1、課 程 論 文題 目大學數學實驗課程論文學 院數學與統計學院專 業數學與金融工程班 級2010級數學與金融工程實驗班學生姓名及學號唐洪玉2010101144郭益敏2010102131羅文雯2010101142王葒玥2010101131指導教師李煥榮職 稱副教授2012年12月17日實驗3 插值與數值積分P66第11題如圖是歐洲一個國家的地圖，為了計算它的國土面積，首先對地圖作如下測量：以由西向東的方向為x軸，由南到北的方向為y軸，選擇方便的原點，并將從最西邊界點到最東邊界點在x軸上的區間適當地劃分為若干段，在每個分點的y方向測出南邊界點和北邊界點的y坐標y1和y2，這樣得到下表的數據（單位：m

2、m）.圖1 地圖根據地圖的比例我們知道18mm相當于40km，試由測量數據計算該國國土的近似面積，與它的精確值41288做比較.表1 地圖邊界點數據x7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 y144 45 47 50 50 38 30 30 34 y244 59 70 72 93 100 110 110 110 x61.0 68.5 76.5 80.5 91.0 96.0 101.0 104.0 106.5 y136 34 41 45 46 43 37 33 28 y2117 118 116 118 118 121 124 121 121 x11

3、1.5 118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0 y132 65 55 54 52 50 6666 68 y2121 122 116 83 81 82 8685 68 問題分析 對于這樣面積的估計，求解的方法有多種，如可利用網絡分割的方法進行估算，即將地圖按橫豎均勻分成若干矩形，先統計出邊界內部的規則矩形的數量，再對包含邊界的每個小矩形作更小矩形的分割，經過幾次分割并統計各次股則矩形的數量，即可得到總面積的估計.模型建立 將該地圖圖形放到坐標系中，如圖1所示，由（7.0，44）點（表1中給出）開始測量邊界的坐標點.本題可利用梯形求積公式和t

4、rapz命令來計算該國土面積.模型求解 編程如下：clearx0=7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 61.0 68.5 76.5 80.5 91.0 . 96.0 101.0 104.0 106.5 111.5 118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0;y0=44 45 47 50 50 38 30 30 34 36 34 41 45 46 43 . 37 33 28 32 65 55 54 52 50 66 66 68;y1=44 59 70 72 93 100 110 110 110

5、 117 118 116 . 118 118 121 124 121 121 121 122 116 83 81 82 86 85 68;hold onplot(x0,y0,'k',x0,y1,'r');hold offz1=trapz(x0,y0);z2=trapz(x0,y1);z=(z2-z1)*(40/18)2z = 4.2414e+004輸出圖形為：輸出國土面積計算結果為4.2414e+004.用如下程序計算面積：clearx0=7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 61.0 68.5 76.5 80.

6、5 91.0 . 96.0 101.0 104.0 106.5 111.5 118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0 . 158.0 157.0 150.0 146.0 142.0 136.5 123.5 118.0 111.5 106.5 104.0 101.0 96.0 . 91.0 80.5 76.5 68.5 61.0 56.0 48.0 44.5 40.5 34.0 17.5 13.0 10.5 7.0;y0=44 45 47 50 50 38 30 30 34 36 34 41 45 46 43 . 37 33 28 32 65

7、 55 54 52 50 66 66 68 68 85 86 82 81 83 116 . 122 121 121 121 124 121 118 118 116 118 117 110 110 110 100 93 72 70 59 44;z=abs(trapz(x0,y0)*(40/18)2)z = 4.2414e+004輸出結果也為 4.2414e+004，則這就是該國國土的近似面積.結果分析 運用這兩種程序國土面積計算結果均為4.2414e+004，與精確值41288相比，相對誤差為（42414-41288）/412882.73%.總結 經查閱相關資料，這個歐洲國家是瑞士。題目給出的精

8、確值41288是精確的瑞士國土面積，必然與程序估算的結果有一定偏差，但是我們運用Matlab編程運算可以得出該國土的近似面積.這能使我們更加了解自己國家或他國面積.實驗5 線性代數方程組的數值解法P111 第5題設國民經濟由農業、制造業、和服務業三個部門構成,已知某年它們之間的投入產出關系、外部需求、初始投入等如表5.6所示. 表5.6 國民經濟三個部門之間的投入產出表 單位:億元投入 產出產出農業制造業服務業外部需求總產出農造業301045115200服務業2060070150初始投入3511075總投入100200150根據表5.6回答下列問題:（1） 如果今年對

9、農業、制造業、和服務業的外部需求分別為50,150,100億元,問這三個部門的總產出分別應為多少？（2） 如果三個部門地外部需求分別增加1個單位,問它們的總產出應分別增加多少?模型及求解 設有個部門,記一定時期內第個部門地總產出為,其中對第個部門的投入為,外部需求為,則, . (1)表5.6的每一行都滿足(1)式.根據直接消耗系數的定義有, , (2)注意到每個部門的總產出等于總投入,所以可將(2)式中的視為第列的總投入.由(1)式,(2)式得,. (3)記直接消耗系數矩陣,產出向量,需求向量,則(3)式可寫作, (4)或, (5)其中是單位矩陣.(1) 如果今年對農業、制造業、和服務業的外部

10、需求分別為50,150,100億元,問這三個部門的總產出.編制以下以下程序解方程組(5):clearclcB= 15 20 30; 30 10 45; 20 60 0;A=B(:,1)/100 B(:,2)/200 B(:,3)/150%直接消耗系數矩陣Ad=50;150;100; %輸出外部需求dC=eye(3)-Ax=Cd輸出結果:A = 0.1500 0.1000 0.2000 0.3000 0.0500 0.3000 0.2000 0.3000 0C = 0.8500 -0.1000 -0.2000 -0.3000 0.9500 -0.3000 -0.2000 -0.3000 1.00

11、00x = 139.2801 267.6056 208.1377即3個部門地總產出分別為139.2801 , 267.6056 ,208.1377億元.（2） 如果三個部門地外部需求分別增加1個單位,問它們的總產出.編程得:clearclcB= 15 20 30; 30 10 45; 20 60 0;A=B(:,1)/100 B(:,2)/200 B(:,3)/150;%直接消耗系數矩陣Ad=50;150;100; %輸出外部需求dC=eye(3)-A;x=Cd;dx=inv(C)輸出結果得:dx = 1.3459 0.2504 0.3443 0.5634 1.2676 0.49300.438

12、2 0.4304 1.2167結果分析 即如果三個部門地外部需求分別增加1個單位,問它們的總產出分別增加1.3459 , 0.5634,0.4382個單位.總結 根據這道題的建立與求解，我們可以解決多種類似的問題，在一個工廠的各個生產部門之間，已知各自的內部需求或者對外投入，即可知道該工廠的總產出與總投入。從而使工廠對自己的預期收益有更好規劃。實驗6 非線性方程求解P 137 第3題（1）小張夫婦以按揭方式貸款買了1套價值20萬元的房子，首付了5萬元，每月還款1000元，15年還清。問貸款利率是多少？（2）某人欲貸款50萬元購房，他咨詢了兩家銀行，第一家銀行開出的條件是每月還4500元，15年

13、還清；第二家銀行開出的條件是每年還45000元，20年還清。從利率方面看，哪家銀行較優惠（簡單地假設年利率=月利率*12）問題分析 （1）隨著小張夫婦每月還款1000元，欠款減少為上個月的欠款數附帶利率再扣除1000元。這是一個迭代關系式，根據迭代關系式確定15年末應還款數的整個方程，方程中未知數為貸款利率，通過求解非線性方程即可解出貸款月利率。（2）該問與上題類似，第一小問可以解出貸款月利率，第二小問可以求解出年利率，簡單地假設年利率=月利率×12，通過比較二者的年利率的大小，可以確定哪家銀行較優惠。模型建立 （1）設第n個月末欠款為,扣除首付5萬元，首月欠款=15萬元，每月應還款

14、b=1000元，月利率為r，第n年末欠款為。第一個月： 月末欠款第二個月： 月末欠款；以此類推，第n個月： 月末欠款； 可得遞推關系式為：;整理得：;由此得第n年年末欠款.（2）由于不用考慮首付，故首月的欠款=50萬元，第一問最后方程表達式與（1）相同，第二問最后方程表達式與（1）類似。模型求解 由于方程為非線性方程，故使用fzero命令求解。因為（1）與（2）的第一問的方程表達式完全相同，所以函數文件中僅分為兩種情況討論即可。用matlab編程計算，源程序如下所示：function y=loan(r,n,a0,b,p) if p=0 y=a0*(1+r)(12*n)-b*(1+r)(12*n

15、)-1)/r;else y=a0*(1+r)n-b*(1+r)n-1)/r;endclear alln=15;a0=150000;b=1000;p=0;r1=fzero(loan,0.5,n,a0,b,p)n=15;a0=500000;b=4500;p=0;r2=12*fzero(loan,0.5,n,a0,b,p)n=20;a0=500000;b=45000;p=1;r3=fzero(loan,1,n,a0,b,p)程序運行結果：r1 = 0.0021r2 = 0.0702r3 = 0.0639結果分析 (1)小張夫婦以按揭方式貸款買房子的貸款利率是0.21%;（2）第一家銀行的年利率為7.

16、02%，第二家銀行的年利率為6.39%，因為7.02%>6.39%,所以第二家銀行更優惠。總結 本題對于現實生活具有高度的指導意義。通過以上的分析可以看到，在生活中會遇到很多跟利率相關的問題，比如外匯兌換，存款，貸款，保險等，不同的銀行往往會給出不同的利率或優惠方案吸引客戶，作為學習過數學實驗的客戶，我們應該分析不同方式下的利率等問題，使我們的利益更大，開支最小。實驗7 無約束優化教材P171頁第7題 經濟學中著名的Cobb-Douglas生產函數的一般形式為 ， 其中Q，K，L，分別表示產值、資金、勞動力，式中要由經濟統計數據確定.現有中國統計年鑒（2003）給出的統計數據如下表所示，

17、請分別用線性和非線性最小二乘擬合求出式中的，并解釋的含義.表1年份總產值/萬億元資金/萬億元勞動力/億人19840.71710.09104.817919850.89640.25434.987319861.02020.31215.128219871.19620.37925.278319881.49280.47545.433419891.69090.44105.532919901.85480.45176.474919912.16180.55956.549119922.66380.80806.615219933.46341.30726.680819944.67591.70426.745519955.

18、84782.00196.806519966.78852.29146.89519977.44632.49416.98219987.83452.84067.063719998.20682.98547.139420009.94683.29187.208520019.73153.73147.3025200210.47914.35007.374其中總產值取自“國內生產總值”，資金取自“固定資產投資”，勞動力取自“就業人員”。模型及求解 （1）首先，我們從線性最小二乘法的角度來分析本題并得出結果。由題目中給出的Cobb-Douglas生產函數隨K（資本）、L（勞動力）按指數上升的函數關系： （1）其中為待

19、定系數.要想從線性最小二乘的角度來分析本題，首先應該將方程轉化為線性方程。因此，對（1）兩邊取對數，則它可以被改寫成： （2）記 ， ， ，則上述方程可寫作成 （3）令，則在約束條件下求解該超定方程組。然后我們利用Matlab軟件編寫如下程序：Q=0.7171 0.8964 1.0202 1.1962 1.4928 1.6909 1.8548. 2.1618 2.6638 3.4634 4.6759 5.8478 6.7885 7.4463. 7.8345 8.2068 9.9468 9.7315 10.4791;K=0.0910 0.2543 0.3121 0.3792 0.4754 0.4

20、410 0.4517. 0.5595 0.8080 1.3072 1.7042 2.0019 2.2914 2.4941 . 2.8406 2.9854 3.2918 3.7314 4.3500;L=4.8179 4.9873 5.1282 5.2783 5.4334 5.5329 6.4749. 6.5491 6.6152 6.6808 6.7455 6.8065 6.8950 6.9820. 7.0637 7.1394 7.2085 7.3025 7.3740;B=log(Q)'A1=ones(19,1);A2=log(K)'A3=log(L)'A=A1,A2,A3

21、;x=lsqlin(A,B,0,0',1,1');a=exp(x(1)alpha=x(2)beta=x(3)運行結果為：a = 1.0014alpha = 0.7352beta = 0.6395即，.（2）其次，我們將從非線性最小二乘求解的角度來分析。由于題目中已經給出了Cobb-Douglas生產函數的一般形式， （4）因此可以直接使用該函數關系，令，建立非線性最小二乘擬合模型 （5）其中Q為總產值（萬億元），K為資金（萬億元），L為勞動力（億人），為需要計算的值，且.然后我們再根據題目中的數據，利用Matlab軟件進行非線性最小二乘擬合處理.首先，建立cobbdouglas.m函數文件：function Q=cobbdouglas(x,A)Q=x(1).*(V(1,:).x(2).*(V(2,:).x(3);然后，寫入腳本文件：Q=0.7171 0.8964 1.0202 1.1962 1.4928 1.6909 1.8548. 2.1618 2.6638 3.4634 4.6759 5.8478 6.7885 7.4463. 7.8345 8.2068 9.9468 9.7315 10.4791;K=0.0910 0.2543 0.3121 0.3792 0.4754 0.4410 0.4517. 0.55