是 W 的頂點時，判定四邊形OABC 是否可能為菱形，并說明理由x2解： 1 橢圓 W： y2 1 的右頂點 B 的坐標為 2,04由于四邊形OABC為菱形，所以AC與 OB相互垂直平分所以可設 A1 ，m ，代入橢圓方程得141m211，即 m3 .2所以菱形 OABC的面積是| OB| ·|AC| 2×2×2| m| 3 .22 假設四邊形OABC為菱形由于點 B 不是 W的頂點，且直線 AC不過原點， 所以可設 AC的方程為y kx m k0，m0 x24 y24,222由y kxm消 y 并整理得 1 4k x 8kmx 4m 4 0.

12、設 A x1，y1 ， C x2，y2 ，x1x24kmy1y2x1x2m就2 ，214kkm2 .2214k所以 AC的中點為 M4km14k 2m,14k 2.1由于 M為 AC和 OB的交點，所以直線OB的斜率為.4k由于 k·14k 1，所以 AC與 OB不垂直所以 OABC不是菱形，與假設沖突所以當點 B 不是 W的頂點時，四邊形OABC不行能是菱形2222練習 1： 已知橢圓 C ：xy1ab0 過點 2 ， 1 ，且以橢圓短軸的兩個端點和ab一個焦點為頂點的三角形是等腰直角三角形. 求橢圓的標準方程； 設 M （ x, y是橢圓 C 上的動點，P（ p,0是 X 軸上的

13、定點，求MP 的最小值及取最小值時點 M 的坐標 .精選名師 優秀名師 - - - - - - - - - -第 5 頁，共 14 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -（ 3）圓錐曲線與直線問題例 3.1 已知橢圓C : x22y24 ，（1）求橢圓 C 的離心率 .（2）設 O 為原點， 如點 A在橢圓 C 上，點 B 在直線 y2 上，且 OAOB ，求直線 AB與圓 x2y22 的位置關系，并證明你的結論.解析：橢圓的標準方程為：x2y21 ，42a2 ， b2就 c2 ，離心率 ec2 ;a222直線 AB

14、 與圓 xy2 相切 . 證明如下：法一：設點 AB 的坐標分別為x0y0t2 ，其中x00 .由于 OA OB，所以OA OB0 ，即tx02 y00 ，解得 t2 y0 .x0當 x0t 時， y0t 2，代入橢圓2C 的方程，得t2 ,故直線 AB 的方程為x2 . 圓心 O 到直線 AB 的距離 d2 .2此時直線AB 與圓 x2y2 相切 .當 x0t 時，直線AB 的方程為y2y0x02 xt，t即y02 xx0ty2x0ty00 .圓心 O 到直線 AB 的距離d2 x0.ty022又 x22 y24 ， ty022 y0，故x0t00002 y 2x04x22x0.x0x0d2

15、242x 2y 24y04x08x0160022x02x0此時直線AB 與圓 x 2y22 相切 .法二：由題意知，直線OA 的斜率存在，設為k ，就直線 OA 的方程為ykx ， OA OB ，精選名師 優秀名師 - - - - - - - - - -第 6 頁，共 14 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -當 k0 時， A20 ，易知B 02，此時直線AB 的方程為xy2 或xy2 ，2原點到直線AB 的距離為2 ，此時直線AB 與圓 x2相切；y2當 k0 時，直線 OB 的方程為y1 x ，k222222

16、k22kykx聯立22得點 A 的坐標12k12k或1 2k12k；x2 yy1 x聯立ky24得點 B 的坐標2k2，由點 A 的坐標的對稱性知，無妨取點A2 2k22進行運算，于是直線AB 的方程為：y22k12k 2212k2x12k 2即k12k 2x1k12k 2y2k 220 ，2k12 k2kk1k212kx12k 22k，2k 22d2原點到直線AB 的距離22,k12k 21k12k 2此時直線 AB 與圓22xy2 相切；2綜上知，直線AB 肯定與圓x2相切 . y2法三：當 k0 時， A20 ，易知B 02，此時 OA2OB2 ，AB222222 ，原點到直線AB 的距

17、離 dOAOB22AB222 ， 、此時直線AB 與圓 x 2y22 相切；當 k0 時，直線 OB 的方程為y1 x ，k設 A x1y1B x2y2，就 OA1k2 x1， OB12ky221k 2 ，精選名師 優秀名師 - - - - - - - - - -第 7 頁，共 14 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -222222k22kykx聯立得點 A 的坐標12k12k或12k12k；x22 y 24于是 OA21 kxA2 1k22， OB2 1k2 ,12k224 1k2AB24 1k22 1k，12k

18、212k222 1k21kOAOB所以 dAB12k 222 1k 22 , 直線 AB 與圓 x22相切；y212k222綜上知，直線AB 肯定與圓 xy2 相切x2y2練習 1：已知橢圓C : a2b21ab0 過點 0,1 ，且長軸長是焦距的2 倍. 過橢圓左焦點F 的直線交橢圓C 于 A，B 兩點， O 為坐標原點 .（）求橢圓C 的標準方程；（）如直線 AB 垂直于 x 軸，判定點 O 與以線段AB 為直徑的圓的位置關系，并說明理由；（）如點O 在以線段AB 為直徑的圓內，求直線AB 的斜率 k 的取值范疇 .（ 4）圓錐曲線定值與證明問題例 4.1 已知橢圓 C 的中心在原點O ，

19、焦點在 x 軸上，離心率為32，且橢圓 C 上的點到兩個焦點的距離之和為4 （）求橢圓C 的方程；（）設A 為橢圓 C 的左頂點，過點A 的直線 l 與橢圓交于點M ，與 y 軸交于點N ，過原點與 l 平行的直線與橢圓交于點P 證明：| AM| | AN|2|OP |2 2解：（）設橢圓C 的標準方程為xa2y2b21ab0 ，由題意知a2b2c3 ,a22a4,c2 ,解得 a2 ， b1 精選名師 優秀名師 - - - - - - - - - -第 8 頁，共 14 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -所以橢

20、圓 C 的標準方程為x22y41 ,5 分（）設直線AM 的方程為：yk x2 ，就N 0,2 k yk x2，2222由x24 y2得 1+4k x4,16kx16k40 （ * ）設 A2,0， M x1 ,y1，就2 ， x1 是方程（ * ）的兩個根，所以 x128k 214k 228k 24k所以 M 14k 2,14k2 28k228k24k1616k241k 2| AM|214k 2214k 214k 2 214k 2| AN |44k 22 1k 2 41k 22 1k281k 2 | AM| AN|14k214k 2設直線 OP 的方程為：ykx ykx，22由x24y2得

21、14k x4,440 4k 2設 P x , y ，就 x 2， y 200014k 2014k 2所以 | OP |244k 2214k 2， 2 | OP |288k 214k 2所以 | AM| | AN |2|OP | X 2y23例 4.2: 已知橢圓C：OAB的面積為1.221（ a>b>0）的離心率為ab，A（ a,0 ）,B0,b，O（0，0），2（I ）求橢圓C 的方程；I I設 P的橢圓 C上一點，直線PA 與 Y 軸交于點M，直線 PB 與 x 軸交于點N；求證：ANBM為定值；精選名師 優秀名師 - - - - - - - - - -第 9 頁，共 14 頁

22、 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -x2y26練習 1：已知橢圓C : a2b21ab0 的離心率為, 橢圓短軸的一個端點與兩個3焦點構成的三角形的面積為52 .3 求橢圓C 的方程 ; 已知動直線yk x1 與橢圓C 相交于A 、B 兩點.如線段AB 中點的橫坐標1為, 求斜率2k 的值; 如點M 7 ,03, 求證 :MAMB為定值 .練習 2：已知拋物線 C : y 2 2 px （p 0），其焦點為 F，O為坐標原點，直線AB （不垂直于x軸）過點 F 且拋物線 C交于 A ， B 兩點，直線 OA 與OB的

23、斜率之積為p （1）求拋物線 C 的方程；（2）如 M為線段 AB的中點，射線 OM交拋物線 C于點D，求證：|OD | 2| OM |精選名師 優秀名師 - - - - - - - - - -第 10 頁，共 14 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -練習 3： 動點P x,y 到定點F 1,0的距離與它到定直線l : x4 的距離之比為1 .2 求動點 P 的軌跡 C 的方程；（）已知定點A2,0， B2,0，動點Q 4, t 在直線 l 上，作直線AQ 與軌跡 C 的另一個交點為M ,作直線 BQ 與軌跡 C

24、 的另一個交點為N ，證明：M , N , F 三點共線 .（ 5）圓錐曲線最值問題x 2y23例 5： 已知橢圓| AB |2 .C :221abab0 的離心率為，橢圓 C 與 y 軸交于 A， B 兩點，2（）求橢圓C 的方程；（）設點P 是橢圓 C 上的一個動點，且點P 在 y 軸的右側 .直線 PA， PB 與直線 x4 分別相交于 M ， N兩點 .如以 MN 為直徑的圓與x 軸交于兩點E， F，求點 P 橫坐標的取值范疇及 | EF |的最大值 .解：（）由題意可得，b1 ，,1 分ec3a2， ,2 分a213得， ,3 分a24解 a24 ， ,4 分2橢圓 C 的標準方程為

25、x4y21.,5 分（）設Px0 , y0 0x02， A0,1 ， B 0,1 ，所以 kPAy01，直線 PA 的方程為 yx0y01 xx01 ， ,6 分同理：直線PB 的方程為yy01x1 ，x0直線 PA 與直線 x4 的交點為M 4,4 y01x01 ， ,7 分精選名師 優秀名師 - - - - - - - - - -第 11 頁，共 14 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -直線 PB 與直線 x4 的交點為N 4,4 y01x01 ，線段 MN 的中點4,4 y0 ，,8 分x0所以圓的方程為

26、x4 2 y4 y0 2x014 2 ， ,9 分x0令 y0，就 x4 216 y20x201x0 24， ,10 分x2y0由于021，所以211y02， ,11 分4所以 x4 2x04850 ，x0由于這個圓與x軸相交 , 該方程有兩個不同的實數解，所以 58 x00 ，解得 x0 8 , 25.,12 分設交點坐標 x1 ,0, x2,0 ，就| x1x2|2588（x05x02 ）所以該圓被x 軸截得的弦長為最大值為2.,14 分2練習1：已知橢圓 C： xa2y2b21 ab的一個焦點為F2，0，離心率為6 ；過焦3點F 的直線 l 與橢圓 C交于 A，B兩點，線段 AB中點為

27、D，O為坐標原點，過O，D的直線交橢圓于M ， N 兩點；（1）求橢圓 C 的方程；（2）求四邊形 AMBN 面積的最大值；練習 2： 已知橢圓 C ： mx223my1m0 的長軸長為26 ， O 為坐標原點 .（）求橢圓C 的方程和離心率；（）設點A3,0，動點 B 在 y 軸上，動點P 在橢圓 C 上，且 P 在 y 軸的右側，如| BA | | BP | ，求四邊形OPAB 面積的最小值 .精選名師 優秀名師 - - - - - - - - - -第 12 頁，共 14 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -（ 6）圓錐曲線存在性問題2C例 6. 已知橢圓：x2y1 ab0 的離心率為2 ，點 P 0,1 和點A m, nm0 都22ab2在橢圓 C 上，直線 PA 交 x 軸于點 M （）求橢圓C 的方程，并求點M 的坐標（用m n 表示）；（）設