1、淺談數學分析中求極限的常用方法淺談數學分析中求極限的常用方法Preliminary analysis on the common method of limit problem in mathematical analysis 摘 要求極限問題是數學分析學習的基礎，也是其極為重要的內容之一。極限問題分為函數極限和數列極限兩類，其他很多重要的數學概念的學習都建立在極限基礎上，比如導數，積分，級數等等。因此要學好數學分析，就要學好極限。解決極限問題看似簡單，但卻很抽象，往往很難求出。我們不能僅僅局限于用極限的概念求極限，我們應該掌握多種方法，并且運用各種方法結合，快速而準確的求出極限。因為極限貫穿

2、于數學分析學習的始終，許多數學概念是從極限出發而得出的。所以反過來，我們也可以通過有關于極限的數學概念而求出極限。但是這并不是非常容易的事情，因為極限問題過于抽象，所以我們應該單獨的學習各種方法針對性的求極限，最后再進行整合，把多種方法相結合來求極限。由此可以看出求極限問題是十分繁瑣的，針對這種情況，本文中介紹了多種基本的求極限方法和注意事項，并且通過例題的運算過程清晰明了的展現了極限問題的解決過程，使極限問題變得相對簡單易懂，為數學分析的學習打下基礎。關鍵詞：數列極限；函數極限；方法- I -淺談數學分析中求極限的常用方法Preliminary analysis on the common

3、method of limit problem in mathematical analysisAbstract Limit problem is the base of mathematical analysis. It can be divided into function limit and sequence limit, both of them are very important. Mary other important mathematical ideas are based on limit, such as derivative integral and progress

4、ion. If one wants to learn mathematical analysis well, he must learn limit well. It is usually very hard to solve limit problem, it seems to be simple, but rather abstract in fact we can not be restricted to solve limit problem by using the concept of limit. We should master multiple methods and use

5、 them together to solve the limit problem quickly and accurately. Limit exists in the whole process of mathematical analysis many mathematical concepts start from limit. On the contrary, we can use these concepts to solve limit problem. All these are no easy things. Because of the abstract of limit

6、problem, we should learn multiple of methods in a target way and eventually combine them to solve limit problem. We can see that solving limit problem is very complicated. Aiming at this circumstances, this article introduce multiple basic ways to solve the problem and master needing attention, The

7、calculation of example shows the solving process of limit problem. It make limit problem easier to understand and provide a foothold for the study of mathematical analysis. - III -目 錄摘 要IAbstractII引 言11 極限相關的概念11.1 數列極限21.2 函數極限21.3 函數極限和數列極限的關系32 求極限的常用方法32.1 極限的四則運算法則32.2 兩個重要極限52.3 用函數的連續性求極限72.4

8、 等價無窮小代換82.5 洛必達法則92.6 根據定積分的定義求極限102.7 利用泰勒公式求極限112.8 利用極限存在準則求極限132.9 拉格朗日中值定理求極限153 求極限的小技巧163.1 有界函數與一個無窮小量的積仍為無窮小量163.2 換元法163.3 數列極限轉化成函數極限16結 論17參 考 文 獻18淺談數學分析中求極限的常用方法引 言求數列極限和函數極限是數學分析中的基礎，求極限問題貫穿在數學分析學習的始終。例如求導數、積分、級數都是建立在極限概念之上的，所以我們要培養極限思想，首先，我們應該學會計算極限問題。我國古代，數學家劉徽首創割圓術，便是首次在解決問題中運用了極限

9、思想。所謂割圓術就是不斷地增加圓內接多邊形的邊數來求得圓周率。即“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割”。極限思想從產生、發展到完善經歷了很長時間的歷史過程。到了19世紀時，法國數學家柯西通過總結前人的成果的基礎上，才比較完整的闡述了極限的概念與理論。他在分析教程中指出：“當一個變量逐次所取的值無限趨于一個定值，最終使變量的值和該定值之差要多小有多小，這個定值就叫做所有其他值的極限值，特別地，當一個變量的數值（絕對值）無限地減小使之收斂到極限0，就說這個變量成為無窮小”。極限的概念與理論為后人研究極限提供了更好的基礎。本文，筆者將對常用的求極限的方法進行總結，并以例題形式加深了解。通過此

10、種方式，使讀者掌握求極限的方法和技巧。 1 極限相關的概念1極限的概念對于求極限問題是基礎，我們要從基本概念出發，要清晰的明確極限問題，才可以更深入的解決極限問題，所以，首先我們要了解掌握相關的概念。1.1 數列極限定義1.1設是一給定數列，是一個實常數。如果對于任意給定的，可以找到正整數，使得當時，成立，則稱數列收斂于（或是數列的極限），記為，有時也記為（）。如果不存在實數，使收斂于，則稱數列發散。性質：（1）極限的唯一性：收斂數列的極限必唯一。（2）數列的有界性：一個數列，若既有上界又有下界，則稱之為有界數列。（3）數列極限運算法則：設，則 ； ； （為常數）； （）。（4）保序性：若，且

11、，則，有。（5）夾逼定理：設有三個數列，若（），且，則。（6）單調有界準則：單調增加（減少）有上（下）界的數列必有極限。1.2 函數極限定義1.2設函數在點的某個去心鄰域中有定義，即存在，使。如果實數A，對于任意給定的，可以找到，使得當時，成立，則稱A是函數在點的極限，記為，或如果不存在具有上述性質的實數A，則稱函數在點的極限不存在。性質：（1） 極限的唯一性：設A與B都是函數在點的極限，則A=B。（2） 局部保序性：若，且A>B，則存在，當時，成立。（3） 夾逼性：若存在，使得當時，成立,且，則。（4） 函數極限的四則運算：設，則（，是常數）；（）.1.3 函數極限和數列極限的關系He

12、ine定理：的充分必要條件是：對于任意滿足條件，且（）的數列，相應的函數值數列成立。2 求極限的常用方法2.1 極限的四則運算法則運用極限的四則運算法則求極限是在數學分析中一種常見且簡單的運算方法。要運用極限的四則運算法則進行求極限，首先，我們要確定兩個數列極限或函數極限分別存在，然后，我們才可以根據運算法則的具體內容要求進行下一步計算，最終，求得數列極限或函數極限，下面，我們將根據給出的例題來進一步掌握這種方法。例2.1 求下列數列極限（1）；（2）；（3）；（4）。解析：（1）=；（2）；（3）；（4）。以上例題對應數列極限運算法則可一一求出，需要注意的是使用數列極限運算法則時，要求是各部

13、分極限必須存在。例2.2 求下列函數極限（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解析：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。根據四則運算求函數極限，可以解出以上例題。需要注意的是解題過程中要運用分子（分母）有理化法（與分子分母同除以的最高次冪相結合）。用過運用極限的四則運算法則，我們可以把一個極限問題，拆分成兩個極限同時存在，并在這兩個極限中做運算。這樣做，可以讓一些看起來復雜繁瑣的求極限問題變得清晰明了，學生可以通過多次練習，學會拆分。2.2 兩個重要極限殷紅燕2在兩個重要極限公式求特定類型的極限的方法一文中說道，“對于一般的極限，利用一些常用的極限公式以及極限的運算法則一般都很容易求得結

14、果。但對一些、等未定式的極限，在學生還未學到洛必達法則時，學生還往往不知如何入手。”那么，此時，這些特殊形式的未定式，我們便可以利用兩個重要極限去求。兩個重要極限分別是和。下面我們通過例題可以進一步的理解兩個重要極限的作用。例2.3 求下列極限。（1）；（2）；（3）；（4）。解析：（1）；（2）；（3）； （4）。使用的時候需要注意的是它的類型屬于型，可以推廣成，條件是時，其中可為有限值，也可為。例2.4 求下列極限。（1）；（2）；（3）；（4）。解析：（1）因為，且，所以有；（2）因為，且，所以有；（3）；（4）。使用的時候需要注意的是它的類型屬于型，可以推廣成，條件是當時，其中可為有限

15、值，也可為。2.3 用函數的連續性求極限首先，我們應該知道連續函數的定義：設函數在點的某個鄰域中有定義，并且成立，則稱函數在點連續，而稱是函數的連續點。其次，由此可知，連續函數在某點的極限就是函數值，從而利用函數的連續性直接求解極限3。下面我們通過例題進一步了解。例2.5 求下列函數極限（1）；（2）；（3）；（4）。解析：（1）；（2）；（3）；（4）。注意：用函數連續性求函數極限時，要注意分母不可以為零，并且分子分母要進行約分，如上述例題中（1）、（2），約分后繼續計算。 2.4 等價無窮小代換等價無窮小量定義：若，稱當時，與是等價無窮小量，記為 。重要的等價無窮?。海ǎǎ?。例2.6

16、 求下列極限。（1） ；（2） 。解析：（1） ； （2）。注意：等價無窮小一般只能在乘除中替換，在加減中替換有時會出錯（加減中可以整體替換，不能單獨替換）。比如例題6（2），若解成，當時，則得到，顯然這種解法是錯誤的。2.5 洛必達法則洛必達法則是由法國著名數學家洛必達在其著作闡述曲線的無窮小分析中提出來的法則，所以以他的名字來命名。洛必達法則是指：在一定條件下，分子分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法。在夏濱4的利用洛必達法則求極限的方法與技巧探討中，指出“兩個無窮小量或兩個無窮大量之比在給定的極限過程中，隨著這些無窮小量或無窮大量類型不同，可以有完全不同的變化狀態，這種類型稱為未定式

17、”。我們通過例題進一步了解洛必達法則以及掌握使用中應該注意的問題。例2.7 用洛必達法則求下列函數極限。（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。解析：（1）； （2）； （3）； （4）。注意：應用洛必達法則求函數極限時，應滿足型或型，其他形式通過一定的變換得到型或型也可。洛必達法則常常與等價無窮小結合來求函數極限，這樣可以避免多次運用洛必達法則的繁瑣，使極限更容易得出。例2.8 求的極限。解析：設，當時，注意：用洛必達法則不可以直接求數列極限，需要把數列極限轉換成函數極限，并且符合運用洛必達法則的條件。由例題8我們可知，求極限可以多種方法結合，此題中就結合了重要極限，等價無窮小代換和洛必達法

18、則。2.6 根據定積分的定義求極限定積分的概念與性質：，。利用定積分求極限的步驟：（1）尋找被積函數；（2）確定被積的上下限；（3）確定函數表達式。例2.9 求的值。解析：從題目可以看出無法直接運用積分思想，所以運用（）得到注意：此種類型題，不能直接求出極限，但可以觀察是否可以轉換成定積分形式，然后利用定積分定義求解，從求數列極限變成求定積分問題，需要注意的是求解過程過長，需要仔細認真的計算每一步驟，防止最后計算結果出現錯誤。2.7 利用泰勒公式求極限泰勒公式：皮亞諾形式余項：帶有皮亞諾形式余項的麥克勞林公式：麥克勞林（帶有皮亞諾余項的）公式：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；

19、（6） 。例2.10 （1）； （2）；解析：（1） ， （2）， 注意：求極限時，好多時候符合洛必達法則，但是使用起來會出現無限求導的情況，得不到答案，所以，此時我們因該考慮用泰勒展開式來求解，或者直接套用麥克勞林公式結合等價無窮小來進行計算。2.8 利用極限存在準則求數列極限極限存在的兩個重要準則：（1） 單調有界準則；（2） 夾逼準則。 例2.11 求下列數列極限（1）；（2），其中（）。解析：（1）因為，并且，由夾逼定理可知。 （2）設，由夾逼定理可知。例2.12 利用單調有界準則證明下列數列收斂，并求極限。（1） ，（）；（2） ，且（）。解析：（1） ，故單調遞減且有下界； 由單調

20、有界原理知極限存在，設極限為A，對兩邊求極限并結合解得。（2），所以單調遞增。又因為，有上界，所以有極限。設，因為，所以。，等式兩邊取極限由平均值不等式：等號當且僅當，也就是時成立，所以。2.9 拉格朗日中值定理求極限拉格朗日中值定理：如果函數滿足（1）在閉區間上連續；（2）在開區間內可導，那么在內至少有一點（）使得成立。例2.13 求下列極限（1） ；解析：（1）此題可用洛必達法則計算，在這里不做過多贅述。此題還可用拉格朗日中值定理進行計算，過程如下：設，有在連續，在內可導，根據拉格朗日中值定理，則存在， ，當時，則，由介值定理，則 .3 求極限的小技巧 極限的求法中，除了常見的求法之外，還

21、有一些可以應用的小技巧，使極限問題變得簡單，方便。3.1 有界函數與一個無窮小量的積仍為無窮小量無窮小量的性質：（1）有限個無窮小量代數和仍未無窮小量；（2）有限個無窮小之積仍未無窮小量；（3）有界函數與無窮小之積為無窮小量；（4）常數與無窮小量之積仍未無窮小量（5）恒不為零的無窮小量的倒數為無窮大量，無窮大的倒數為無窮小。根據無窮小量的性質（3），我們可以計算函數極限。例3.1 求。解析：3.2 換元法 在計算極限時，換元法是一種很重要的技巧，掌握并且靈活使用換元法會使計算過程更加簡單。 例3.2 求。 解法一： 解法二： 設，當時，則 通過上面的例題的兩種解法，我們可以看出，傳統的解法一是通過對復合函數求導，不僅過程繁瑣還容易出錯。而解法二通過換元，把三角函數轉化成我們熟悉的初等函數，降低了計算過程的難度。所以掌握換元法，根據題目，靈活運用，可以給解題帶來方便。3.3 數列極限轉化成函數極限在計算數列極限時，我們可以把數列看作是函數的一種，即數列是特殊的函數，也就是以n為自變量，正整數為定義域的函數。理解這一點，我們可以更好的處理數列極限和函數極限的關系。這也是我們所說的Heine定理的解釋。下面通過例題，讓我們更好的理解如何把數列極限轉化成函