1、精選文檔復合函數問題一、復合函數定義：設y=f(u)的定義域為A，u=g(x)的值域為B，若A B，則y關于x函數的y=fg(x)叫做函數f與g的復合函數，u叫中間量.二、復合函數定義域問題： (1)、已知的定義域，求的定義域思路：設函數的定義域為D，即，所以的作用范圍為D，又f對作用，作用范圍不變，所以，解得，E為的定義域。例1. 設函數的定義域為（0，1），則函數的定義域為_。解析：函數的定義域為（0，1）即，所以的作用范圍為（0，1）又f對lnx作用，作用范圍不變，所以解得，故函數的定義域為（1，e）例2. 若函數，則函數的定義域為_。解析：先求f的作用范圍，由，知即f的作用范圍為，又f

2、對f(x)作用所以，即中x應滿足即，解得故函數的定義域為（2）、已知的定義域，求的定義域思路：設的定義域為D，即，由此得，所以f的作用范圍為E，又f對x作用，作用范圍不變，所以為的定義域。例3. 已知的定義域為，則函數的定義域為_。解析：的定義域為，即，由此得所以f的作用范圍為，又f對x作用，作用范圍不變，所以即函數的定義域為例4. 已知，則函數的定義域為-解析：先求f的作用范圍，由，知解得，f的作用范圍為，又f對x作用，作用范圍不變，所以，即的定義域為（3）、已知的定義域，求的定義域思路：設的定義域為D，即，由此得，的作用范圍為E，又f對作用，作用范圍不變，所以，解得，F為的定義域。例5.

3、若函數的定義域為，則的定義域為_。解析：的定義域為，即，由此得的作用范圍為，又f對作用，所以，解得即的定義域為評注：函數定義域是自變量x的取值范圍（用集合或區間表示）f對誰作用，則誰的范圍是f的作用范圍，f的作用對象可以變，但f的作用范圍不會變。利用這種理念求此類定義域問題會有“得來全不費功夫”的感覺，值得大家探討。三、復合函數單調性問題（1）引理證明已知函數.若在區間 ）上是減函數，其值域為(c，d)，又函數在區間(c,d)上是減函數，那么，原復合函數在區間 ）上是增函數.證明：在區間）內任取兩個數，使因為在區間）上是減函數，所以,記, 即因為函數在區間(c,d)上是減函數，所以,即，故函數

4、在區間）上是增函數.（2）復合函數單調性的判斷復合函數的單調性是由兩個函數共同決定。為了記憶方便，我們把它們總結成一個圖表：增 減 增 減 增 減 增 減 減 增 以上規律還可總結為：“同向得增，異向得減”或“同增異減”.（3）、復合函數的單調性判斷步驟：   確定函數的定義域；    將復合函數分解成兩個簡單函數：與。   分別確定分解成的兩個函數的單調性；   若兩個函數在對應的區間上的單調性相同（即都是增函數，或都是減函數），則復合后的函數為增函數；  若兩個函數在對應的區間上的單調性相異（即一個是

5、增函數，而另一個是減函數），則復合后的函數為減函數。（4）例題演練例1、 求函數的單調區間，并用單調定義給予證明解：定義域 單調減區間是 設 則 = > 又底數 即 在上是減函數同理可證：在上是增函數例2、討論函數的單調性.解由得函數的定義域為則當時，若，為增函數，為增函數.若，為減函數.為減函數。當時，若，則為減函數，若，則為增函數.例3、.已知y=(2-)在0，1上是x的減函數，求a的取值范圍.解：a0且a1當a1時，函數t=2->0是減函數由y= (2-)在0，1上x的減函數，知y=t是增函數，a1由x0，1時，2-2-a0,得a2,1a2當0<a<1時，函數t=

6、2->0是增函數由y= (2-)在0，1上x的減函數，知y=t是減函數，0<a<1由x0，1時，2-2-10, 0<a<1綜上述，0<a<1或1a2例4、已知函數（為負整數）的圖象經過點，設.問是否存在實數使得在區間上是減函數，且在區間上是減函數？并證明你的結論。解析由已知，得，其中 即，解得為負整數，即 ，假設存在實數，使得滿足條件，設，當時，為減函數，,當時, 增函數,.由、可知，故存在一指數函數與對數函數 同底的指數函數與對數函數互為反函數；（二）主要方法：1解決與對數函數有關的問題，要特別重視定義域； 2指數函數、對數函數的單調性決定于底數大于

7、1還是小于1，要注意對底數的討論；3比較幾個數的大小的常用方法有：以和為橋梁；利用函數的單調性；作差（三）例題分析：例1（1）若，則，從小到大依次為 ； （2）若，且，都是正數，則，從小到大依次為 ； （3）設，且（，），則與的大小關系是 （ ） （） （） （） （）解：（1）由得，故 （2）令，則， ，； 同理可得：，（3）取，知選（）例2已知函數，求證：（1）函數在上為增函數；（2）方程沒有負數根證明：（1）設，則，；，且，即，函數在上為增函數；（2）假設是方程的負數根，且，則， 即， 當時，而由知，式不成立； 當時，而，式不成立綜上所述，方程沒有負數根例3已知函數（且）求證：（1）函數

8、的圖象在軸的一側； （2）函數圖象上任意兩點連線的斜率都大于證明：（1）由得：，當時，即函數的定義域為，此時函數的圖象在軸的右側；當時，即函數的定義域為，此時函數的圖象在軸的左側函數的圖象在軸的一側；（2）設、是函數圖象上任意兩點，且，則直線的斜率，當時，由（1）知，又，；當時，由（1）知，又，函數圖象上任意兩點連線的斜率都大于同步練習（二）同步練習：1、 已知函數的定義域為，求函數的定義域。答案：2、 已知函數的定義域為，求的定義域。答案：3、 已知函數的定義域為，求的定義域。答案：4、設，則的定義域為（ ） A. B. C. D. 解：選C.由得，的定義域為。故，解得。故的定義域為5、已知

9、函數的定義域為，求的定義域。解析由已知，有（1）當時，定義域為；（2）當，即時，有，定義域為；（3）當，即時，有，定義域為.故當時，定義域為；當時，定義域為點評對于含有參數的函數，求其定義域，必須對字母進行討論，要注意思考討論字母的方法。練習二（5）同步練習：1函數y（x23x2）的單調遞減區間是（）A（，1）B（2，）C（，）D（，）解析：先求函數定義域為（o，1）（2，），令t（x）x23x2，函數t（x）在（，1）上單調遞減，在（2，）上單調遞增，根據復合函數同增異減的原則，函數y（x23x2）在（2，）上單調遞減答案：B2找出下列函數的單調區間.（1）；（2）答案：(1)在上是增函數，

10、在上是減函數。（2）單調增區間是，減區間是。3、討論的單調性。答案：時為增函數，時，為增函數。4求函數y（x25x4）的定義域、值域和單調區間解：由（x）x25x40，解得x4或x1，所以x（，1）（4，），當x（，1）（4，），x25x4R，所以函數的值域是R因為函數y（x25x4）是由y（x）與（x）x25x4復合而成，函數y（x）在其定義域上是單調遞減的，函數（x）x25x4在（，）上為減函數，在，上為增函數考慮到函數的定義域及復合函數單調性，y（x25x4）的增區間是定義域內使y（x）為減函數、（x）x25x4也為減函數的區間，即（，1）；y（x25x4）的減區間是定義域內使y（x）為

11、減函數、（x）x25x4為增函數的區間，即（4，）變式練習一、選擇題1函數f（x）的定義域是（）A（1，）B（2，）C（，2）D解析：要保證真數大于0，還要保證偶次根式下的式子大于等于0，所以解得1x2答案：D2函數y（x23x2）的單調遞減區間是（）A（，1）B（2，）C（，）D（，）解析：先求函數定義域為（o，1）（2，），令t（x）x23x2，函數t（x）在（，1）上單調遞減，在（2，）上單調遞增，根據復合函數同增異減的原則，函數y（x23x2）在（2，）上單調遞減答案：B3若2（x2y）xy，則的值為（）A4B1或C1或4D錯解：由2（x2y）xy，得（x2y）2xy，解得x4y或xy

12、，則有或1答案：選B正解：上述解法忽略了真數大于0這個條件，即x2y0，所以x2y所以xy舍掉只有x4y答案：D4若定義在區間（1，0）內的函數f（x）（x1）滿足f（x）0，則a的取值范圍為（）A（0，）B（0，1）C（，）D（0，）解析：因為x（1，0），所以x1（0，1）當f（x）0時，根據圖象只有02al，解得0a（根據本節思維過程中第四條提到的性質）答案：A5函數y（1）的圖象關于（）Ay軸對稱Bx軸對稱C原點對稱D直線yx對稱解析：y（1），所以為奇函數形如y或y的函數都為奇函數答案：C二、填空題已知y（2ax）在0，1上是x的減函數，則a的取值范圍是_解析：a0且a1（x）2ax

13、是減函數，要使y（2ax）是減函數，則a1，又2ax0a（0x1）a2，所以a（1，2）答案：a（1，2）7函數f（x）的圖象與g（x）（）x的圖象關于直線yx對稱，則f（2xx2）的單調遞減區間為_解析：因為f（x）與g（x）互為反函數，所以f（x）x則f（2xx2）（2xx2），令（x）2xx20，解得0x2（x）2xx2在（0，1）上單調遞增，則f（x）在（0，1）上單調遞減；（x）2xx2在（1，2）上單調遞減，則f（x）在1，2）上單調遞增所以f（2xx2）的單調遞減區間為（0，1）答案：（0，1）8已知定義域為R的偶函數f（x）在0，上是增函數，且f（）0，則不等式f（log4x）

14、0的解集是_解析：因為f（x）是偶函數，所以f（）f（）0又f（x）在0，上是增函數，所以f（x）在（，0）上是減函數所以f（log4x）0log4x或log4x解得x2或0x答案：x2或0x三、解答題9求函數y（x25x4）的定義域、值域和單調區間解：由（x）x25x40，解得x4或x1，所以x（，1）（4，），當x（，1）（4，），x25x4R，所以函數的值域是R因為函數y（x25x4）是由y（x）與（x）x25x4復合而成，函數y（x）在其定義域上是單調遞減的，函數（x）x25x4在（，）上為減函數，在，上為增函數考慮到函數的定義域及復合函數單調性，y（x25x4）的增區間是定義域內使y（x）為減函數、（x）x25x4也為減函數的區間，即（，1）；y（x25x4）的減區間是定義域內使y（x）為減函數、（x）x25x4為增函數的區間，即（4，）10設函數f（x），（1）求函數f（x）的定義域；（2）判斷函數f（x）的單調性，并給出證明；（3）已知函數f（x）的反函數f1（x），問函數yf1（x）的圖象與x軸有交點嗎?若有，求出交點坐標；若無交點，說明理由解：（1）由3x50且0，解得x且x取交集得x（2）令（x），隨著x增大，函數值減小，所以在定義域內是減函數