1、平面向量題型分類r 2 一 一 ，一.b2是求向量的模常用的題型一：向量模的求法方法一r/ft利用| a | Va求解使用背景一般沒有坐標背景.解題步驟r/ft直接代入公式|a | Qa化簡即可.r r r r r _ r r r【例1】設向量a, b滿足|a| 1,|a b| 73, a (a b)r r0 ,求12a b|【點評】公式 |a b . (a b)2 a2ago b a 2 |a |b | cos公式，在利用該公式求解時，要先求出其它基本量，再代入公式r r r r r r【變式1】已知向量a,b滿足|a| 2,|b| 1,|a b| 2.(1)求a b的值；(2)求|a b|

2、的值.方法二利用r aJx2 y2求解使用背景一般有坐標背景.解題步驟r先求a的坐標，再代入公式r aJx2 y2即可.rr【例2】已知向量a (sin ,1),b (1,cos工一一224 r r, r ,r ,一，(i)若a b,求；(n)求a b的最大值.【變式2】已知直角梯形ABCD，ADBC，ADC 900，AD 2, BC 1,p是腰DC上的動點, urnuur則PA 3PB的最小值為.題型二：向量夾角的求法方法一r r利用公式cos a,bur a( 彳i 力 1-求解.使用情景一般沒有坐標背景.解題步驟r r r r先求a案, | a |,|b |,再代入公式cosr ra,b

3、 -uu r ago r r allb求解.rrru r r r r r r【例 1】已知 x a b, y 2a b,且 |a| |b| 1,a b.rirr u(1)求| x |和| y | ； (2)求x, y夾角的余弦值.【變式1】已知a, b都是非零向量，且 a 3b與7arr r rr r5b垂直，a 4b與7a 2b垂直，求a與b的夾角.方法二利用公式cos； X1X2 y1y2求解./ 22/227x y1& y使用情景一般有坐標背景.解題步驟先求出a,b的坐標，再代入公式 cosj x12 yy 求解./ 22 J 22Vx1 y vx2 y2)的圖像與y軸交于點(0,1).

4、【例2】 如圖，函數y 2sin( x ), x R (其中0(I)求 的值;(n)設P是圖像上的最高點， M、N是圖像與x軸的交點,uuuu ULLTPM與PN的夾角的余弦.r r _ r r _【變式2】已知|a| 1,|b|邪,a b (邪,1),rr rr rr(1)試求|ab|;(2)ab與ab的夾角.題型三：向量位置關系問題的解法方法一利用兩個向重平仃或垂直的充要條件(沒有坐標目景)使用情景已知條件沒有涉及坐標.解題步驟r r r r r r直接證明b a (a 0)或a(b 0【例1】 設兩非零向量a和b不共線，如果 AB=a + b,CD=3(ab), BC 2a 8b, 求證

5、：A、B、D三點共線.【變式1】設5、b是兩個不共線的非零向量(t R)(1)記OA a,OB tb,OC La b),那么當實數t為何值時，A、B、C三點共線?3 若|a| |b| 1且Wb夾角為120 ,那么實數x為何值時|a xb|的值最小？【例2】已知PQ過三角形OAB的重心G,且P、Q分別在OA、OB上，設uur uuu uur uuu11OP mOA,OQ mOB, m、n R,則, ,的值為. n m【變式2】如圖，在平行四邊形 ABCD中，M、N分別是AB、AD上的點，且uuur 3 uuu uuir 2 uuurunruuurAM -AB, AN AD,連接AC、MN交于點P

6、點，若AP AC ,則 的值為（）43A.617B.13C.37D.35方法二利用兩個向重平仃或垂直的充要條件(坐標背景)使用情景已知條件涉及坐標.解題步驟直接證明 x1y2 x2y10 或 x1x2y1y2 0.r【例3】已知a (1,2), b ( 3,2)，當k為何值時,r r r r(1) ka b 與 a 3b 垂直？r r(2) ka b與a 3 b平行？平行時它們是同向還是反向?uuuuuuumr【變式 3】已知向量 OA (3, 4),OB (6, 3),OC (5 m, (3 m).若點A、B、C不能構成三角形，求實數 m應滿足的條件；(2)若ABC為直角三角形，求實數 m的

7、值.題型四：數量積的運算方法一r r坐標公式agbx1x2y1y2求解使用情景已知中涉及了坐標或方便建立坐標系.解題步驟r rr r先求出對應向量 a,b的坐標，再代入公式 agb x1x2 y1y2計算.【例1】已知正方形 ABCD的邊長為2,點E是AB邊上的中點，則uur uurDE?DC的值為(A. 1B. 2C. 4D. 6【變式1】在ABC中，AB ACAB AC , AB2 , AC 1 , E、F為BC的三等分點，則uur uurAE AF =()A 8 B9109259269【例2】uuur r uuu等邊 ABC的邊長為1,記BC a,CAr uuub, ABr r r r r r rc,則a b b c c a等于方法二公式a - b=| a b cos求解使用情景一般沒用坐標，也不方便建立直角坐標系.解題步驟r rr r r r先分別計算出|a|,|b|,cos ,再代入公式a b=| a| b| cos求解.uuu r uuu uur 2OA 0 ,則 CA CBuur uur【變式2】ABC的外接圓半徑為1,圓心點為O, AB ACA. 3方法三基底法使用情景利用公式法，解題比較復雜 .解題步驟r r選定平面向量的基底 a,b,再用基底表示出未知的向量，再利用數量積公式解答uuuu 1 uuu 2 uuu【例3】若等