1、編輯ppt第六節第六節 微積分基本定理微積分基本定理一、問題的提出一、問題的提出二、積分上限函數及其導數二、積分上限函數及其導數三、牛頓三、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式變速直線運動中位置函數與速度函數的聯系變速直線運動中位置函數與速度函數的聯系變速直線運動中路程為變速直線運動中路程為 21)(TTdttv 設設某某物物體體作作直直線線運運動動，已已知知速速度度)(tvv 是是時時間間間間隔隔,21TT上上t的的一一個個連連續續函函數數，且且0)( tv，求求物物體體在在這這段段時時間間內內所所經經過過的的路路程程.另一方面這段路程可表示為另一方面這段路程可表示為)()(12TsTs 一、問題的

2、提出一、問題的提出).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 其其中中 xadxxf)(考察定積分考察定積分 xadttf)(記記.)()( xadttfx積分上限函數積分上限函數 如如果果上上限限x在在區區間間,ba上上任任意意變變動動，則則對對于于每每一一個個取取定定的的x值值，定定積積分分有有一一個個對對應應值值，所所以以它它在在,ba上上定定義義了了一一個個函函數數， 二、積分上限函數及其導數二、積分上限函數及其導數)(xf,bax,ba 設函數設函數 在區間在區間 上連續，并且設上連續，并且設 為為 上的一點，上的一點，abxyo積分上限函數的性質積分上限函數的性

3、質xx 證證dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x定理定理)(xf,ba如果如果 在在 上連續，上連續，則積分上限的則積分上限的函數函數 在在 上上 具有導數，具有導數，dttfxxa )()(,ba)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 且它的導數是且它的導數是 dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由積分中值定理得由積分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x)(lim fx )(xf 例例1 1,

4、11)()1(0 xdtttxF設設解解).(xF 求求)(xF .11xx 如如果果)(tf連連續續，)(xa、)(xb可可導導， 則則dttfxFxbxa )()()()(的的導導數數)(xF 為為 一般地一般地 )()()()(xaxafxbxbf )()()(dd)(xbxadttfxxF例例2 2,1)(cossin2 xxdtttxF設設解解).(xF 求求)(xF )(sinsin1sin)(coscos1cos22 xxxxxxxxxxxxsin1sincoscos1cossin22 xxxxxxsin1sincos1cossincos編輯ppt)(xF )(12sin22 x

5、x12sin22 xx解解,12sin)()2(20 xdttxF設設).(xF 求求一般地有一般地有則有則有若若,)()()(dttfxFxa )()()(dd)()(xxfdttfxxFxa 編輯ppt例例3 3,)1ln()(1122 xdttxF設設解解).(xF 求求)(xF )12()12(1ln2 xx)12(1ln22 x一般地有一般地有則則有有若若,)()()(dttfxFbx )()()(dd)()(xxfdttfxxFbx 例例4 4.dsindd)1(20 xtttt求求. )d)(dd)2(0 xttxfx求求)d)(dd0 xttfxx原式原式. )(d)(0 xx

6、fttfx . )d)()(dd)3()(0 xttfxgx 求求 )()(dd)(0 xdttfxgx 原原式式例例5 (1)5 (1)求求.coslim020 xdttxx 解解00分析：這是分析：這是 型不定式，應用洛必達法則型不定式，應用洛必達法則.xdttxx 020coslim1coslim20 xx 20coslimxx 1 (2)(2)求求2021)(arctanlimxdttxx 解解2021)(arctanlimxdttxx 221)(arctanlimxxxx 42 (這是這是 型不定式型不定式) 例例6 6,0cos100 xeytdttdte設設解解.ddxy求求得得

7、求導求導方程兩邊對方程兩邊對,x0)1cos( xxyeeyeyxxeey )1cos(例例7 7,)(, ), 0)()1(02xdttfCxfxx 且且若若).2(f求求解解得得求導求導方程兩邊對方程兩邊對,x1)()1(322 xxxxf1)32()(232 xxxxf即即,1 x令令51)2( f得得證證 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tf

8、tx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 內內為為單單調調增增加加函函數數.證證, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0)(2)( xfxF, 1)( xf)(xF在在1 , 0上上為為單單調調增增加加函函數數., 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0 所所以以0)( xF即即原原方方程程在在1 , 0上上只只有有一一個個解解.令令, 1 , 0)(CxF 則則故故0)( xF即即原原方方程程在在1 , 0上上至至少少有有一一個個解解. . 例例1010.4arccosarcsin:22)(cos0)(sin0 xx

9、dttdtt證證明明證明證明,arccosarcsin)(22)(cos0)(sin0 xxdttdttxF令令)sin(cos2cossin2)(xxxxxxxF 則則0 .4)( xF 210210arccosarcsin)4(dttdttF 由由 210arccosarcsindttt 2102dt 4 ,)(CxF 定理定理2 2（原函數存在定理）（原函數存在定理） 如如果果)(xf在在,ba上上連連續續， 則則積積分分上上限限的的函函數數dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一個個原原函函數數. . 定理的重要意義：定理的重要意義：（1）肯定了連續函數的原函數是

10、存在的）肯定了連續函數的原函數是存在的.（2）初步揭示了積分學中的定積分與原函數之）初步揭示了積分學中的定積分與原函數之間的聯系間的聯系.定理定理 3 3（微積分基本公式）（微積分基本公式）如如果果)(xF是是連連續續函函數數)(xf在在區區間間,ba上上的的一一個個原原函函數數，則則)()()(aFbFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一個個原原函函數數, 已已知知)(xF是是)(xf的的一一個個原原函函數數，CxxF )()(,bax 證證三、牛頓三、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ),

11、()()(aFxFdttfxa ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式dxxfba )(微積分基本公式表明：微積分基本公式表明： baxF)( 一個連續函數在區間一個連續函數在區間,ba上的定積分等于上的定積分等于它的任意一個原函數在區間它的任意一個原函數在區間,ba上的增量上的增量.注意注意當當ba 時，時，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定積分問題轉化為求原函數的問題求定積分問題轉化為求原函數的問題.)()(aFbF 例例1 1 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 x

12、xx .23 解解編輯ppt例例2 2 求求 解解.112dxx 當當0 x時時，x1的的一一個個原原函函數數是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 例例3 3 設設 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上規規定定當當1 x時時，5)( xf, 102152dxxdx原原式式. 6 xyo12例例4 4 求求 .,max222 dxxx解解由圖形可知由圖形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo

13、2xy xy 122 213102023312131 xxx31382138 編輯ppt注注:1. 1. 分段函數求定積分分段函數求定積分: : 利用區間可加性利用區間可加性, ,用分段點把積分區用分段點把積分區間分成若干段間分成若干段, ,變成若干個積分變成若干個積分. .2. 2. 若被積函數為絕對值函數若被積函數為絕對值函數, , 應先去掉應先去掉絕對值化為分段函數絕對值化為分段函數. .3. 3. 若被積函數為偶次根式若被積函數為偶次根式, , 化為絕對值化為絕對值函數再去掉絕對值化為分段函數函數再去掉絕對值化為分段函數. .例例5 5 求求 .121 dxx解解1)( xxf,211

14、111 xxxx 2111)1()1(dxxdxx原原式式.25 2121122121 xxxx212 例例6 6 求求 .sinsin03 dxxx解解 02cossindxxx原原式式 0cossindxxx 202cossin)cos(sin xdxxdxxx 2232023)(sin32)(sin32 xx)32(32 34 例例 7 7 計計算算曲曲線線xysin 在在, 0 上上與與x軸軸所所圍圍 成成的的平平面面圖圖形形的的面面積積. 解解 面積面積xyo 0sin xdxA 0cos x. 2 編輯ppt.92)(2xxxf 解解例例8 8 設設,d)()(102 xxfxxx

15、f求求).(xf,d)(10axxf 設設,)(2xaxxf 則則 10d)(xxfa1023231xax ,2131a ,92 a 102d)(xxax xadttfx)()()()(xfx )()()(aFbFdxxfba 四、小結牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學與積分學之牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學與積分學之間的關系間的關系思考題思考題 設設)(xf在在,ba上上連連續續，則則dttfxa )(與與duufbx )(是是x的的函函數數還還是是t與與u的的函函數數？它它們們的的導導數數存存在在嗎嗎？如如存存在在等等于于什什么么？思考題解答思考題解答dttfxa )(與與duufbx )(都都是

16、是x的的函函數數)()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx 一一、 填填空空題題：1 1、 baxdxedxd22= =_ _ _ _ _ _ _ _ . .2 2、 xadxxfdxd)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 223)1ln(xdtttdxd_ _ _ _ _ _ _ _ . .4 4、 20)(dxxf_ _ _ _ _，其其中中 21,210,)(2xxxxxf . .5 5、設設 ,coscos1nxdxmxI dxnxmx sinsin，練練 習習 題題（1 1） 、當） 、當nm 時，時， 1I= =_ , ,2I= =_

17、_ ，（2 2） 、當） 、當nm 時，時，1I= =_ ,_ ,2I= =_ . . 6 6、設、設,sincos nxdxmx（1 1） 、當） 、當nm 時，時，3I= =_ _ , ,（2 2） 、當） 、當nm 時，時，3I= =_ . . 7 7、 94)1(dxxx_ . . 8 8、 33121xdx_ . . 9 9、 xdttxx020coslim_ . .二、二、 求導數：求導數：1 1、 設函數設函數)(xyy 由方程由方程0cos00 xyttdtdte所確所確定，求定，求dxdy ；2 2、 設設 12122,ln,lnttuduuyuduux)1( t, ,求求2

18、2dxyd ；3 3、 xxdttdxdcossin2)cos( ；4 4、設、設 2031)(xxdxxg，求，求)1(g . . 三、三、 計算下列各定積分：計算下列各定積分：1 1、 2122)1(dxxx; 2; 2、 212121xdx; ;3 3、 012241133dxxxx; 4; 4、 20sindxx . .四、四、 求下列極限：求下列極限：1、 xtxtxdtedte022022)(lim; 2、2502021)cos1(limxdttxx .五、五、 設設)(xf為連續函數，證明為連續函數，證明: : xxtdtduufdttxtf000)()( . .六、六、 求函數求函數 xdttttxf02