1、精選文檔第八節 多元函數的極值及其求法教學目的：了解多元函數極值的定義，熟練掌握多元函數無條件極值存在的判定方法、求極值方法，并能夠解決實際問題。熟練使用拉格朗日乘數法求條件極值。教學重點：多元函數極值的求法。教學難點：利用拉格朗日乘數法求條件極值。教學內容：一、 多元函數的極值及最大值、最小值定義 設函數在點的某個鄰域內有定義，對于該鄰域內異于的點，如果都適合不等式，則稱函數在點有極大值。如果都適合不等式 ，則稱函數在點有極小值極大值、極小值統稱為極值。使函數取得極值的點稱為極值點。例1 函數在點（0，0）處有極小值。因為對于點（0，0）的任一鄰域內異于(0，0)的點，函數值都為正，而在點（

2、0，0）處的函數值為零。從幾何上看這是顯然的，因為點（0，0，0）是開口朝上的橢圓拋物面的頂點。例 函數在點（0，0）處有極大值。因為在點（0，0）處函數值為零，而對于點（0，0）的任一鄰域內異于（0，0）的點，函數值都為負，點（0，0，0）是位于平面下方的錐面的頂點。例函數在點（0，0）處既不取得極大值也不取得極小值。因為在點（0，0）處的函數值為零，而在點（0，0）的任一鄰域內，總有使函數值為正的點，也有使函數值為負的點。 定理1（必要條件） 設函數在點具有偏導數，且在點處有極值，則它在該點的偏導數必然為零： 證 不妨設在點處有極大值。依極大值的定義，在點的某鄰域內異于的點都適合不等式 特

3、殊地，在該鄰域內取，而的點，也應適合不等式 這表明一元函數在處取得極大值，因此必有 類似地可證 從幾何上看，這時如果曲面在點處有切平面，則切平面成為平行于坐標面的平面。 仿照一元函數，凡是能使同時成立的點稱為函數的駐點，從定理1可知，具有偏導數的函數的極值點必定是駐點。但是函數的駐點不一定是極值點，例如，點（0，0）是函數的駐點，但是函數在該點并無極值。 怎樣判定一個駐點是否是極值點呢 ？下面的定理回答了這個問題。定理2（充分條件） 設函數在點的某鄰域內連續且有一階及二階連續偏導數，又，令則在處是否取得極值的條件如下：(1)時具有極值，且當時有極大值，當時有極小值；(2)時沒有極值；(3)時可

4、能有極值，也可能沒有極值，還需另作討論。這個定理現在不證。利用定理1、2，我們把具有二階連續偏導數的函數的極值的求法敘述如下：第一步 解方程組 求得一切實數解，即可以得到一切駐點。第二步 對于每一個駐點，求出二階偏導數的值，和。第三步 定出的符號，按定理2的結論判定是否是極值、是極大值還是極小值。例1 求函數的極值。解 先解方程組 求得駐點為（1,0）、（1,2）、（-3,0）、（-3,2）。再求出二階偏導數在點(1,0) 處，又，所以函數在處有極小值；在點(1,2) 處，所以(1,2)不是極值；在點(-3,0) 處，所以(-3,0)不是極值；在點(-3,2) 處，又所以函數在(-3,2)處有

5、極大值(-3,2)=31。例2 某廠要用鐵板作成一個體積為2m3的有蓋長方體水箱。問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時，才能使用料最省。解 設水箱的長為，寬為，則其高應為，此水箱所用材料的面積 ，即 （，）可見材料面積是和的二元函數，這就是目標函數，下面求使這函數取得最小值的點。令 ， 解這方程組，得： ，從這個例子還可看出，在體積一定的長方體中，以立方體的表面積為最小。二、條件極值 拉格朗日乘數法拉格朗日乘數法 要找函數在附加條件下的可能極值點，可以先構成輔助函數 其中為某一常數求其對與的一階偏導數，并使之為零，然后與方程(2)聯立 （1）由這方程組解出，及，則其中，就是函數在附加條件下的可能極值

6、點的坐標。這方法還可以推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形。例如，要求函數 在附加條件 ， (2)下的極值，可以先構成輔助函數其中，均為常數，求其一階偏導數，并使之為零，然后與(2)中的兩個方程聯立起來求解，這樣得出的就是函數在附加條件(2)下的可能極值點的坐標。至于如何確定所求得的點是否極值點，在實際問題中往往可根據問題本身的性質來判定。例3 求表面積為而體積為最大的長方體的體積。解 設長方體的三棱長為， 則問題就是在條件 （3）下，求函數 的最大值。構成輔助函數 求其對x、y、z的偏導數，并使之為零，得到 （4）再與(10)聯立求解。因、都不等于零，所以由(11)可得 ，由以上兩式解得 將此代入式(10)，便得 =這是唯一可能的極值點。因為由問題本身可知最大值一定存在，所以最大值就在這個可能的極值點處取得。也就是說，表面積為的長方體中，以棱長為的正方體的體積為最大，最大體積。小結：本節以一元函數極值為基礎，研究多元函數的最大值、最