1、根本不等式【知識框架】1、根本不等式原始形式(1)假設(shè)a,bR,那么a2b22ab假設(shè)a,bR,那么ab2.2ab22、根本不等式一般形式均值不等式假設(shè)a,bR*,那么ab2倔3、根本不等式的兩個重要變形(1)假設(shè)a,bR*,那么ab*而22假設(shè)a,bR*,那么abab2總結(jié)：當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時,它們的和有最小值;當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時,它們的積有最小值;特別說明：以上不等式中,當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“=4、求最值的條件：“一正,二定,三相等5、常用結(jié)論1(1)假設(shè)x0,那么x2(當(dāng)且僅當(dāng)x1時取“=)x1(2)假設(shè)x0,那么x2(當(dāng)且僅當(dāng)x1時取“=)x(3)假設(shè)ab0,那么ab2(當(dāng)且僅當(dāng)a

2、b時取"=)ba22(4)假設(shè)a,bR,那么ab(ab)2-22(5)假設(shè)a,b特別說明：以上不等式中,當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“=6、柯西不等式(1)假設(shè)a,b,c,dR,那么(a2b2)(c2d2)(acbd)2(2)假設(shè)a1,a2,a3,bi,b2,4R,那么有：(a；a22a32)(1bl2b2242)(ahazda3b3)2(3)設(shè)a®,a與"b,h是兩組實數(shù),那么有2222,2,22an)(b1b2bn)(aMa2b2anbn)【題型歸納】題型一：利用根本不等式證實不等式題目1、設(shè)a,b均為正數(shù),證實不等式:癡211ab題目2、a,b,c為兩兩不相等的實數(shù),求

3、證:2cabbcca題目3、abc1,求證：a2b2題目4、a,b,cR,且abc1,求證：(1a)(1b)(1c)8abc111題目5、a,b,cR,且abc1,求證：一1118abc題目6、新課標(biāo)n卷數(shù)學(xué)理設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a1,證實:(I)abbcca1；(32an)bb22c1.a題型二：利用不等式求函數(shù)值域題目1、求以下函數(shù)的值域1y3x2-2-r2yx4x2x-11.(3)yx(x0)(4)yx(x0)xx題型三：利用不等式求最值一湊項41、x2,求函數(shù)y2x4的最小值;2x44變式1:x2,求函數(shù)y2x的最小值;2x44變式2：x2,求函數(shù)y2x的最大值;2x4變式3:x2

4、,求函數(shù)y2x4x2x4的最大值;5練習(xí)：1、x,求函數(shù)y4x2的取小值;44x5題目2、x5,求函數(shù)v4x21的最大值;4y4x5題型四：利用不等式求最值二湊系數(shù)題目1、當(dāng)口?工?4時,求yx82x的最大值;變式1：當(dāng)口?工?4時,求y4x(82x)的最大值;3變式2：設(shè)0x-,求函數(shù)y4x(32x)的最大值.題目2、假設(shè)0x2,求yJx(63x)的最大值;變式：假設(shè)0x4,求yJx(82x)的最大值;題目3、求函數(shù)y<277指"W(1x5)的最大值;22變式：求函數(shù)yuZX31V4x(3xU)的最大值;44題型五：巧用“1的代換求最值問題r一一11,一一題目1、a,b0,a

5、2b1,求t-的最小值;ab11,一一變式1：a,b0,a2b2,求t的最小值;ab、,、一,28變式2：x,y0,一1,求xy的最小值;xy119,求xy的最小值.變式3:x,y0,且一一xy19變式4：x,y0,且一一4,求xy的最小值;xy變式5:11(1)假設(shè)x,y0且2xy1,求的最小值；xy假設(shè)a,b,x,yR且ab1,求xy的最小值;xy變式6：正項等比數(shù)列an滿足：a762a5,假設(shè)存在兩項am,an,使得amn41,求一一mn的最小值;變式7：假設(shè)正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,那么3x+4y的最小值是A.24B.28變式8：設(shè)a0,b0.假設(shè)£是3a與3b的等比中

6、項,那么11的最小值為.abA.1B.1C.4D.84、,、,一一21,一,變式9：ab0,且ab2,那么的取小值為a3bab乙I乙ab變式10：0x1,a0,b0,求y的最小值.x1x變式11：求28(0x3)的最小值2x32x214變式12:(0,一),求函數(shù)f()的最小值2sincos變式13：設(shè)正實數(shù)a,b滿足ab2那么1亙的最小值為a8b2|a|b變式14：12021天津理】設(shè)a+b=2,b>0,那么當(dāng)a=曰,-回取得最小值_a1變式15：設(shè)a0,b1滿足ab2,那么一a-1的最小值為b1a14變式16：a,bR且2ab1,那么的最小值是ab題型六：別離換元法求最值了解1的值域

7、;題目1、求函數(shù)yx7x10/(xx1變式：求函數(shù)yx1的值域;題目2、求函數(shù)y.x2一的取大值;2x5x1變式：求函數(shù)y的最大值;4x9題型七：根本不等式的綜合應(yīng)用1,求3a9b的最小值題目1、log2alog2b題目2、a,b0,求112v0b的最小值;ab變式1：2021四川如果ab0,求關(guān)于a,b的表達(dá)式a2aba(ab)的最小值;logax11的圖像恒過定點A,假設(shè)點變式2：2021湖北武漢診斷,當(dāng)a0,a1時,函數(shù)yA在直線mxyn0上,求4m2n的最小值;4/I4/變式3：2021天津】假設(shè)a,bR,ab0,那么a一4b1的最小值為ab題目3、x,y0,x2y2xy8,求x2y最

8、小值;變式1：a,b0,滿足abab3,求ab范圍;11,求xy最大值；提小：通分或三角換兀31變式2:x,y0,2變式3:x,y0,x22yxy1,求xy最大值;題目4、2021年山東理設(shè)正實數(shù)x,y,z滿足x23xy4y2z0,那么當(dāng)取得最大值時,一一一zxyz的最大值為A.0變式：設(shè)x,y,z是正數(shù),滿足x2y3z20,求_L的最小值;xz題型八:利用根本不等式求參數(shù)范圍題目1、x,y0,且x1y)(一xa)y9恒成立,求正實數(shù)a的最小值;2、恒成立,如果nN,求n的最大值；參考：4xz、,、一,一.14變式：a,b0滿那么2,假設(shè)abc恒成立,求c的取值范圍;ab題型九：利用柯西不等式

9、求最值1、二維柯西不等式ab(a,b,c,dR,當(dāng)且僅當(dāng)一一；即adbc時等號成立)右a,b,c,dcd22222(a2b2)(c2d2)(acbd)22、二維形式的柯西不等式的變式<a2b2'c2d2acbd(a,b,c,dR,當(dāng)且僅當(dāng)芻P；即adbc時等號成立)cd(2)Ja2b2Yc2d2|acbd(a,b,c,dR,當(dāng)且僅當(dāng)9上；即adbc時等號成立)cd(ab)(cd)(.ac,bd)2bc時等號成立)ab一(a,b,c,d0,當(dāng)且僅當(dāng)一一；即adcd3、二維形式的柯西不等式的向量形式(當(dāng)且僅當(dāng)0,或存在實數(shù)k,使ak時,等號成立)4、三維柯西不等式假設(shè)ai,a2,a3

10、,bi,b2,b3R,那么有：/2222,2,22(aia2a3)(1blb24)(abia?!a3b3)(a/R,當(dāng)且僅當(dāng)曳曳曳時等號成立)bib2h5、一般n維柯西不等式設(shè)ai©,a與bi,b2,bn是兩組實數(shù),那么有：2222,2,22(ai82an)(bib2bn)(aMa2b2abn)(aiR,當(dāng)且僅當(dāng)曳辿bib2義時等號成立)bn【題型歸納】題型一：利用柯西不等式一般形式求最值題目1、設(shè)x,y,zR,假設(shè)x2y2z24,那么x2y2z的最小值為時,(x,y,z)析：(x2y2z)2(x2y2z2)12(2)22249362y2z最小值為此時y2126(2)222題目2、設(shè)x,y,z2R,2xy2z6,求x22.yz的最小值m,并求此時x,y,zN值.題目3、設(shè)x,y,zAns：m4;(x,y,z)243,3R,2x3yz3,求x2(y1)22一,z之最小值為,此時y(析：2x3yz32x3(y