1、第五章 I THE FIFTH CHAPTER平面向量§5.1平面向量的概念及線性運算基礎知識自主學習要點梳理1.向量的有關概念名稱定義備注向量既有又有的量：向量的大小叫做向量的（或稱）平面向量是自由向量零向量長度為的向量；其方向是任意的記作單位向量長度等于的向量非零向量a的單位向量為 ±-|a|平行向量方向或的非零向量0與任一向量或共線共線向量的非零向量又叫做共線向量相等向量長度且方向的向量兩向量只有相等或不等，不能比 較大小相反向量長度且方向的向量0的相反向量為02向量的線性運算向量運算定義法則（或幾何意義）運算律（1）交換律：a+ b=加法求兩個向量和的運算cl(2

2、)結合律：(a + b) + c =減法求a與b的相反向量b的和的運算叫 做a與b的差法則a b= a + （b）數乘求實數入與向量a 的積的運算(1) 1 掃|=;(2) 當?>0時，掃的方向與a的方向;當X0時，?a 的方向與a的方向;當X= 0時，怯X 閔）=；（入 +（j）a=；X a + b）=3共線向量定理a是一個非零向量，若存在一個實數入使得b=怡，則向量b與非零向量a共線.難點正本疑點清源1. 向量的兩要素向量具有大小和方向兩個要素用有向線段表示向量時，與有向線段起點的位置沒有關 系.同向且等長的有向線段都表示同一向量.或者說長度相等、方向相同的向量是相等 的向量只有相等

3、或不等，而沒有誰大誰小之說，即向量不能比較大小.2. 向量平行與直線平行的區別向量平行包括向量共線和重合的情況，而直線平行不包括共線的情況因而要利用向量 平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合.基礎自測1. (課本改編題)化簡OP QP + MS MQ的結果為2. 在平行四邊形 ABCD中，E為DC邊的中點，且AB = a, AD = b,則BE =3下列命題：平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；平行于同一個向量的兩個向量是共線向量；相等向量一定共線其中不正確命題的序號是4. 已知D為三角形ABC邊BC的中點，點P滿足PA + BP + CP = 0, AP = ?PD，則實

4、數 入的值為.5. 已知O是厶ABC所在平面內一點，D為BC邊中點，且2OA + OB + OC = 0,那么()B.AO = 20DA.AO = ODC.AO = 3ODD. 2Ao = OD題型分類深度剖析題型一 平面向量的概念辨析【例1】給出下列命題： 若|a|=|b|,貝U a= b;若A, B, C, D是不共線的四點，貝U AB = DC是四邊形 ABCD 為平行四邊形的充要條件； 若a= b, b= c,則a= c;a = b的充要條件是|a|= |b|且a / b. 其中正確命題的序號是 .探究提高 (1)正確理解向量的相關概念及其含義是解題的關鍵.(2) 相等向量具有傳遞性，

5、非零向量的平行也具有傳遞性.(3) 共線向量即為平行向量，它們均與起點無關.向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量解題時，不要把它與函數圖像移 動混為一談.非零向量a與看的關系是：看是a方向上的單位向量.鹽式汨這1判斷下列命題是否正確，不正確的請說明理由.(1)若向量a與b同向，且|a|>|b|，貝U a>b;若ai= |b|,貝U a與b的長度相等且方向相同或相反；若|a|= |b|,且a與b方向相同，則a = b;(4) 由于零向量的方向不確定，故零向量不與任意向量平行；若向量a與向量b平行，則向量a與b的方向相同或相反；若向量晶與向量 喬是共線向量，則 A, B, C,

6、 D四點在一條直線上;起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量；(8)任一向量與它的相反向量不相等.題型二 向量的線性運算【例2】 如圖，在 ABC中，D、E分別為BC、AC邊上的中點，G為BE上一點，且 GB= 2GE，設屈 =a, ZC = b,試用a, b表示AD ,總.探究提高(1)解題的關鍵在于搞清構成三角形的三個問題間的相互關系，能熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉化.(2)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：觀察各向量的位置；尋找相應的三角形或多邊形；運用法則找關系；化簡結果.c老式hl 2 如圖，在 ABC中，E、F分別為AC、AB的

7、中點，BE與CF相交于G點，設陥 =a, Ac = b,試用a,Zb表示AG.題型三平面向量的共線問題【例3】設兩個非零向量a與b不共線，(1)若=a+ b, = 2a+ 8b, C = 3(a-b),求證：A、B、D 三點共線;試確定實數k,使ka + b和a + kb共線.探究提高 證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應注意向量共線與三點共線的區別與聯系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.向量a、b共線是指存在不全為零的實數入，d使入a + W= 0成立，若 乃a+ hb= 0,當且僅當入=心=0時成立，則向量a、b不共線.變丈；如圖所示， ABC中，在AC上取一點N，使得AN

8、 = AC,3在AB上取一點M，使得AM = 3AB,在BN的延長線上取點 P,使得NP = *BN,在CM的延長線上取點 Q,使得MQ = 時，AP = QA，試確定 入的值.思想與方法".用方程思想解決平面向量的線 性運算問題試題：(13分)如圖所示，在 ABO中，0C =1 0A , 0D = 2 0B ,AD與BC相交于點M，設0A = a, OB = b.試用a和b表示向量審題視角(1)用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本要領，要盡可能地轉化到平行四邊形或三角形中去.(2) 既然0m能用a、b表示，那我們不妨設出 0m = ma + n b.(3) 利用共線定理建

9、立方程，用方程的思想求解.規范解答解設 0M = ma+ n b, 則 AM = 0M 0A = ma + nb a = (m 1) a+ nb.1 1AD = 0D 0A = 20B 0A = a + 3 b.3分又 A、M、D三點共線， AM與AD共線.存在實數t，使得AM = tAD , 即(m 1)a+ nb= t( a+ 1 b /1- (m 1)a+ nb= ta+ 3".5分m 1 = t，消去 t 得，m 1 = 2n,即 m+ 2n= 1.又 T CM = 0M 0C = ma + nb-4a = m 4 a + nb,7分CB=0B0C=b4a=- 4 a+b-又

10、 C、M、B三點共線， CM與CB共線.存在實數 切 使得CM = t1CB ,10 分f 1=_ 112分13 分m 4 茁 ，消去匕得,4m+ n= 1.n= ti由得m= 7, n= 7， . OM = 7a +號匕.批閱筆記 （1）本題考查了向量的線性運算，知識要點清楚，但解題過程復雜，有一定的難度.（2）學生的易錯點是，找不到問題的切入口，亦即想不到利用待定系數法求解.（3）數形結合思想是向量加法、減法運算的核心，向量是一個幾何量，是有"形”的量，因此在解決向量有關問題時，多數習題要結合圖形進行分析判斷求解，這是研究平面向量最重要的方法與技巧如本題學生易忽視A、M、D共線和

11、B、M、C共線這個幾何特征.（4）方程思想是解決本題的關鍵，要注意體會.思想方法：感悟提高 方法與技巧1. 將向量用其它向量（特別是基向量）線性表示，是十分重要的技能，也是向量坐標形式的 基礎.2可以運用向量共線證明線段平行或三點共線問題女口/B / CD且AB與CD不共線，則AB / CD ;若 /AB / BC，貝V A、B、C 三點共線.失誤與防范 解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量 的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件要特別注意零向量的特殊性. 在利用向量減法時，易弄錯兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導致錯誤.課時規范訓練（時間：60

12、分鐘）A組專項基礎訓練題組、選擇題1給出下列命題： 兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量； 兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小; 掃=0（入為實數），則入必為零； 人為實數，若：a =血，貝y a與b共線.其中錯誤命題的個數為2.設P是厶ABC所在平面內的一點， BC + BA = 2BP，則A. PA + PB = 0B. PC + "PA = 0C. PB + PC = 0" " "D. PA + PB + PC = 03.已知向量a, b不共線,A . k= 1且c與d同向c= ka + b (k R), d= a b.如果c/ d,那么

13、B . k= 1且c與d反向C. k= 1且c與d同向D . k= 1且c與d反向、填空題4設a、b是兩個不共線向量,AB = 2a+ pb, BC = a+ b,CD = a 2b,若 A、B、D三點共線，則實數p的值為5在平行四邊形人吐R，則ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，若 AC =H .ZAE +亦，其中1 6.如圖，在 ABC中，AN = 3NC , P是BN上的一點，右AP = m2 11AC，則實數m的值為三、解答題1 7.如圖，以向量 OA = a, OB = b 為邊作？OADB , BM = 3 BC , 用 a、b 表示 OM、ON、MN.&若a, b

14、是兩個不共線的非零向量，a與b起點相同，則當cN = Jcd ,1t 為何值時，a, tb, §(a+ b)三向量的終點在同一條直線上?B組專項能力提升題組、選擇題1已知P是厶ABC所在平面內的一點，若CB =入"+ PB，其中入 R，則點P 一定在（）A . ABC的內部B. AC邊所在直線上C AB邊所在直線上D. BC邊所在直線上2. 已知 ABC和點M滿足MX + MB + MC = 0,若存在實數 m使得 A + AC = mA成立, 則m等于B.3. O是平面上一定點,A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足:OP = <0A +AB + .AC入|

15、AB|AC|A .外心二、填空題+），貝U P的軌跡一定通過厶 ABC的B .內心C .重心D .垂心4.已知向量 a, b是兩個非零向量，則在下列四個條件中，能使 （將正確的序號填在橫線上）. 2a 3b= 4e,且 a+ 2b= 3e; 存在相異實數 入仏使 yb= 0; xa + y b= 0（實數 x, y滿足 x+ y= 0）;b共線的條件是若四邊形ABCD是梯形,則AB與CD共線.5.如圖所示，在 ABC中，點O是BC的中點.過點 0的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若= mAM , AC = n 爲，則m + n的值為A A A 1 A6.在 ABC中，已知D是AB邊

16、上一點，若AD = 2DB , CD = 3CA +入CB ,則入=22A7.已知直線x+ y= a與圓x2+ y2= 4交于A、B兩點，且|OA + OB|= |OA OB|,其中O為 坐標原點，則實數 a的值為.三、解答題& 已知點 G是厶ABO的重心，M是AB邊的中點. (1) 求 GA + GB + GO ; 1 1(2) 若 PQ ABO勺重心G 且 OA= a,OB= b,OP= na,OQ= nb,求證：- + - = 3.m n答案要點梳理1.大小相同方向相等長度模零 01個單位 相同 相反 方向相同或相反 相反平行相等2.三角形平行四邊形(1) b+ aa + （b+

17、 c）三角形 （1）|川a| （2）相同相反 0入a?a +園怯+基礎自測1. oS 2.b蘇34 25.A題型分類深度剖析例 1變式訓練1解（1）不正確，因為向量只討論相等和不等，而不能比較大小.（2）不正確，因為向量模相等與向量的方向無關.（3）正確.（4）不正確，因為規定零向量與任意向量平行.不正確，因為兩者中若有零向量，零向量的方向是任意的.不正確，因為AB與CD共線，而AB與CD可以不共線即 AB /CD.正確.（8）不正確，因為零向量可以與它 的相反向量相等.1 1 1【例 2解 AD = 2（ AB + aC）= 1 a+ 匕； 2 AG = AB + BG = AB + 3 B

18、E 1 =AB + 3（ BA + BC）3=2+3（-）1 1 1 1=3AB + 3 AC = 3a + 3b.變式訓練2 解 Ag = AlB + BG=(1 為 AB + 2C = (1 Ra+ b.+ mCF AG = AC + CG = ACmAC + 2( CA + CB)m m=(1 m)AC + 2 AB = 2a + (1 m)b,rm1 x= 21-m = 22,解得 2= m = 2,3例 3(1)證明T AB = a+ b,BC = 2 a+ 8b,CD = 3( a b),BD = IBB + CD = 2a+ 8b+ 3( a b)=2a + 8b+ 3a 3b= 5(a+ b) = 5 AB .益、BD共線，又它們有公共點 B, A、B、D三點共線.(2)解/ ka+ b 與 a+ kb 共線，存在實數 2 使 ka+ b= 2a + kb),即 ka+ b= 2+ 2 b. - (k 2a=(入1)b. a、b是不共線的兩個非零向量,- k 2= 2 1 = 0, -