1、利用導數(shù)證明不等式的常用方法不等式論文：利用導數(shù)證明不等式的常用方法不等式的證明問題是中學數(shù)學教學的一個雄點I在中學 必修課本中只作了簡單介紹.而利用導數(shù)證明不等式思路清 晰、方法簡捷、操作性強，易被學生掌握.卜.而介紹如何構造 輔助函數(shù)證明不等式.一、作差構造函數(shù)證明不等式1例1】 當x0時,求證:尤-又220, Aff (x) V0. 故在(0,+8)上單調遞減.所以 xAO 時，f (k) Vf (0)=0,即 x-k22g(x)成立,通常構造輔助函數(shù) f(ij=f(x)-g0.例2當x-l時，證明不等式xl+xln(l+x)=Sx成 立.證明:作函數(shù) f(x)=xWxTn(l+x),有

2、 f * (x)=-x(l+x2. 當 x0 時，P (x)0：L3-ixo.所以 f(o)=o 是函數(shù) f(x)的 極大值也是最大值.故可知f(x)在X-1時,fG)WO.同理 可證-工在 QT gG)WO.綜上獲證.點評：構造輔助函數(shù)后，通常利用函數(shù)的單調性，極值、最值證明不等式成立.二、換元簡化后證明不等式【例 3】 若 xE (0, +8),求證：lx+1 Vlnx+lx0, Atl.則原不等式可轉化為l-ltlnt0,f (t)在(1, +E)上 為增函數(shù).故=0,即 t-llnt.令 g(t)=lnt-l+lt 則 g (t)=lt-lt2=t-lt2.同理可知當t (I, +8)

3、時，g(t)在(1, +)上為增函數(shù). 故g(t)g=0,即 lntl-lt.綜上可知，lx+1 Vlnx+lxVlx點評:若所證不等式比較復雜,可通過換元的思想轉化 為簡單的或熟悉的不等式，再進行證明.三、利用條件結構構造函數(shù)證明不等式【例 4】定義 y=log x+1f (x, y), x0, y0,若eVxVy,證明；f (x-1, y) f (y-1, x).證明:f (xT* y) =xy f (y-L, x) =yx.要證要xT, y) f (y-l x),只要證 xyyx.xyyx lnAXlnyy yliixxlny.令 h(x)=lnxx,則 h (x)=l-lnxx2,當

4、xe 時,hf (x) 0.，116)在十8)上單調遞減.*.*ex Ah(x) h.(y), E|J lnxxlnyy.不等式 f (x-1, y) f (y-1, x)成立.點評:此題構造的方式不是宜接作差或作商，而是根據(jù) 題目的特點，先用分離變量的方式將兩個變量分別變形到式 子的兩邊，再構造函數(shù).四、利用f(x) min g(x) max 證明不等式 例 5證明對一切 x (0,都在 liixlex-2ex成立.證明：問題等價于證明xlnxxex-2e xG (0, +).設 f (x) =xlnx, x (0, +8),則 f (x) =lnx+l, 易得f(x)的最小值為Te,當且僅

5、當x=le時取得. 設 g (x) =xex-2e, x (0, +8),則 g，(x) =l-xex, 易得g(x) max=g(l)=Te.當且僅當x=l時取得. 從而對一切x (0, +8),都有l(wèi)nAlex-2xe成立.五、利用已知(證)不等式證明不等式【例6】 已知函數(shù)f(A)=lnx, g(x)=2x-2(xl).(1)試判斷fG)=(x2+l)f(x)-g(x)在定義域上的單調 性；(2)當 0a2a(b-a)a2+b2.解:(1)易知 f (x) = (x2+ 1) lnx-(2x-2),當 xl 時,伊(X)=2xlnx+(x-D2x,則(x)0.函數(shù) f (x)=(x2+l

6、)f (x)-g(x)在1,+8)上遞增.(2)由(1)知當 x)時,f(x)f(l)=O, Jf(x0 .B|J (x2+l) lnx-(2x-2) 0, .,.1iix2x-2x2+1.設 x=ba,山 0l.則式可化為lnba2ba-l(ba)2+l,B|I Inb-lna2a(b-a)a2+b2.故當 0Va2a(b-a)a2+b2.點評:證明不等式時,若能注意到所證不等式與所給函 數(shù)的關系,往往能打開解題思路.【例7】 已知函數(shù)f (x) =alnx-ax-3(aer).(1)求函數(shù)x)的單調區(qū)間;(2)求證：111221n331n44lnm】ln(n22,nn*).解：(1) ff (x)=a(l-x)x(x0),當a0時,f (x)的單調增區(qū)間為(0, 1),成區(qū)間為 (1, 40);當aVO時,f(x)的單調增區(qū)間為(1,十8),減區(qū)間為 (0, 1);當a=0時,無單調區(qū)間.(2)令 a=-L 此時 f (x)=Tnx+x-3,所以 f 二-2.山(1)知f(x)=Tnx+x-3在(1,十g)上單調遞增，當 xG(l,+8)時，f (x) f (1),即-Lnx+xTAO, lnxx-l 對一切xc (1,+8)成立，Vn2, mGn*,貝ij有 0lnnVnT,0lnnnn-