1、最新Word初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽 幾何專題：點(diǎn)共線問題（含答案）1. 銳角三角形 ABC中，BAC 45 , BE、CF是兩條高，H為 ABC的垂心，M、K分別是BC、 AH的中點(diǎn)證明：MK、EF和OH共點(diǎn)，這里 O為4ABC的外心.解析 如圖，由條件 BAE 45，可知4AEB和4AFC都是等腰直角三角形，而 O為AB、BC的中 垂線上的點(diǎn)，故 EO AB, FO AC,于是EO / CF , FO / BE ,從而四邊形EOFH為平行四邊形 故EF與OH的交點(diǎn)為EF的中點(diǎn).B另一方面， M、K為BC、AH的中點(diǎn)，結(jié)合直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可知11EM MF -BC , EK KF

2、AH .即四邊形EKFM為菱形，所以EF與KM的交點(diǎn)亦是EF的中點(diǎn). 22從而命題獲證.2 .四邊形SPNM與PFET都是正方形，且點(diǎn)S、P、T共線，點(diǎn)N、P、F共線，連結(jié)MT、SE , 點(diǎn)S在MT上的射影是點(diǎn) A,點(diǎn)T在SE上的射影是點(diǎn) B ,求證：點(diǎn) A、P、B共線.解析 設(shè)AB與ST交于點(diǎn)P ,又設(shè) ATSTSE.于是由 ASB ATB 180 ,有SPPTSZ ASBSa atbAS BS tanAT BTcotMS ST MS SPST TE TE PT即點(diǎn)P與點(diǎn)P重合.3 . 在矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別取異于頂點(diǎn)的 K、L、M、N ,已知KL / MN . 證明

3、KM與LN的交點(diǎn)O在矩形的對(duì)角線 BD上.解析連結(jié)OB、OD .因?yàn)镵L / MN , KM與LN相交于O ,所以aKLO s AMNO，可得旦 LO , KLO MNO . MN NO又因 BC / AD ,所以 BLO DNO,則 BLK DNM ;因此 RtABLK RtADNM . BL LKLO一一綜上， ，BLO DNO ,所以ABLOs DNO,可得 BOL DON ,即B、O、 DN NM NOD共線.4 .證明：如果一個(gè)梯形內(nèi)的 n ( 2)個(gè)點(diǎn)到梯形四邊距離之和相等，那么這n個(gè)點(diǎn)共線.解析 如圖，延長(zhǎng)梯形 ABCD的腰BA、CD交于點(diǎn)E .設(shè)P為這n個(gè)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)，過(guò) P作

4、一直線，交EB、EC于點(diǎn)G、H ,使得EGH為等腰三角形(EG EH ).Ed (X , YZ)表示點(diǎn)X到直線YZ的距離.結(jié)合EGEH ,可得 d(Q / EG) d(Q, EH) d(P , EG)設(shè)Q是這n個(gè)點(diǎn)中的另一個(gè)點(diǎn)，我們證明 Q在直線GH上.由條件Q到EG、EH的距離和等于P到EG、EH的距離和.若Q在四邊形AGHD內(nèi)，則& eqgSa eqh Sa egh ，從而 EG d(Q, EG) EHd(Q, EH) EG d(P , EG) EH (P, EH), 這里d(P, EH),矛盾.類似地，若 Q 在四邊形 BGHC 內(nèi)，貝U d(Q , EG) d(Q, EH) d

5、(P , EG) d(P, EH),亦矛盾.故Q在線段GH上.5 .設(shè)四邊形僅有一個(gè)內(nèi)角是直角，且兩對(duì)角線相等，則對(duì)邊中垂線交點(diǎn)與直角頂點(diǎn)共線解析 如圖，設(shè)四邊形ABCD中， B 90 ,作矩形ABCE,則BE AC BD ,又設(shè)BC的中垂線GP 與AD之中垂線FP交于P ,則易知PE PA PD ,于是B、P均在DE中垂線上.同理AB、CD中垂 線之交點(diǎn)也在DE中垂線上，故而結(jié)論成立.DB G C6 .等腰梯形ABCD中AB CD .將 ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，得一個(gè)新的4ABC.證明：線段AD、 BC和BC的中點(diǎn)共線.解析 如圖，設(shè)AD、BC、BC的中點(diǎn)分別為 X、Y、Z , W為CA的

6、中點(diǎn).并設(shè) ACA , ABC ,1 11則 ZW / AB , WX / CD ,且 ZW -AB -AB 1CD WX ,即 AXWZ 為等腰三角形，并且 XWZ2 22等于180減去A B與CD所成的角.注意到，(180) 2180_1_一 一一XZW -(180XWZ) 90 .于是22所以， XWZ 3602, 從而CZX XZW 90 -.2另一方面，YZ / BB ,而 1,一CBB (180) 90 ,故 CZY 90 -.222綜上， CZXCZY .故X、Y、Z共線.7. 直角三角形 ABC中，AB是斜邊，CH為斜邊上的高，以A為圓心、AC為半徑作OA.過(guò)B作OA 的割線，

7、交 0 A于點(diǎn)D和E ,交CH于點(diǎn)F （ D在B與F之間）.在。A上取一點(diǎn) G ,使得ABG ABD，且G與D不在AB的同一側(cè).證明：E、H、G三點(diǎn)共線.解析 延長(zhǎng)EH交OA于點(diǎn)G ,我們證明G與G重合，即證 GBA DBA.由 ACB 90知BC為OA的切線，故BC2 BD BE .再在Rt ABC中，CH為高，從而由身影定理可 知 BC2 BH BA,所以 BD BE BH BA,故 E、D、H、A 共圓，因此 EDA EHA BHG .注意到EA DA,故 EDA DEA DHB （這里再次用到 E、D、H、A共圓），結(jié)合前面的結(jié)果， 可知 BHD BHG .由圓的對(duì)稱性，即得HBG H

8、BD.8. 設(shè)銳角三角形 ABC, AD、BE、CF為高，H是垂心，M、N分別在BF、AE上，且 MHF NHE , 求證：BM、CN的中垂線之交點(diǎn)在 BC上.解析 如圖，若設(shè) BM、CN中垂線分別交 BC于K、K （ K、K在圖中未畫出），只要證明 BK CK BC,即知結(jié)論成立.由于BKBM2cosBCKABD CCN h BF CE,而2cosC 2cos B 2cosCBCBCBC,故只需證明BM2cosBCN2cosCBF2cosBCE - NE MF 或即可.2cosc cosC cosB由條件知MF FH AH sin BAD cosB 八 MFH s ANEH ,故 .結(jié)論證畢

9、.NE HE AH sin CAD cosC9. AABC的內(nèi)切圓切邊 AC、BC于點(diǎn)M、N ,直線l與該內(nèi)切圓切于劣弧 MN內(nèi)一點(diǎn)，l分別交NC、MC于點(diǎn)P、Q.T為AP與BQ的交點(diǎn).證明：T在線段MN上.CA Y B解析 設(shè)AP交MN于點(diǎn)T-zABC的內(nèi)切圓切l(wèi)與AB于點(diǎn)X、Y . AP交XY于點(diǎn)T2,先證：T1與T2重合.由正弦定理,PTisin CNMAT1sin AMN可知PNsin PTiNAMsin ATiM結(jié)合 PTi N一一 一，PT1AT1M , AMN 180 CMN 180 CNM ,可知一- ATiPN 一.同理可證:AMPT2 PXAT2 AY所以，由PX PN及A

10、M AY,可知PT1 P2,即Ti與T2重合.這表明AP過(guò)MN與XY的交點(diǎn).ATi AT2類似可知，BQ與MN與XY的交點(diǎn).所以，AP與BQ的交點(diǎn)在線段 MN上.10.在AABC中， A 90 , AB AC . D、E、F分別為邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，使得四邊形 AFDE為正方形.設(shè)1a為過(guò)A所作AABC的外接圓的切線.證明：BC、EF和1a三線共點(diǎn).解析 設(shè)Ia交直線BC于點(diǎn)G ,連GF延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E .只需證明E與E重合.記AABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c,而正方形AFDE的邊長(zhǎng)為x.則由DF 星，可知邑色，故AC AB b cbcx bc.由AG為ABC外接圓的切線,BAG CAG

11、C為公共角，故 4ABG s ACAG ,從而ABCABGAgAG 工曰, 于是GCGBGCBGAGAGGC2AGCA即居2acGB -22b cBD BCGDGcDFCA而CE11. AC、即CEac，故 GD c2 acacb cabcT22，b cGCGB b2GB 2 cab2二.所以b cDFCEb2b cbcb cb2b c.所以CECE重合，命題獲證BD均為圓的切線,AB是該圓的一條能弦， CD與圓交于點(diǎn)Q、P ,已知AP BP,點(diǎn)M易知題目無(wú)非是要證明QMA易知 SacmrSaACR，2Sa dmr21Sa cq AC2 Sabdr， CQ cp )DQRD2一 .、嗎，于是問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍笞CDPS ACRSABDRAC2 BDBD2 CP為AB中點(diǎn)，求證：點(diǎn) M、R、Q共線，這里R為AD與BC的交點(diǎn).解析連結(jié)MC、MR、MD,SacmrCQ.& DMRDQ& ACRARCRSa ARCS ACD