1、矩陣的次逆的性質本文用表示階單位矩陣；稱次對稱線上元素全為1,其余元素全為0的矩陣稱為次單位矩陣，記為J.容易看出，J2=E.定義設矩陣A=(aij)mKn,稱矩陣amnam-1nAalnamn-1am-1n-1Aaln-IMMMamiam-11Aall為矩陣A的次轉置矩陣，記為Ast.即：設Ast=(bij)nKm,貝！Jbij=an-j+lm-i+l.定義21設A是n階方陣，若存在n階矩陣B使得，AB=BA=J則稱B為矩陣A的次逆，記為A(-1).設Bl,B2都是矩陣A的次逆，由有AB1=B1A=JAB2=B2A=J于是B1=B1J2=B1(AB2)(AB2)=(BIA)B2A)B2=JJ

2、B2=B2因此，矩陣A的次逆是唯一的.又由E尸JE=J可得，J-1)=E.由定義1可以得到，A=AJJ=A(BA)J=(AB)AJ=JAJ,即若A次可逆，一定有A=AJA.引理12設A是n階次可逆矩陣，可得A*,A-l,AAST,A(-1)則(1) A*是次可逆矩陣，且(A*)(-1)=(A(-l)(2) A-1是次可逆矩陣，且(A-1)(-1)=(A(-1)(3) AT是次可逆矩陣，且(AT)(T)=(A(-1)(4) AST是次可逆矩陣，且(AST(-1)=(A(-1)ST(5) A(1)是次可逆矩陣，且(A(-1)(-1)=A引理22設A,B都是次可逆矩陣，則AB也是次可逆矩陣，且(AB

3、)(-1)=JB(-1)A(-1)=B(-1)A(-1)J.二、關于矩陣次逆的求法這一節將通過矩陣次可逆的一個充要條件，得到求矩陣的次逆的一種方法.定理1設A是n階方陣，則A次可逆的充分必要條件是A可逆且滿足AJ=JA.證明必要性若A次可逆，則存在n級方陣B使AB=BA=J(2-1)兩邊取行列式得AB=J=(-1)工0,因此A非退化，所以A可逆，又由式(3-1)可得AJ=A(BA)=(AB)A=JA,充分性由A可逆且AJ=JA,可知AT存在，且有A(A-1J)=(AA-1)J=(A-1A)J=A-1(AJ)=(A-1J)A=J于是A次可逆.證畢！由式(2-1)可得：A(BJ)=J2=E(2-2

4、)JB)A=J2=E,(2-3)這表明：AT=B尸JB,其中B為A的次逆，由式(2-2),(2-3)可得，A-1=BJ=JB于是有B=JBJ=A-1J=JA-1(2-4)式(2-4)給出了求矩陣次逆的方法，即先求得矩陣A的逆矩陣AT,再利用A(-1)=ATJ或者A(-1)=JAT求得A的次逆.設矩陣A=123010321，試判斷A是否次可逆，若次可逆，求出A的次逆.由題易得A=-8工0,且AJ=JA,所以A次可逆.又有A,E)=l23100010010321001初等行變換100-10010321所以A-l=-010.-A(-1)=JA-1=-1010.三、關于矩陣次逆的結論定理2若A次可逆，

5、則JA也次可逆，且(JA)(-1)=JA-1).證明由引理2(JA)(-1)=JA(-1)J(-1)=JA(-1).定理3設AE-A,J-A(-)均為次可逆矩陣，貝y(E-A)(-1)+(E-JA(-1)(-1)=J.證明考慮到在證明的等式E-A)(-1)+(E-JA(-1)(-1)=J,兩邊同時右乘(E-JA(-1)有E-A)(-1)+J=J(E-JA(-1)=J-A(-1),兩邊再同時左乘(E-A)有J(E-JA(-1)+(E-A)J,=(E-A)(J-A(-l)整理即等式J-A(-1)+J-AJ=J-A(-1)-AJ+AA(-1),這顯然成立，又因為上面式子都是可逆的，故結論成立，證畢！定理4設AB是n階方陣，A,B,AB-J都是次可逆矩陣，則A-B(-1),(A-B(-1)(-1)-A(-1)均次可逆，且(A-B(1)(1)A(1)(1)=ABAJ-A.證明由A,B,AB-J均次可逆及定理1,知BJ=JBAJ=JA,，于是A-B(-1)=AJBB(-1)-B(-1)=(AB-J)JB(-3-1)1)于是有A-B(-