1、一、一、 無窮積分的性質無窮積分的性質 本節討論無窮積本節討論無窮積分的性質分的性質, , 并用這些性并用這些性質得到無窮積分的收質得到無窮積分的收斂判別法斂判別法. .2 無窮積分的性質與 收斂判別數學分析 第 十一章反常積分三、一般函數無窮積分的三、一般函數無窮積分的 收斂判別法收斂判別法 二、非負函數無窮積分的二、非負函數無窮積分的 收斂判別法收斂判別法*點擊以上標題可直接前往對應內容定理11.1（無窮積分收斂的柯西準則）0,Ga 1221( )d( )d( )d.uuuaauf xxf xxf xx 12,u uG當當時時證證極限的柯西準則極限的柯西準則, ,此等價于此等價于( )da

2、f xx收斂的充要條件是收斂的充要條件是: :無窮積分無窮積分 lim( ).uF u收收斂斂的的充充要要條條件件是是存存在在極極限限由函數由函數( )( )d , ,),uaF uf xx ua設設( )daf xx則則后退 前進 目錄 退出無窮積分的性質, 0 , aG ,21Guu12()(),F uF u 性質11221( )d( )d( )d.uuuauaf xxf xxf xx 1212( )d( )d,aafxxfxxkk 若若與與都都收收斂斂為為任任意意常數常數, 1122( )( ) dak fxk fxx即即根據反常積分定義根據反常積分定義, ,容易導出以下性質容易導出以下

3、性質1 和性質和性質2. . ,也也收收斂斂 且且無窮積分的性質1122( )( ) dak fxk fxx1122( )d( )d .aakfxxkfxx 則則性質2( )d( )d(),abf xxf xxba 與與( )d( )d( )d .baabf xxf xxf xx同同時時收收斂斂或或同同時時發發散散， , fa u若若在在任任何何有有限限區區間間上上可可積積, ,則則無窮積分的性質且且性質性質2相當于積分區間可加性相當于積分區間可加性. . 由性質由性質2還可以得到還可以得到( )daf xx收斂的另一個充要條件收斂的另一個充要條件: :0,Ga ,uG當當時時( )d.uf

4、xx h(x) 在任意在任意 a, u上可積上可積, 且且( )d( )daaf xxg xx和和( )d.ah xx都都收收斂斂, ,則則收收斂斂證證 因為因為( )d( )daaf xxg xx和和收斂收斂, ,例例1 1 ),),()()( axxgxhxf, f (x), g (x),若若由柯西準則的必要性由柯西準則的必要性, 0 , aG ,21Guu無窮積分的性質 ,d21 xxfuu ,d21 xxguu有有再由柯西準則的充分性再由柯西準則的充分性,( )d.ah xx證證得得收收斂斂即即21( )d.uuh xx ( )( )( ),f xh xg x又又因因為為所所以以21(

5、 )duuf xx 21( )duuh xx21( )duug xx, 無窮積分的性質性質3 , fa u若若在在任任何何有有限限區區間間上上可可積積, ,且且( ) daf xx收收斂斂，并并有有( )d( ) d .aaf xxf xx ( ) daf xx則則也也收收斂斂，無窮積分的性質引理（非負函數無窮積分的判別法） ,),( )d.uauaf xxM設定義在設定義在上的非負函數上的非負函數 f 在任何在任何a, u ,)a ,上上可可積積( )daf xx則則收斂的充要條件是收斂的充要條件是: :0,M使使非負函數無窮積分的收斂判別法 ,),( )d.uauaf xxM有有增增函數的

6、收斂判別準則函數的收斂判別準則, lim( )uF u存存在在的的充充要要條條從而從而 F (u) 是單調遞增的是單調遞增的( ,).ua( ) ,)F ua 件件是是在在上上有有界界, ,0,M即即使使由單調遞由單調遞非負函數無窮積分的收斂判別法lim( ).uF u條條件件是是存存在在12( )0,f xuu由由于于當當時時，2121( )d( )d( )d0,uuuaauf xxf xxf xx( )daf xx則則收收斂斂的的充充要要證證( )( )d ,uaF uf xx設設證證 ( )dag xx若若收收斂斂, ,0, ,),Mua則則( )d.uag xxM( )d( )d.uu

7、aaf xxg xxM因因此此由非負函數無窮積分的判別法由非負函數無窮積分的判別法,( )daf xx收收斂斂. .非負函數無窮積分的收斂判別法定理11.2（比較判別法）( )( ), ,),f xg xxa設定義在設定義在 上的兩個上的兩個非負函數非負函數 f , g在任何有在任何有 ,)a 限區間限區間a, u上可積上可積, 且且滿足滿足( )d,( )daaf xxg xx 當當發發散散時時亦亦發發散散. .( )d,( )daag xxf xx 則則當當收收斂斂時時亦亦收收斂斂; ;651d1xx因因此此收收斂斂. .例例2 判別判別516d1xx 的收斂性的收斂性.解解6 51dxx

8、由由于于收收斂斂, ,6 56511.1xx顯然顯然非負函數無窮積分的收斂判別法第二個結論是第一個結論的逆否命題第二個結論是第一個結論的逆否命題, ,因此也成立因此也成立. . 22( )( )d2afxgxx證證22( )( )( ) ( ),2fxgxf x g x而而由于由于 收斂，收斂，( ) ( )d.af x g xx因因此此收收斂斂非負函數無窮積分的收斂判別法22( )d( )daafxxgxx明明: :若若和和收收斂斂, ,則則( ) ( )d.af x g xx收收斂斂設設 f (x), g(x) 是是 上的非負連續函數上的非負連續函數. 證證 ,)a 例例3 2211( )

9、d( )d22aafxxgxx推論1設非負函數設非負函數 f 和和 g 在任何在任何 a, u 上可積上可積, 且且( )lim.( )xf xcg x) i (0( )d( )daacf xxg xx當當時時，與與同同斂斂散散; ;(ii)0,( )d( )daacg xxf xx當當時時 由由收收斂斂可可得得收收斂斂; ;(iii),( )d( )daacg xxf xx 當當時時 由由發發散散可可得得發發散散. .非負函數無窮積分的收斂判別法證證 ( ),( )2f xccg x即即 3( )( )( ).22ccg xf xg x( )(i)lim0,( )xf xcg x由由,aG

10、故存在故存在有有使使,Gx 非負函數無窮積分的收斂判別法3( )d( )d.2aacg xxf xx收收斂斂, ,從從而而收收斂斂( )daf xx若若收收斂斂，( )d2acg xx則則可可得得收收斂斂，從而從而( )d.ag xx收收斂斂( )dag xx反反之之，若若收收斂斂，可得可得( )d.af xx可可推推得得收收斂斂( )1,( )f xg x( )iilim0,( )xf xg x（ ）由由,aG 存存在在有有使使,Gx ( )( ),f xg xxG即即( )dag xx因因此此由由收收斂斂非負函數無窮積分的收斂判別法( )d.af xx可可推推得得發發散散( )1,( )f

11、 xg x( )(iii)lim,( )xf xg x 由由,aG 存存在在有有使使,Gx ( )( ),xf xxG即即g g( )dag xx因因此此由由發發散散推論21(i)( )(1),( )dpaf xpf xxx若若則則收收斂斂; ;設設 f 是定義在是定義在 上的非負函數上的非負函數, 在任何有限在任何有限 ,)a , a u區區間間上上可可積積. .非負函數無窮積分的收斂判別法1(ii)( )(1),( )d.paf xpf xxx若若則則發發散散推論3) i (1, 0,( )dapf xx 當當時時收收斂斂; ;)ii(1, 0,( )d.apf xx 當當時時發發散散li

12、m( ),pxx f x 若若則則間間 a, u 上可積上可積.設設 f 是定義在是定義在 上的非負函數上的非負函數,在任何有限區在任何有限區 ,)a 說明說明: : 推論推論3 3是推論是推論2 2的極限形式，讀者應不難寫的極限形式，讀者應不難寫出它的證明出它的證明. .非負函數無窮積分的收斂判別法例例4 討論討論1lndkpxxx的收斂性的收斂性 ( k 0 ).解解 (i),1時時p12lnlimpkpxxxx12lnlim0.pkxxx 1lnd.kpxxx因因此此由由推推論論3 3知知道道收收斂斂1limln.pkxxx 1lnd.kpxxx因因此此同同理理知知道道發發散散非負函數無

13、窮積分的收斂判別法)ii(ln1, limkpxxpxx時時性質3（絕對收斂的無窮積分必收斂）若無窮積分若無窮積分( ) d,( )daaf xxf xx收收斂斂 則則稱稱可以用前面的性質可以用前面的性質3來判別一般無窮積分的收斂性來判別一般無窮積分的收斂性. ( ) d,af xx收收斂斂( )daf xx則則亦亦必必收收斂斂, ,并并且且( )d( ) d .aaf xxf xx何何有限區間有限區間 a, u上可積上可積, 且且若若 f 在任在任絕絕對對收收斂斂. .一般函數無窮積分的收斂判別法1sind()xxx ax因因此此絕絕對對收收斂斂. .收斂的無窮積分收斂的無窮積分( )daf

14、 xx不一定是絕對收斂的不一定是絕對收斂的.( )d|( )|d,aaf xxf xx若若收收斂斂而而發發散散 則則稱稱( )daf xx條條件件收收斂斂. .例例51sind(0)()xxax ax的收斂性的收斂性.判別判別sin1,()xx axx x3 211dxx而而收收斂斂, ,解解由于由于一般函數無窮積分的收斂判別法定理11.3（狄利克雷判別法）一般函數的無窮積分還可試用以下的狄利克雷一般函數的無窮積分還可試用以下的狄利克雷判判lim( )0,xg x別法和阿貝爾判別法判別其收斂性別法和阿貝爾判別法判別其收斂性. .( )( )d ,)uaF uf xxa若若在在上上有有界界，(

15、) ,)g xa 在在( ) ( )d.af x g xx則則收收斂斂證證( )d, ,).uaf xxM ua設設, 0 由于由于,aG 故故存存在在( ).4xGg xM 時時，一般函數無窮積分的收斂判別法0 x 上上當當時時單單調調趨趨于于 ，二中值定理，二中值定理，為單調函數，由積分第為單調函數，由積分第因因g對任意的對任意的221112( ) ( )d()( )d()( )d ,uuuuf x g xxg uf xxg uf xx 22()( )d( )duaag uf xxf xx 11()( )d( )duaag uf xxf xx 2112()( )d()( )duug uf

16、xxg uf xx 21( ) ( )duuf x g xx于于是是,12Guu12,u u 使使得得MMMM2424 . 因此因此, 由柯西準則，由柯西準則，( ) ( )d.af x g xx收收斂斂一般函數無窮積分的收斂判別法定理11.4（阿貝爾判別法）證證 證法證法1( ), ,),g xM xa設設( )d,af xx收收斂斂21( )d.2uuf xxM ( )d,afxx若若收收斂斂( ) ,)g xa 在在上上單單調調有有界界，( ) ( )d.af x g xx則則收收斂斂, 0 則則,aG 時時，當當Guu12二中值定理，二中值定理，為單調函數，由積分第為單調函數，由積分第

17、因因g對任意的對任意的,12Guu12,u u 使使得得一般函數無窮積分的收斂判別法由由于于21( ) ( )duuf x g xx2112()( )d()( )d .uug uf xxg uf xx 21( ) ( )duuf x g xx2112()( )d()( )duug uf xxg uf xx .22MMMM 由柯西準則由柯西準則,( ) ( )d.af x g xx收收斂斂證法證法2lim( ).xg xA11( )( ),( ) ,)0.g xg xAg xa令令則則在在上上單單調調趨趨于于因因此此( ) ,)g xa 因因在在上上單單調調有有界界，使使故存在故存在A一般函數無

18、窮積分的收斂判別法 ,),a 上上有有界界由狄利克雷判別法由狄利克雷判別法1( )( )daf x g xx( ) ( )daf x g xx1( )( )d( )daaf x g xxAf xx，收斂收斂, ( )daf xx又又因因收收斂斂，( )( )duaF uf xx故故在在一般函數無窮積分的收斂判別法所以所以.積積分分收收斂斂01 ,1pu若若則則當當時時因此由狄利克雷判別法推知因此由狄利克雷判別法推知1sind.pxxx收收斂斂另一方面，另一方面，1sindcos1cos2,ux xu10px而而單單調調趨趨于于 ，xxxxp2sinsin,22cos21xxx, 1 x一般函數無窮積分的收斂判別法例例611sincosdd (0)ppxxxx pxx討討論論與與的收斂性的收斂性.收斂收斂. .解解sin11,ppxpxx當當時時 由由于于1sindpxxx因因此此絕絕對對類似可證類似可證:1cos01dpxpxx當當時時，條條件件收收斂斂; ;1cos1dpxpxx 當當時時，絕絕對對收收斂斂. .1sin01dpxpxx當當時時, ,條條件件收收斂斂; ;1sind.pxxx因因此此發發散散1sin1dpx