1、數(shù)字信號處理II實驗報告數(shù)字信號處理II實驗報告實驗題目：維納濾波器的計算機實現(xiàn)姓名： 學號：班級：專業(yè)： 一、實驗目的1利用計算機編程實現(xiàn)加性噪聲信號的維納濾波。2將計算機模擬實驗結(jié)果與理論分析結(jié)果相比較，分析影響維納濾波效果的各種因素，從而加深對維納濾波的理解。3利用維納一步純預測方法實現(xiàn)對信號生成模型的參數(shù)估計。二、實驗原理維納濾波是一種從噪聲背景中提取信號的最佳線性濾波方法，假定一個隨機信號x(n)具有以下形式： 1-1其中，s(n)為有用信號，v(n)為噪聲干擾，將其輸入一個單位脈沖響應為h(n)的線性系統(tǒng)，其輸出為 1-2我們希望x(n)通過這個系統(tǒng)后得到的y(n)盡可能接近于s(

2、n)，因此，稱y(n)為信號s(n)的估值。按照最小均方誤差準則，h(n)應滿足下面的正則方程： 1-3這就是著名的維納霍夫方程，其中是 是x(n)的自相關函數(shù)，是 x(n)和s(n)是的互相關函數(shù)。在要求 h(n)滿足因果性的條件下，求解維納-霍夫方程是一個典型的難題。雖然目前有幾種求解 h(n)的解析方法，但它們在計算機上實現(xiàn)起來非常困難。因此，本實驗中，利用近似方法，即最佳 FIR 維納濾波方法，在計算機上實現(xiàn)隨機信號的維納濾波。設 h(n)為一因果序列，其長度為 N，則 1-4同樣利用最小均方誤差準則，h(n)滿足下面方程： 1-5其中 當為滿秩矩陣時, 1-6由此可見，利用有限長的

3、h(n)實現(xiàn)維納濾波器，只要已知和 ,就可以按上式解得滿足因果性的 h。只要 N 選擇的足夠大，它就可以很好地逼近理想無限長的維納濾波器。這一點我們可以在下面實驗中得到證實。考慮維納一步純預測問題，假定s(n)的生成模型為 1-7其中 w(n)是均值為零，方差等于 的高斯白噪聲。在已知準確自相關函數(shù)的情況下，由下面 Yule-Walker 方程可以得到信號生成模型參數(shù)和。 1-8其中為的自相關矩陣，A 為的系數(shù)列向量，定義為其中為的單位列向量，除第一個元素等于 1 外，其余元素均為零，即三、實驗內(nèi)容和步驟：3.1、實驗流程圖開始輸入樣本個數(shù)L,FIR濾波器階數(shù)N產(chǎn)生L個v(n),w(n),s(

4、n)和x(n)，利用L個s(n)和x(n)，估計RSS和rxsN檢驗產(chǎn)生序列x(n的自相關和互相關函數(shù)是否與理論值相符NY在同一坐標內(nèi)繪出x(n)自相關函數(shù)的理論值和實際值Y在同一坐標內(nèi)繪出最后100個s(n)和x(n)。調(diào)矩陣求逆子程序計算,將N個理想的h(n)和估計的h(n) 繪于同一坐標內(nèi)進行理想的維納濾波得L個SI (n),和最后100個s(n)繪制于同一坐標 對x(n)進行過濾得L個SR(n)，和最后100個s(n)和繪于同一坐標內(nèi)L個x(n),s(n), SI (n), SR(n),統(tǒng)計ex2,eI2,eR2結(jié)束3.2、 運行維納濾波器程序（見附錄程序1），N=10,L=5000，

5、觀察并記錄實驗結(jié)果：1) 與s(n)相比，信號x(n)在維納濾波前后效果比較：圖1 未經(jīng)維納濾波的x(n)與最后100個s(n)比較圖圖2 維納濾波后的s(n)與最后100個s(n)比較圖分析：顯然與s(n)相比，x(n)在維納濾波前與s(n)相差很大，維納濾波后較接近s(n),可見濾波效果比較好。2) 估計(n)與理想h(n)的比較：圖3 為估計(n)與理想h(n)的對比圖分析：由圖可見，二者近似程度除最后幾個點外，其他近似度還是滿高的，總體而言，近似效果不錯。3) 理想的維納濾波與FIR維納濾波效果對比：圖4 理想維納濾波效果 圖5 FIR維納濾波效果分析：直接從圖形觀察，差異太小，無法觀

6、察其精度。只能通過最小均方差來比較其差異，結(jié)果為：理想維納濾波ei= 0.2287,FIR維納濾波ef=0.2254。可見，理想維納濾波效果要好過FIR維納濾波。4) 自相關與互相關數(shù)據(jù)判斷對效果的影響分析：若去掉流程圖中自相關與互相關數(shù)據(jù)判斷步驟，可能會得到理想維納濾波不如FIR濾波的效果，這里的判斷步驟就是為了檢測實際產(chǎn)生序列的自相關或互相關特性與理論值的近似程度，若誤差很小且通過我們設定的某一下限則認為二者近似，所以最終的濾波效果才很近似。如果沒有這里的判斷，實際自相關或互相關則是任意的，完全有可能出現(xiàn)比理想維納濾波更好的效果。3.3、固定L=5000,分別取N=3、20，根據(jù)實驗結(jié)果，

7、觀察N的大小對(n)的估計和濾波效果的影響并記錄實驗結(jié)果。實驗結(jié)果：N=3：圖6 N=3時估計(n)與理想h(n)的對比圖圖7 為N=3的未濾波后所得想x(n)與實際S(n)后100位的比較圖圖8 為N=3的FIR濾波后所得(n)與實際S(n)后100位的比較圖e_x = 1.0056 e_i =0.3245 e_f =0.2851N=20：圖9為N=20時估計(n)與理想h(n)的對比圖圖10為N=20的未濾波x(n)與實際S(n)后100位的比較圖圖11為N=20的FIR濾波后所得想x(n)與實際S(n)后100位的比較圖e_x = 1.0168 e_i =0.2444 e_f = 0.2

8、427分析：從最終均方誤差的比較可知，N越大，濾波效果越好3.4、固定N=10,改變L=10000、50000，根據(jù)實驗結(jié)果，觀察并記錄L的大小對(n)的精度和濾波效果的影響。實驗結(jié)果：L=10000:圖12 L=10000時估計(n)與理想h(n)的對比圖圖13 L=10000未濾波x(n)與實際S(n)后100位的比較圖圖14 L=10000的FIR濾波后所得(n)與實際S(n)后100位的比較圖e_x =0.9950 e_i =0.2361 e_f =0.2351L=50000:圖15 L=50000時估計(n)與理想h(n)的對比圖圖16 L=50000未濾波x(n)與實際S(n)后1

9、00位的比較圖圖17 L=50000的FIR濾波后所得(n)與實際S(n)后100位的比較圖e_x = 1.0168 e_i = 0.2444 e_f =0.2427分析：L越大(n)與h(n)越接近，(n)的精度越高。由均方誤差可知，L越大，濾波效果越高。這也容易理解，樣本越大，精度自然越高。3.5、 維納一步純預測 畫出信號生成模型參數(shù)估計的流程圖開始輸入信號生產(chǎn)模型的階數(shù)p, AR模型的參數(shù)ai(i=1,2p),w2,信號s(n)的樣本數(shù)L利用randn函數(shù)產(chǎn)生L個w(n),并產(chǎn)生L個s(n)利用Yule-Walker 方程，求出 1. p結(jié)束運行信號生成模型程序（附錄二），選擇p=1,

10、a1=-0.6,L=100.其中理論值： w2=1-a12=0.6400 a1=-0.6實驗結(jié)果：L=100estimate_a1 = -0.5884 estimate_sigma =0.9839 error_a1 = -0.0193 error_sigma =-0.0161L=50estimate_a1 = -0.5742 estimate_sigma =0.9703 error_a1 =-0.0430 error_sigma =-0.0297L=500estimate_a1 = -0.5966 estimate_sigma =0.9968 error_a1 =-0.0056 error_s

11、igma =-0.0032分析：顯然樣本個數(shù)L的增大，使得信號模型參數(shù)精度明顯提高。四、實驗總結(jié)： 1、樣本個數(shù)越大，參數(shù)精度越高。2、影響維納濾波效果的因素包括樣本個數(shù)L、FIR濾波階數(shù)，且均成正比關系，L越大或者FIR濾波器的階數(shù)越大則維納濾波的效果越好。3、維納一步純預測，只要調(diào)整ai(1,2p)即可實現(xiàn)最小均方誤差，樣本個數(shù)L的增大，信號模型參數(shù)精度明顯提高。五、思考題5.2根據(jù)Yule-Walker方程有其中為(p+1)*(p+1)的s(n)自相關矩陣,A為（p+1）*1的系數(shù)列向量及A=,而，由給出的理論，解方程即可得到估計值；用估計值代入方程即可得到估計值。六、實驗一題：已知：1

12、）畫出信號生成模型和相應的wiener濾波器框圖解：根據(jù)提議，信號生成模型和wiener濾波器框圖如下：左邊是隨機信號生成模型，右邊是wiener濾波器的傳遞函數(shù)H(Z)2）。求因果wiener濾波器的傳遞函數(shù)H(z)。解：3）求的值。解：附錄：程序1：% 根據(jù)實驗要求變動a = 0.95;K = 50;sigma_a2 = 1-a2; a_ = 1, -a;L=input('請輸入信號樣本個數(shù)L=');N=input('請輸入FIR濾波器的階數(shù)N=');while(1)wn = sqrt(sigma_a2)*( randn(L,1);sn = filter(1

13、, a_, wn);vn = randn(L,1);xn = sn + vn;r_xx = xcorr(xn,'unbiased');r_xx_t = a.abs(-K:K);r_xx_t(K+1)=r_xx_t(K+1)+1; p = xcorr(sn,xn,'unbiased'); r_xs = p(L : L+K); rou_xx = sum(r_xx(L-K:L+K)-r_xx_t').2)/sum(r_xx_t.2); rou_xs = sum(r_xs-a.0:K').2)/sum(a.0:K.2);if rou_xx < 0.

14、03 && rou_xs < 0.01 break;endend% 這樣即可得一個符合要求的x(n)序列%同一坐標繪制x(n)自相關函數(shù)理論值與實際值figure(1),clf%subplot(121)stem(r_xx(L-K:L+K),'r')hold onstem(r_xx_t,'b')title('x(n)自相關函數(shù)的理論值（藍色）和實際值（紅色）')%同一坐標繪制x(n)與s(n)互相關函數(shù)理論值與實際值figure(2),clf%subplot(122)stem(r_xs,'r')hold ons

15、tem(a.0:K,'b')title('x(n)互相關函數(shù)的理論值（藍色）和實際值（紅色）')%在同一坐標內(nèi)繪出最后100個sn和xn figure(3),clf stem(xn(L-99:L),'*','r') hold on stem(sn(L-99:L),'b') %axis(0,100,-3,4) title('最后100個s(n)（藍色）和x(n)（紅色）');%計算h(n)的估計值并與理想值比較%構(gòu)造x(n)的N階自相關矩陣R_xxn=0:N-1;for i=1:N for j=1:N

16、 R_xx(i,j)=r_xx(i-j+L); endendhopt=inv(R_xx)*r_xs(1:N);%利用維納霍夫方程求h hopt_t=0.2379*(0.7239).n; %理想h %同一坐標繪制h(n)的實際值與理想值figure(4),clfstem(hopt,'-','r');hold onstem(hopt_t,'*','b');title('h(n)估計值（紅色），與真值（藍色）的比較');%同一座標繪制理想維納濾波后的s(n)和最后100個s(n)sn_w=filter(hopt_t,1,

17、xn);%理想維納濾波figure(5),clfstem(sn(L-99:L),'-','b')hold onstem(sn_w(L-99:L),'*','r');title('最后100個sn（藍色）和由維納濾波器得到的sn_w（紅色）的比較');%同一坐標繪制實際維納濾波后s(n)與最后100個s(n)sn_f=filter(hopt,1,xn);figure(6),clfstem(sn(L-99:L),'-','b')hold onstem(sn_f(L-99:L),'

18、*','r');title('最后100個sn（藍色）和由FIR濾波器得到的sn_w（紅色）的比較');%求并比較各個均方差e_x=sum(xn(1:L)-sn(1:L).2)/L e_i=sum(sn_w(1:L)-sn(1:L).2)/Le_f=sum(sn_f(1:L)-sn(1:L).2)/L程序2：clear allp=1;a1=-0.6;sigma_w2=1;L=50;%s(m)的樣本數(shù)s=1;%統(tǒng)計5000次，最終估計值取平均while s<=5000wn=sqrt(sigma_w2)*randn(1,L);%w(n)為均值為0，方差為1的白噪聲sn=wn(1);%s(n)+a1s(n-1)=w(n),n=1時，s(n)=w(n)for n=2:Lsn=sn,wn(n)-a1*sn(n-1);%n>=2時，s(n)=w(n)-a1s(n-1)endr_ss=xcorr(sn,'unbiased');%求s(n)的自相關est_a1(s)=-r_s