1、第1頁共9頁1.5因動點產生的梯形問題例1 2012年上海市松江區中考模擬第24題已知直線 y= 3x 3 分別與 x 軸、y 軸交于點 A, B,拋物線 y= ax2+ 2x + c 經小過點 A, B.(1) 求該拋物線的表達式，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點坐標；(2)記該拋物線的對稱軸為直線.I，點 B 關于直線 I 的對稱點為 C,若點 D.在 y 軸的正半軸上，且四邊形 ABCD 為梯形.U 11求點 D 的坐標；2將此拋物線向右平移，平移后拋物線的頂點為P,其對稱軸與直線 y = 3x3 交于點 E,若tan DPE3，求四邊形 BDEP 的面積.7圖 1動感體驗請打開幾何畫板文件

2、名“ 12 松江 24”，拖動點 P 向右運動，可以體驗到，D、P 間的垂直距離等于 7保持不變，/ DPE 與/ PDH 保持相等.請打開超級畫板文件名“ 12 松江 24”，拖動點 P 向右運動，可以體驗到，D、P 間的垂直距離等于 7保持不變，/ DPE 與/ PDH 保持相等，tan DPE 0.43，四邊形 BDEP 的面積為 24.思路點撥1.這道題的最大障礙是畫圖，A、B、C、D 四個點必須畫準確，其實拋物線不必畫出，畫出對稱軸就可以了.2拋物線向右平移，不變的是頂點的縱坐標，不變的是D、P 兩點間的垂直距離等于 7.3.已知/ DPE 的正切值中的 7 的幾何意義就是 D、P

3、兩點間的垂直距離等于 7,那么點 P 向右平移到 直線 x= 3時，就停止平移.滿分解答(1) 直線 y= 3x 3 與 x 軸的交點為 A(1, 0)，與 y 軸的交點為 B(0, 3). 將 A(1, 0)、B(0, 3)分別代入 y= ax2+ 2x+ c,得a 2 c 0,解得aXc 3.c 3.所以拋物線的表達式為y= x2+ 2x 3.對稱軸為直線 x= 1，頂點為(一 1, 4).(2) 如圖 2,點 B 關于直線 I 的對稱點 C 的坐標為(一 2, 3). 因為 CD/AB，設直線 CD 的解析式為 y= 3x+ b,代入點 C( 2, 3)，可得 b = 3.所以點 D 的

4、坐標為(0, 3).過點 P 作 PH 丄 y 軸，垂足為 H,那么/ PDH =/ DPE .而 DH = 7,所以 PH = 3.因此點 E 的坐標為(3, 6).由tanDPE 7，得tan PDHPH 3DH 7第2頁共9頁所以 S梯形BDEP1(BD EP) PH 24 .第3頁共9頁考點伸展第(2)用幾何法求點 D 的坐標更簡便：因為 CD/AB，所以/ CDB =ZABO .因此BCOA 1.所以 BD = 3BC= 6, OD = 3.因此 D (0, 3). BD OB 3例2 2012年衢州市中考第24題如圖 1，把兩個全等的 Rt AOB 和 Rt COD 方別置于平面直

5、角坐標系中， 使直角邊OB、OD 在 x 軸上.已知點 A(1 , 2),過 A、C 兩點的直線分別交 x 軸、y 軸于點 E、F.拋物線y= ax2+ bx+ c 經過 O、A、C 三點.(1) 求該拋物線的函數解析式；(2 )點 P 為線段 OC 上的一個動點，過點 P 作 y 軸的平行線交拋物線于 點 M，交 x 軸于點 N，問是否存在這樣的點 P,使得四邊形 ABPM 為等腰梯 形？若存在，求出此時點P 的坐標；若不存在，請說明理由；(3) 若厶 AOB 沿 AC 方向平移(點 A 始終在線段 AC 上，且不與點 C 重合)， AOB 在平移的過程中 與厶 COD重疊部分的面積記為 S

6、.試探究 S 是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說 明理由.動感體驗請打開幾何畫板文件名“ 12 衢州 24”，拖動點 P 在線段 OC 上運動，可以體驗到，在 AB 的左側，存 在等腰梯形 ABPM .拖動點 A 在線段 AC 上運動，可以體驗到， Rt AOB、Rt COD、Rt AUG、Rt OEK、Rt OFG和 Rt EHK 的兩條直角邊的比都為 1 : 2.請打開超級畫板文件名“ 12 衢州 24”， 拖動點 P 在線段 OC 上運動， 可以體驗到， 在 AB 的左側， 存 在 AM=BP .拖動點 A 在線段 AC 上運動，發現 S 最大值為 0.375 .思路

7、點撥1.如果四邊形 ABPM 是等腰梯形，那么 AB 為較長的底邊，這個等腰梯形可以分割為一個矩形和兩個 全等的直角三角形，AB 邊分成的 3 小段，兩側的線段長線段.2. AOB 與厶 COD 重疊部分的形狀是四邊形 EFGH，可以通過割補得到，即 OFG 減去 OEH .圖 2圖 3第4頁共9頁3.求 OEH 的面積時，如果構造底邊 0H 上的高 EK，那么 Rt EHK 的直角邊的比為 1 :2.4.設點A移動的水平距離為 m,那么所有的直角三角形的直角邊都可以用m 表示.滿分解答(3)如圖 3, AOB 與厶 COD 重疊部分的形狀是四邊形 EFGH，作 EK 丄 OD 于 K. 設點

8、 A 移動的水平距離為 m,那么 OG = 1 + m, GB= m.在 Rt OFG 中，FGOG21(1 m).所以SOFG;(1m)2.在 Rt AHG中,AG=2 m, 所以HG1AG(2 m)11m222所以OH OGHG(1 m)(1丄m)3 m.22在 Rt OEK 中，OK = 2 EK ;在 RtAEHK 中，EK = 2HK ;所以 OK = 4HK . 因此OK4OH4-m 2m.所以EKOK m.33 22所以1SOEHOH EK13 m32mm2224于是SSOFGSOEH力m)232m12m1 1 m -g(m344224228(1 )將 A(1,2)、0(0, 0

9、)、C(2,1)分別代入 y= ax2+ bx+ c,a得c4ab c 2,0,2b c1.過點 P、M 分別作梯形=BP、因此 yA y M = yP yB.直線 OC 的解析式為y,2解方程2 (3x27x)，2 2 2(2)如圖2,c 0.所以y?x2 7x.2 2ABPM 的高 PP、MM 如果梯形設點 P 的坐標為(x x)，2那么 M(x,X22 .ABPM 是等腰梯形，那么272x).AM第5頁共9頁因為0vmv1,所以當m1時, S 取得最大值，最大值為328考點伸展第(3)題也可以這樣來解：設點A 的橫坐標為 a.由直線 AC: y = x + 3,可得 A (a, a +

10、3).由直線C：y1x，可得F(a,1a)2 2由直線 A： y= 2x 及 A (a, a+ 3)，可得直線 A : y= 2x 3a + 3,H(3a 30).2，由直線 OC 和直線 A 可求得交點 E(2a 2, a 1).由 E、F、G、H 4 個點的坐標，可得例4 2011年義烏市中考第24題已知二次函數的圖象經過 A (2, 0)、C(0, 12)兩點，且對稱軸為直線 x= 4,設頂點為點 P,與 x 軸 的另一交點為點 B.(1)求二次函數的解析式及頂點P 的坐標；(2)如圖 1，在直線 y= 2x 上是否存在點 D，使四邊形 OPBD 為等腰梯形？若存在，求出點D 的坐標；若

11、不存在，請說明理由；(3)如圖 2，點 M 是線段 OP 上的一個動點(、P 兩點除外)，以每秒 2 個單位長度的速度由點 P 向點 O 運動，過點 M 作直線 MN/X 軸， 交 PB 于點 N.將厶 PMN 沿直線 MN 對折， 得到 P1MN.在動 點 M 的運動過程中， 設 P1MN與梯形 OMNB 的重疊部分的面積為 S,運動時間為 t 秒，求 S 關于 t 的函 數關系式.動感體驗請打開幾何畫板文件名“ 11 義烏 24”，拖動點 M 從 P 向 O 運動，可以體驗到， M 在到達 PO 的中點 前，重疊部分是三角形；經過中點以后，重疊部分是梯形.思路點撥1.第(2)題可以根據對邊

12、相等列方程，也可以根據對角線相等列方程，但是方程的解都要排除平行 四邊形的情況.第6頁共9頁2.第(3)題重疊部分的形狀分為三角形和梯形兩個階段，臨界點是PO 的中點.第7頁共9頁此時S3t2 3(2t 4)29t212t 12.444考點伸展第(2)題最好的解題策略就是拿起尺、規畫圖：方法一，按照對角線相等畫圓.以P 為圓心，OB 長為半徑畫圓，與直線 y= 2x 有兩個交點，一個是等腰梯形的頂點，一個是平行四邊形的頂點.方法二，按照對邊相等畫圓.以B 為圓心，OP 長為半徑畫圓，與直線 y= 2x 有兩個交點，一個是等腰梯形的頂點，一個是平行四邊形的頂點.滿分解答(1)設拋物線的解析式為2

13、4a k 0,y a(x 4) k,代入 A (2, 0)、C(o, 12)兩點，得解16a k 12.1,4.所以二次函數2 2y (x 4)4 x 8x 12，頂點 P 的坐標為(4, 4).(2)由y x28x 12(x 2)(x6)，知點 B 的坐標為(6, 0).假設在等腰梯形 OPBD，那么 由兩點間的距離公式，得(x如圖3,當 x= 2 時，四邊形DP = OB= 6.設點 D 的坐標為(為2x).4)2(2x 4)236解得x或 x= 2.ODPB 是平行四邊形.501 Pkc / ,V F10 xMX Hr3(3)設厶 PMN 與厶 POB 的高分別為 PH、PG .在 Rt

14、 PMH 中，PM . 2t，PH MH t.所以PG 2t 4. 在 Rt PNH 中，PH t，NH】PH t.所以MN3t.2 2 21如圖 4，當 0vtw2 時，重疊部分的面積等于厶 PMN 的面積此時S- -t t-t2.2 242如圖 5,當 2VtV4 時，重疊部分是梯形，面PDCSPMNPGPH2，所以SPDC22t 43以-tt 43(2t 4)2.24所以，當點D的坐標為(5，5)時，四邊形 OPBD 為等腰梯形.第8頁共9頁例5 2010年杭州市中考第24題12如圖 1,在平面直角坐標系 xOy 中，拋物線的解析式是 y = x21，點 C 的坐標為（-,0），平行四4

15、邊形 OABC 的頂點 A，B 在拋物線上，AB 與 y 軸交于點 M，已知點 Q（x，y）在拋物線上，點 P（t，0）在 x 軸 上.（1）寫出點 M 的坐標；（2）當四邊形 CMQP 是以 MQ , PC 為腰的梯形時. 求 t 關于 x 的函數解析式和自變量 x 的取值范圍;當梯形 CMQP 的兩底的長度之比為 1 : 2 時，求 t 的值.圖 1動感體驗請打開幾何畫板文件名“ 10 杭州 24”，拖動點 Q 在拋物線上運動，從 t 隨 x 變化的圖象可以看到，t 是 x 的二次函數，拋物線的開口向下.還可以感受到，PQ : CM = 1 : 2 只有一種情況，此時 Q 在 y 軸上；C

16、M : PQ= 1 : 2 有兩種情況.思路點撥1.第（1）題求點 M 的坐標以后，Rt OCM 的兩條直角邊的比為 1 : 2,這是本題的基本背景圖.2.第（2）題中，不變的關系是由平行得到的等角的正切值相等，根據數形結合，列關于t 與 x 的比例式，從而得到 t 關于 x 的函數關系.3探求自變量 x 的取值范圍，要考慮梯形不存在的情況，排除平行四邊形的情況.4.梯形的兩底的長度之比為 1 : 2,要分兩種情況討論. 把兩底的長度比轉化為 QH 與 MO 的長度比.滿分解答12（1）因為 AB= OC = 4, A、B 關于 y 軸對稱，所以點 A 的橫坐標為 2 .將 x= 2 代入 y

17、 =一x 1，得 y4=2.所以點 M 的坐標為（0, 2）.如圖2,過點 Q 作 QHx 軸，設垂足為H,則12HQ = yx 1,HP = x-t4因為CM/I PQ，所以/ QPH =/ MCO .因此tan/QPH = tan / MCO ，即HQOMHPOC12彳x 11(xt）.整理，得t丄x2x 2.422如圖 3,當 P 與 C 重合時，t4，解方程412x x 2，得x1.2如圖 4,當 Q 與 B 或 A 重合時，四邊形為平行四邊形，此時，x= 2.丄.所以2第9頁共9頁考點伸展本題情境下，以 Q 為圓心、QM 為半徑的動圓與 x 軸有怎樣的位置關系呢？2 2設點 Q 的坐

18、標為x,-x21，那么QM2x2丄x21- x2144412而點 Q 到 x 軸的距離為x21.4因此圓 Q 的半徑 QM 等于圓心 Q 到 x 軸的距離，圓 Q 與 x 軸相切.因為 sin / QPH = sin/MCO ,所以HQPQOMCM，即PQ HQ CM OM.當PQHQ1時,HQ1 OM1.解方程1x211，得x0（如圖 5）.此時tCMOM224當PQHQ2時，HQ2OM4. 解方程1-x214，得x23.CMOM4如圖 6,當x23時，t8 2 3;如圖 6,當1 x2、3時,t8 2、3.2.因此自變量 x 的取值范圍是x 1.5，且 x2 的所有實數.圖 2圖 3圖 4

19、第10頁共9頁例7 2009年廣州市中考第25題px q(p0)的圖象與 x 軸交于 A、B 兩點，與 y 軸交于點 C (0, 1),5 ABC 的面積為 .4(1)求該二次函數的關系式；(2)過 y 軸上的一點 M (0, m)作 y 軸的垂線，若該垂線與 ABC 的外接圓有公共點，求 m 的取值 范圍；(3)在該二次函數的圖象上是否存在點D，使以 A、B、C、D 為頂點的四邊形為直角梯形？若存在,動感體驗請打開幾何畫板文件名“ 09廣州 25”， 可以看到, 接圓直徑，拖動點 M 在 y 軸上運動，可以體驗到，過在拋物線上有兩個符合條件的點D，使以 A、B、 ABC 是以 AB 為斜邊的

20、直角三角形， AB 是它的外 M的直線與圓相切或者相交時有公共點.C、D 為頂點的四邊形為直角梯形.思路點撥1根據 ABC 的面積和 AB 邊上的高確定 AB 的長，這樣就可以把兩個點的坐標用一個字母表示.2 數形結合，根據點 A、B、C 的坐標確定 OA、OB、OC 間的數量關系，得到 AOCCOB，從 而得到 ABC是以 AB 為斜邊的直角三角形， AB 是它的外接圓直徑，再根據對稱性寫出m 的取值范圍.3.根據直角梯形的定義，很容易確定符合條件的點D有兩個，但是求點 D 的坐標比較麻煩，根據等角的正切相等列方程相對簡單一些.滿分解答55(1)因為 OC = 1 , ABC 的面積為5，所以 AB=-.425設點 A 的坐標為(a, 0),那么點 B 的坐標為(a,0).2551設拋物線的解析式為y (x a)(x a ),代入點 C