1、福建省師范大學附屬中學2020屆高三數學上學期期中試題 理試卷說明：(1)本卷共三大題，22小題，解答寫在答卷的指定位置上，考試結束后，只交答卷。(2)考試過程中不得使用計算器或具有計算功能的電子設備。第I卷(選擇題，共 60分)一、選擇題：每小題 5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1 .已知集合 A x| 1, x 10,集合 B x|lg x, 1,則 AI BA. x| 1 x 10B. x| 1 x 10 C. x|0 x 10D. x|0 x 10r r r rr r rr r2 .若非零向量a, b滿足|a| |b| ,向量2a b與b垂直，則

2、a與b的夾角為A. 150B, 120C. 60D. 30°0.213 .已知a 2 b c 2log52 ,則a，b，c的大小關系為 2A. bacB. cabC.cba D. bca4 .周髀算經中有這樣一個問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣其日影長依次成等差數列，冬至、立春、春分日影長之和為 31.5 ,前九個節氣日影長之和為85.5尺，則芒種日影長為A. 1.5 尺B, 2.5 尺C, 3.5 尺D. 4.5 尺5 .設an是首項為正數的等比數列，公比為 q,則“ q 0”是”對任意的正整數 na2n 1a2n0

3、 的A.充要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件6 .若 sin aA.3B.C.47.己知某函數圖象如圖所示,則此函數的解析式可能是e” 1A. f (x) x sin x e 1B. f(x)xexesin xxe 1C. f (x)xcosxe 1D. f(x)x1 ex x1 ecosx8. 17世紀德國著名的天文學家開普勒曾經這樣說過:“幾何學里有兩件寶，一個是勾股定理,另一個是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認為的三角形，它是一個頂角為36的等腰三角形（另一種

4、是頂角為 108的等腰三角形）.例如，五角星由五個黃金三角形與一個正五邊形組成,如圖所示,在其中一個黃金 ABC中，型 YL.根據這AC些信息，可得sin234B.C.D.4 .5829.若x, y滿足約束條件2y3y目標函數z ax y僅在點（2, 0）處取得最小值,則實數a的取值范圍是2x/ 1 、/ 1、B. (- - ,0) U (0,)c 1 1D- ( 3,2)3uuv uuvuuu10 .已知平面向量PA,PB滿足PAB. ,3uuuuuv uuvPB 1,PA PBC.2 111 .已知函數 f2 x cos2.3 .sin2內沒有零點，則的取值范圍是A。0,12B.0,152

5、5 11,6 12C.12 .設函數f2 xax +e (圍是八eA.e,一2B.uuvBC 1 ,則D.0,x R).若函數f0,5D.a R）有且僅有兩個極值點為，x2（ x1c. e,（非選擇題，共 90分）uuvAC的最大值x在區間0,1；x2）,則實數,21112a的取值范ceD.e,一213.邊界在直線x e,y x及曲線y二、填空題：每小題 5分，共20分.1 ,一上的封閉的圖形的面積為x14 . 16至17世紀之交，隨著天文、航海、工程、貿易以及軍事的發展，改進數字計算方法成了當務之急，約翰 納皮爾正是在研究天文學的過程中，為了簡化其中的計算而發明了對數.后來數學家歐拉發現了對

6、數與指數的關系，即ab = Nb=logaN .現在已知2a=3, 3b=4 ,則ab15 .海洋藍洞是地球罕見的自然地理現象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產” 我國擁有世界上最深的海洋藍洞.現要測量如圖所示的藍洞的口徑A, B兩點間的距離，在珊瑚群島上取兩點C , D ,測得 CD 80, ADB 135 , BDC DCA 15 ,ACB 120 ,則A, B兩點的距離為 .216 .已知數列an的前n項和為Sn （ n N ）,且滿足Sn Sn 1 2n n ,若對-.*， - bn N ,an an 1恒成立，則首項a1的取值范圍是 .721題為必考題,三、解答題：共70分

7、。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求少 （一）必考題：共60分。,6一 一b ， sin B V6sinC .617. (12 分) 已知4ABC的內角A B, C的對邊分別為a, b, c,滿足a c(1)求cos A的值;花(2)求 sin 2A 一 的值.618. （12 分）已知數列 an的前n項和為Sn, 2Snn 2 an 1 .（1）求數列 an的通項公式；1*（2）設bn-2n N ,數列bn的刖n項和為Tn ,證明：Tn1 .4an19. (12分)如圖，在 ABC中，角A, B,C的對邊分別為a,b,c ,

8、 a b sinC cosC .(1)求角b的大小；(2)若a ,D為 ABC外一點，db 2,DC 1，求四邊形 ABDC面積的最大值 220. (12 分)已知數列an滿足：2n 1ai 2n 2a2 L2an i an n, n N *(1)求數列an的通項公式;若數列bn滿足：b1 1 , bn 1 bn2n an ,求數列bn的通項公式21. (12 分)1 2已知函數 f(x) -x (a 1)x a In x, a R.2(1)討論f(x)的單調性；(2)當a 0時，記f(x)的最小值為M ,證明：M1315(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，

9、則按所做的第一題計分。22.選彳4-4:坐標系與參數方程(10分) x1 t cos一在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為(t為參數，0),以坐標y 2 tsin原點為極點，以x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為26 cos 8 sin 21 0,已知直線l與曲線C交于不同的兩點 A, B.(1)求直線l的普通方程和曲線 C的直角坐標方程；.、一22(2)設P(1 , 2),求PA PB的取值范圍.23.選彳4-5:不等式選講(10分)已知函數f (x) x 1 x 3 .(1)解不等式f(x), x 1 ；2 h2(2)設函數f(x)的最小值為c,實數ab滿足a 0

10、, b 0 , a b c,求證：_a_1.a 1 b 1評分標準、選擇題:題號123456789101112答案CBCBCCACADDB、填空題:e 31313. 14.215.807516.( )24, 4三、解答題：17.解：(1) . sinBJ6sinC.由正弦定理得，b J6c, 2分-6-b,a=2c,64分,由余弦定理知,cosAb22226c c 4c(2)二.由(1)2bc_3_2 /64知，cosAq.A為三角形內角，2：10sinA V1 cos A ,415 .sin2A=,42 一 . 2cos2A= cos2A - sin A - 9 分4sin 2A = sin

11、2Acos cos2A sin 3ds666812分18.解：因為2s n 2 an 1所以當n 1時，2G3al 1,得 a1=1.當 n 2 時，2Sn 1 n 1 an 1 1 -得，2an (n 2)an (n 1)an 1 3分an 1 nanan 1a3 a2一 an a1an 1 an 2a2 a1, n 1a1二1符合上式.故an 2n_J212分 Tn BD DCsinD 219.解:(1)在ABCsinCcosC . . sinA sinBsinCcosC ,sin B CsinBsinC cosCcosBsinCsinBsinC, sinCcosB sinB ,即 tan

12、B 1 , B 0,(2)在 BCD 中，BD2,DC1,BC212 22 2 1 2cosD4cosD則ABC為等腰直角三角形,S ABC11-BC - BC225 cosD, 4又 S BDCsinDSABDC5 cosD sinD 45 . 2sin D411分時，四邊形ABCD的面積最大值,最大值為-2412分20.解：(1) n 1 時 a11n 12 a1-n 22 a22an 1 an n d-n 22 a1-n 32 a2-2x anai 1滿足上式,故anbi bn1 bn_1bn1 1 221.2nb2 b3bib2bnbn 1222223-得bn1滿足上式，故bn(1)所

13、以當a因為fx+ a0時,的定義域為當a<0時，若0<x< a時,若 x> a時，f x >0, f綜上，當a 0時，f x當a<0時，f x在0,(2)當 a<0 時,1)f x minx In22 12n 5.0,在0,<0,a,21222n 1累加整理n 2n4 n 2n 5 n 212分f x在0, a單調遞減;在0, 單調遞增;a上單調遞減，在知,2.a aln a,x< 0，則 h x單調遞增.a,單調遞增.1 x八 一<0,xx所以h x在 ,0單調遞減,1 ，一 -1<0,所以存在 eX01e,使得hXoXoln

14、Xo0,所以當,Xo時,>0,g X單調遞增;Xo,0時，g<0,單調遞減;所以當X X0 時，g取得最大值,因為12X0X0X°lnX012一X0X022X012X0X0X01、,e-單調遞減,e所以x<1213 一13,所以g15X013< 一,15因此當a<0時,X min13 一，即15s 13M1512分22.解：(1)因為tcostsin所以Xsinsint cos sinycos2cost sin cos,兩式相減可得直線l的普通方程為Xsinycossin2cos0.因為x cossin所以曲線C的直角坐標方程x22y 6x 8y 21(

15、2)將直線l的參數方程代入曲線 C的直角坐標方程,整理得關于t的方程：t2 4(sin cos )t 4 0.因為直線l與曲線C有兩個不同的交點，所以上述方程有兩個不同的解，設為t1, t2，則 t1 t24(sin cos ),付2 4.5分并且 16(sin cos )2 16 32sin cos 0,注意到0，解得0-. 6分因為直線l的參數方程為標準形式，所以根據參數t的幾何意義，有 PA|2 |PB |2 ti2 t22(ti t2)2 2tit216(sin cos )2 816sin2 8, 8分因為 0 萬，所以 sin 2(0,1,16sin 28 (8,24.因此|PA|2 |PB|2的取值范圍是(8,24 10分23.解：當xcl時，不等式可化為 4 2