1、第二章 完全信息靜態信息博弈-納什均衡n一 博弈的基本概念及戰略表述n二 占優戰略均衡n三 重復剔除的占優均衡n四 納什均衡n五 納什均衡應用舉例二 占優戰略均衡 案例1-囚徒困境-8，-80，-10-10，0-1，-1囚徒A囚徒 B坦白抵賴坦白抵賴抵賴是A的嚴格劣戰略抵賴是B的嚴格劣戰略三 重復剔除的占優均衡 5，14，49，-10，0等待小豬大豬按等待按案例2-智豬博弈按是小豬的嚴格劣戰略-剔除4大于10大于-1“按”是大豬的占優戰略，納什均衡：大豬按，小豬等待四 納什均衡n尋找納什均衡0，44，05，34，00，45，33，53，56，6C2R1R2C1C3R3參與人B參與人A（R3，C

2、3）是納什均衡）是納什均衡四 納什均衡n練習：n投票博弈：假定有三個參與人（1，2和3）要在三個項目（A，B和C）中投票選擇一個，三個參與人同時投票，不允許棄權，因此戰略空間為Si=（A，B，C）。得票最多的項目被選中，如果沒有任何項目得到多數票，項目A被選中，參與人的支付函數如下： u1（A）=u2（B）=u3（C） u1（B）=u2（C）=u3（A） u1（C）=u2（A）=u3（B） 找出這個博弈中所有的納什均衡。五 混合戰略納什均衡n社會福利博弈 23， 3-1， 1-1， 00，流浪流浪漢政府救濟不救濟尋找工作沒有一個戰略組合構成納什均衡五 混合戰略納什均衡n社會福利博弈 23， 3

3、-1， 1-1， 00，流浪流浪漢政府救濟不救濟尋找工作設：政府救濟的概率：1/2 ；不救濟的概率：1/2。流浪漢：尋找工作的概率：0. 2；流浪的概率：0.8每個參與人的戰略都是給定對方混合戰略時的最優戰略五 混合戰略納什均衡戰略：參與人在給定信息集的情況下選擇行動的規則，戰略：參與人在給定信息集的情況下選擇行動的規則，它規定參與人在什么情況下選擇什么行動，是參與人它規定參與人在什么情況下選擇什么行動，是參與人的的“相機行動方案相機行動方案”。v純戰略：如果一個戰略規定參與人在每一個給定的信純戰略：如果一個戰略規定參與人在每一個給定的信 息情況下息情況下只選擇一種特定只選擇一種特定的行動，該

4、戰略為的行動，該戰略為 純戰略純戰略。v混合戰略：如果一個戰略規定參與人在給定信息情況混合戰略：如果一個戰略規定參與人在給定信息情況 下下以某種概率分布隨機地選擇不同的行動以某種概率分布隨機地選擇不同的行動， 則該戰略為混合戰略。則該戰略為混合戰略。五 混合戰略納什均衡n純戰略可以理解為混合戰略的特例，即在諸多戰略中，選該純戰略si的概率為1，選其他純戰略的概率為0。5，14，49，-10，0等待小豬大豬按等待按 1-1， -11， -11， 1-1，反面正面反面正面五 混合戰略納什均衡 23， 3-1， 1-1， 00，流浪流浪漢政府救濟不救濟尋找工作2 . 00151510111311*故

5、化的一階條件：求微分，得到政府最優）（）（）（）（），（：政府的期望效用函數為）。，（流浪漢的混合戰略是）；，（假定政府的混合戰略是GLGLGvv即：流浪漢以0.2的概率選擇尋找工作，0.8的概率選擇游蕩同樣，可以根據流浪漢的期望效用函數找到政府的最優混合戰略。？支付最大化法五 混合戰略納什均衡n社會福利博弈 23， 3-1， 1-1， 00，流浪流浪漢政府救濟不救濟尋找工作設：政府救濟的概率：1/2 ；不救濟的概率：1/2。流浪漢：尋找工作的概率：0. 2；流浪的概率：0.8每個參與人的戰略都是給定對方混合戰略時的最優戰略五 混合戰略納什均衡n假定最優混合戰略存在，給定流浪漢選擇混合戰略（r

6、，1- r），政府選擇純戰略救濟的期望效用為： 3r+（-1）（1-r）=4r-1n選擇純戰略不救濟的效用為：-1r+0（1-r）=-rn如果一個混合戰略（而不是純戰略）是政府的最優選擇，一定意味著政府在救濟與不救濟之間是無差異的。 4r-1=-r r=0.2 23， 3-1， 1-1， 00，流浪流浪漢政府救濟不救濟尋找工作支付等值法五 混合戰略納什均衡n社會福利博弈 23， 3-1， 1-1， 00，流浪流浪漢政府救濟不救濟尋找工作設：政府救濟的概率：1/2 ；不救濟的概率：1/2。流浪漢：尋找工作的概率：0. 2；流浪的概率：0.8每個參與人的戰略都是給定對方混合戰略時的最優戰略五 混合

7、戰略納什均衡n對 的解釋：n如果流浪漢以找工作的概率小于0.2, 則政府選擇不救濟,如果大于0.2,政府選擇救濟 ,只有當概率等于0.2時,政府才會選擇混合戰略或任何純戰略.n對 *= 0.5的解釋n如果政府救濟的概率大于0.5,流浪漢的最優選擇是流浪,如果政府救濟的概率小于0.5,流浪漢的最優選擇是尋找工作.2 . 0* 五 混合戰略納什均衡n混合戰略納什均衡的含義：n納什均衡要求每個參與人的混合戰略是給定對方的混合戰略下的最優選擇。因此在社會福利博弈中， ， *=0.5是唯一的混合戰略納什均衡。n從反面來說，如果政府認為流浪漢選擇尋找工作的概率嚴格小于0.2，那么政府的唯一最優選擇是純戰略

8、：不救濟；n如果政府以1的概率選擇不救濟，流浪漢的最優選擇是尋找工作，這又將導致政府選擇救濟的戰略，流浪漢則選擇游蕩。如此等等。2 . 0* 流浪漢尋找工作的概率小于0.2政府概率為1：不救濟流浪漢尋找工作政府救濟五 混合戰略納什均衡n練習：模型化下述劃拳博弈：n兩個老朋友在一起喝酒，每個人有四個純戰略：杠子、老虎、雞和蟲子，輸贏規則是：杠子降雞，雞吃蟲子，蟲子降杠子，兩人同時出令。如果一個打敗另一個，贏的效用為1，輸的效用為-1，否則效用為0，寫出這個博弈的支付矩陣，這個博弈有純戰略均衡嗎？計算其混合戰略納什均衡。六 納什均衡存在性及相關討論不同均衡概念的關系占優均衡DSE重復剔除占優均衡I

9、EDE純戰略納什均衡PNE混合戰略納什均衡MNE六 納什均衡存在性及相關討論n納什均衡存在性定理：每一個有限博弈至少存在一個納什均衡（純戰略的或混合戰略的）。六 納什均衡存在性及相關討論n一個博弈可能有多個均衡：兩個人分蛋糕；性別戰中的博弈；n納什均衡的多重性：博弈論并沒有一個一般的理論證明納什均衡結果一定能出現2，10，00，01，2芭蕾女男足球芭蕾足球六 納什均衡存在性及相關討論如何保證均衡出現：1、“聚點”均衡：參與人可以使用某些被抽象掉的信息達到一個“聚點均衡”。兩個人分蛋糕；性別戰中的博弈；兩人同時給對方打電話六 納什均衡存在性及相關討論2、廉價磋商-“協調博弈”n盡管無法保證磋商會

10、達成一個協議，即使達成協議也不一定會被遵守，但在一些博弈中，事前磋商確實可以使某些均衡實際上出現。9，90，00，01，1RBAUDL9，90，88，07，7RBAUDL聚點六 納什均衡存在性及相關討論n獵人博弈和帕累托優勢：10，100，44，04，4打兔獵人乙獵人甲獵鹿打兔獵鹿有兩個納什均衡：（10，10）與（4，4）；可以認為：（10，10）比（4，4）有帕累托優勢六 納什均衡存在性及相關討論n大流士陰謀推翻波斯王國的故事：n當時，一群波斯貴族聚在一起決定推翻國王，其間有人提議休會，大流士此時站出來大聲疾呼，說如果休會的話，就一定會有人去國王那里告密，因為如果別人不那么做的話，他自己就會

11、去做，大流士說唯一的辦法就是沖進皇宮，殺死國王。n這個謀反的故事還提供了關于協調博弈的出路。在殺死國王之后，貴族們想從自己人中推選出一個人當國王，他們決定不自相殘殺，而是在佛曉十分到山上去，誰的馬先叫誰就當國王。大流士的馬夫在這場隨機的安排中做了手腳，從而成為國王。六 納什均衡存在性及相關討論3、學習過程 假定博弈重復多次，即使參與人最初難以協調行動，在博弈若干次后，某種特定的協調模式可能會形成，特別地，假定參與人每一輪根據其對手以前的“平均”戰略來選擇自己的最優戰略，博弈可能收斂于一個納什均衡。納什均衡應用舉例n諾貝爾經濟學獎獲得者薩繆爾森有一句話：你可以將一只鸚鵡訓練成一個經濟學家，因為它

12、只需要學習兩個詞：供給和需求。n博弈論專家坎多瑞引申說：要成為現代經濟學家，這只鸚鵡必須再多學一個詞，就是“納什均衡”。納什均衡應用舉例n案例1 庫諾特（Cournot）寡頭競爭模型n案例2 公共地的悲劇n案例3 普林斯頓大學的一道習題案例1 庫諾特（Cournot）寡頭競爭模型企業1企業2v參與人：企業參與人：企業1 1、企業、企業2 2v戰略：戰略： 選擇產量選擇產量v支付：支付： 利潤，利潤是兩個企業產量的函數利潤，利潤是兩個企業產量的函數案例1 庫諾特（Cournot）寡頭競爭模型nqi ：第i個企業的產量nCi（qi）代表成本函數nP=P（q1+q2）：價格是兩個企業產量的函數n第i

13、個企業的利潤函數為：企業1企業22 , 1),()(),(2121iqCqqPqqqiiii案例1 庫諾特（Cournot）寡頭競爭模型n（q1*，q2*）是納什均衡意味著：)(),(),(maxarg)()(),(maxarg222*122*12*211*211*211*1qCqqPqqqqqCqqPqqqq 找出納什均衡的方法是對每個企業的利潤函數求一階導數，使其為0。0)()()(0)()()(222122122112112111qCqqPqqqPqqCqqPqqqPq)()(12*221*1qRqqRq案例1 庫諾特（Cournot）寡頭競爭模型)()(12*221*1qRqqRqq2

14、q1*1q*2q)(21qR)(12qR每個企業的最優產量是另一個企業的產量的函數。交叉點即納什均衡點案例1 庫諾特（Cournot）寡頭競爭模型n假定每個企業有不變的單位成本：cqqCcqqC222111)()(假定需求函數為：)(21qqaP0)(0)(2212212111cqqqaqcqqqaq最優化的一階條件是：)(21)()(21)(112*2221*1cqaqRqcqaqRq)(31*2*1caqq解反應函數得納什均衡為：壟斷利潤為：2*2*12*2*11)(91),(),(caqqqq案例1 庫諾特（Cournot）寡頭競爭模型n為什么說庫諾特（Cournot）寡頭競爭模型是典型

15、的囚徒困境問題？n壟斷企業的問題：)(cQaQMaxQ壟斷企業的最優產量：)(32)(21*2*1*caqqcaQ壟斷利潤為：22)(92)(41cacam寡頭競爭的總產量大于壟斷產量的原因是：每個企業在選擇自己的最優產量時，只考慮對本企業利潤的影響，而忽視了對另外一個企業的外部負效應。案例1 庫諾特（Cournot）寡頭競爭模型n練習：n假定有n個庫諾特寡頭企業，每個企業具有相同的不變單位成本c，市場逆需求函數p=a-Q，其中p是市場價格， 是總供給量，a是大于0的常數，企業的戰略是選擇產量qi最大化利潤 ，給定其他企業的產量q-i，求庫諾特-納什均衡，均衡產量和價格如何隨n的變化而變化？為

16、什么？jjqQ)(cQaqii納什均衡應用舉例n案例1 庫諾特（Cournot）寡頭競爭模型n案例2 公共地的悲劇n案例3 普林斯頓大學的一道習題案例2 公共地的悲劇n公共地的悲劇證明：如果一種資源沒有排他性的所有權，就會導致資源的過度使用。公海捕魚小煤窯的過度發展案例2 公共地的悲劇n有n個農民的村莊共同擁有一片草地，每個農民都有在草地上放牧的自由。每年春天，農民要決定自己養多少只養。ngi：第i個農民飼養的數量，i=1,2,n. niigG1n個農民飼養的總量V: 代表每只羊的平均價值,v是G的函數,v=v(G), 因為每只羊至少要一定數量的草才不至于餓死,有一個最大的可存活量Gmax,：

17、 當G0; 當G=G(x)時,v(G)=0。案例2 公共地的悲劇n當草地上羊很少時，增加一只羊也許不會對其他羊的價值有太大影響，但隨著羊的不斷增加，每只羊的價值將急劇下降。GGmaxv0, 022GvGv參與人：農民戰略： 養羊的數量支付： 利潤案例2 公共地的悲劇n假設一只羊的價格為c，對于農民i來講，其利潤函數為：nicggvggggijinii, 1)(),(1最優化的一階條件為：nicGvgGvgiii, 1, 0)()( 上述一階條件可以解釋為：增加一只羊有正負兩方面的效應，正的效應是這只羊本身的價值v，負的效應是這只羊使所有之前的羊的價值降低。案例2 公共地的悲劇n其最優解滿足邊際

18、收益等于邊際成本：n上述n個一階條件定義了n個反應函數：niggggggniiii, 1),(111*因為：0)()(0)()()( 2 22GvgGvggGvgGvGvgiijiiii所以：0222iiijijiggggg案例2 公共地的悲劇n第i個農民的最優飼養量隨其他農民的飼養量增加而遞減。n個反應函數的交叉點就是納什均衡。niingGggg1*1*),( 盡管每個農民在決定自己增加飼養量時考慮了對現有羊價值的影響，但是他考慮的只是對自己羊的影響，而并不是對所有羊的影響，因此，最優點上的個人邊際成本小于社會邊際成本，納什均衡總飼養量大于社會最優飼養量。納什均衡應用舉例n案例1 庫諾特（Cournot）寡頭競爭模型n案例2 公共地的悲劇n案例3 普林斯頓大學的一道習題納什均衡應用舉例n如果給你兩個師的兵力，由你來當“司令”，任務是攻克“敵人”占據的一座城市，規定雙方的兵力只能整師調動。通往城市的道路只有甲乙兩條，當你發起攻擊的時候，你的兵力超過敵人，你就獲勝，你的兵力比敵人的守備兵力少或者相等，你就失敗，那么你將怎樣部署你的攻城方案？納什均衡應用舉例n敵人：四