1、彈性力學(xué)簡明教程（第四版）課后習(xí)題解答徐芝綸第一章緒論1-1試舉例說明什么是均勻的各向異性體，什么是非均勻的各向同性體？【分析】均勻的各項(xiàng)異形體就是滿足均勻性假定，但不滿足各向同性假定：非均勻的各 向異性體，就是不滿足均勻性假定，但滿足各向同性假定。【解答】均勻的各項(xiàng)異形體如：竹材，木材。非均勻的各向同性體如：混凝土。1-2 一般的混凝土構(gòu)件和鋼筋混凝土構(gòu)件能否作為理想彈性體？ 一般的巖質(zhì)地基和 土質(zhì)地基能否作為理想彈性體？【分析】能否作為理想彈性體，要判定能否滿足四個(gè)假定：連續(xù)性，完全彈性，均勻性, 各向同性假定。【解答】一般的混凝土構(gòu)件和土質(zhì)地基可以作為理想彈性體；一般的鋼筋混凝土構(gòu)件和

2、巖質(zhì)地基不可以作為理想彈性體。1-3五個(gè)基本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時(shí)有什么作用？【解答】（1）連續(xù)性假定：假定物體是連續(xù)的，也就是假定整個(gè)物體的體枳都被組成這 個(gè)物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙。引用這一假定后，物體的應(yīng)力、形變和位移等物理 量就可以看成是連續(xù)的。因此，建立彈性力學(xué)的基本方程時(shí)就可以用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示 他們的變化規(guī)律。完全彈性假定：假定物體是完全彈性的，即物體在對應(yīng)形變的外力被去除后，能夠完全 恢匆原型而無任何形變。這一假定，還包含形變與引起形變的應(yīng)力成正比的涵義，亦即兩者 之間是成線性關(guān)系的，即引用這一假定后，應(yīng)力與形變服從胡克定律，從而使物理方程成為 線性的方程，其

3、彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或形變的大小而變。均勻性假定：假定物體是均勻的，即整個(gè)物體是由同一材料組成的，引用這一假定后整 個(gè)物體的所有各部分才具有相同的彈性，所研究物體的內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)的物理性質(zhì)都是相同的， 因而物體的彈性常數(shù)不隨位置坐標(biāo)而變化。各向同性假定：假定物體是各向同性的，即物體的彈性在所有各個(gè)方向都相同，引用此 假定后，物體的彈性常數(shù)不隨方向而變。小變形假定：假定位移和變形是微小的。亦即，假定物體受力以后整個(gè)物體所有各點(diǎn)的 位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體原來的尺寸，而且應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1。這樣在建立物體變形以后的 平衡方程時(shí)，就可以方便的用變形以前的尺寸來代替變形以后的尺寸。在考察物體的位移與 形變的關(guān)系時(shí)

4、，它們的二次累或乘積相對于其本身都可以略去不計(jì)，使得彈性力學(xué)中的微分方程都簡化為線性的微分方程。1-41應(yīng)力和面力的符號規(guī)定有什么區(qū)別？試畫出正坐標(biāo)面和負(fù)坐標(biāo)面上的正的應(yīng)力 和正的面力的方向。【解答】應(yīng)力的符號規(guī)定是：當(dāng)作用面的外法線方向指向坐標(biāo)軸方向時(shí)（即正面時(shí)）， 這個(gè)面上的應(yīng)力（不論是正應(yīng)力還是切應(yīng)力）以沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸的負(fù)方向 為負(fù)。當(dāng)作用面的外法線指向坐標(biāo)軸的負(fù)方向時(shí)（即負(fù)面時(shí)），該面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的 負(fù)方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸的正方向?yàn)樨?fù)。面力的符號規(guī)定是：當(dāng)面力的指向沿坐標(biāo)軸的正方向時(shí)為正，沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。由下圖可以看出，正面上應(yīng)力分量與面力分量同號，負(fù)面上應(yīng)力

5、分量與面力分量符號相 反。XV，.I負(fù)面正面% 7% X負(fù)面正的面力正的應(yīng)力1-5試比較彈性力學(xué)和材料力學(xué)中關(guān)于切應(yīng)力的符號規(guī)定。【解答】材料力學(xué)中規(guī)定切應(yīng)力符號以使研究對象順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的切應(yīng)力為正，反之為負(fù)。彈性力學(xué)中規(guī)定，作用于正坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎饔糜谪?fù)坐標(biāo) 面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎粗疄樨?fù)。1-6試舉例說明正的應(yīng)力對應(yīng)于正的形變。【解答】正的應(yīng)力包括正的正應(yīng)力與正的切應(yīng)力，正的形變包 括正的正應(yīng)變與正的切應(yīng)變，本題應(yīng)從兩方面解答。正的正應(yīng)力對應(yīng)于正的正應(yīng)變：軸向拉伸情況下，產(chǎn)生軸向拉 應(yīng)力為正的應(yīng)力，引起軸向伸長變形，為正的應(yīng)變。正的切應(yīng)力對應(yīng)于正的切應(yīng)變

6、：在如圖所示應(yīng)力狀態(tài)情況下， 切應(yīng)力均為正的切應(yīng)力，引起直角減小，故為正的切應(yīng)變。1-7試畫出圖中矩形薄板的正的體力、面力和應(yīng)力的方向。【解答】正的體力、面力1-8試畫出圖1-5中三角形薄板的正的面力和體力的方向。【解答】1-9在圖1-3的六面體上，y面上切應(yīng)力的合力與z面上切應(yīng)力.的合力是否相 等？【解答】切應(yīng)力為單位面上的力，量綱為匚】加77,單位為因此，應(yīng)力的合力應(yīng)乘以相應(yīng)的面積，設(shè)六面體微元尺寸如dxxdyxda則V面上切應(yīng)力心的合力為：ryz dx dz(a)z面上切應(yīng)力r.v的合力為：1也心(b)由式(a) (b)可見，兩個(gè)切應(yīng)力的合力并不相等。【分析】作用在兩個(gè)相互垂直面上并垂直

7、于該兩面交線的切應(yīng)力的合力不相等，但對某 點(diǎn)的合力矩相等，才導(dǎo)出切應(yīng)力互等性。第二章平面問題的基本理論2-1試分析說明，在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中（圖2-14）其應(yīng)力狀態(tài)接近 于平面應(yīng)力的情況。【解答】在不受任何面力作用的空間表面附近的薄層中，可以認(rèn)為在該 薄層的上下表面都無面力，且在薄層內(nèi)所有各點(diǎn)都有q =%二=%二=0,只存在平面應(yīng)力分量b、.,7“，且它們不沿z方向變化，僅為x, y的函數(shù)。可以認(rèn)為此問題是平面應(yīng)力問題。【2-2】試分析說明，在板面上處處受法向約束且不受切向面力作用的等厚度薄片中（2-15）,當(dāng) 板邊上只受打y向的面力或約束，且不沿厚度變化時(shí)，其應(yīng)變狀態(tài)接

8、近于平面應(yīng)變的情況。【解答】板上處處受法向約束時(shí)名=0 ,且不受切向面力作用，則/ /4 =&二°（相應(yīng)%=%=°）板邊上只受X,），向的面力或約束，所以僅存/ 在4,4/口,且不沿厚度變化，僅為X，y的函數(shù)，故其應(yīng)變狀態(tài)接近于平面彳 應(yīng)變的情況。Z2-3在圖2-3的微分體中，若將對形心的力矩平很條 件ZMc = 0改為對角點(diǎn)的力矩平衡條件，試問將導(dǎo)出什么形 式的方程？解答】將對形心的力矩平衡條件ZMc = 0,改為分別 對四個(gè)角點(diǎn)A、B、D、E的平衡條件，為計(jì)算方便，在z方 向的尺寸取為單位1。71dx /f dy /x f ff dy(a)dedx-(%+言辦加

9、萬+(%+dy)dx 1 力 + fxdxdy 1 處一 fxdxdy -1 = 0 22adx 1 + (ctv + dx)dy -(rxy + dx)dy Adx-a.dy !- 2 3x2 3x2(% + 鄉(xiāng) dx)dy/ + (% + ? dy)dx-dy + (% + * dy)dx-1-&2分2-rxydy I dx-(yxdy 1 蟲一adx+ fxdxdy1也 + f、,dxdy-1- -= 0 2222lb、dxdv(crv + -dy)dxA' - - Txydy -l-dx+cydy 1 + ryxdx-l- dydy2211ay / d(ydy r t

10、dy r . . . dx A(y dx A (b +-dx)dydxdy - 1 + j dxdy-l = 02 x dx 2 A 22z%=°Godxdydx一(5力)心1一+0辦1二+ T、/xl辦+ (7VdXl一一dy222(d) dvdxdx)dy - 1 - dx- fxdxdy - 1 + fydxdy '1- = ()22de dy伍+除因力/萬一（+*略去（a）、（b）、（c）、（d）中的三階小量（亦即令d'dy,dxdb都趨于0）,并將各式都除以公辦后合并同類項(xiàng),分別得到% 【分析】由本題可得出結(jié)論：微分體對任一點(diǎn)取力矩平衡得到的結(jié)果都是驗(yàn)證了切

11、應(yīng)力互等定理。【22】在圖2-3和微分體中，若考慮每一面上的應(yīng)力分量不是均勻分布的，驗(yàn)證將導(dǎo)出什么形 式的平衡微分方程？【解答】微分單元體ABCD的邊長dx,辦都是微量，因此可以假設(shè)在各面上所受的應(yīng)力如圖a 所示，忽略了二階以上的高階微量，而看作是線性分布的，如圖（b）所示。為計(jì)算方便，單元體在 z方向的尺寸取為一個(gè)單位。八XcXQ*血皿上山）vx(b)各點(diǎn)正應(yīng)力：dea十寸9）=區(qū)；, 、 de .9） = 5 + 1辦;dyde f9)=4+黃公/ 、啊7 啊A卬十工小寸；dedo(q)c = % + 公 + dxOv9r各點(diǎn)切應(yīng)力:(Tyx)A = Tyx(%)A = Txy ；(%)8

12、 = Txy +（79）。=7今+ dx；dx6"+ dxdxdr dr9” = % + %”丫+.辦or or(%”=%+姿小+多辦由微分單元體的平衡條件EG = 0, 鞏=0,得,斗+卜得制卜+骷+等葉值+*+箓可卜- （+卜+5H卜X+即* + ,）+, +等加%+偵加。or YU I dr （ dr dr H%+蕾硼加卜卜瞪卜卜蕾加腎可卜+小=。以上二式分別展開并約簡，再分別除以公辦，就得到平面問題中的平衡微分方程:也+空L +dx dyA = o；注+”dy*dx【分析】由本題可以得出結(jié)論：彈性力學(xué)中的平衡微分方程適用于任意的應(yīng)力分布形式。（2-5在導(dǎo)出平面問題的三套基本方

13、程時(shí)，分別應(yīng)用了哪些基本假定？這些方程的適用條件是 什么？【解答】（1）在導(dǎo)出平面問題的平衡微分方程和幾何方程時(shí)應(yīng)用的基本假設(shè)是：物體的連續(xù)性和 小變形假定，這兩個(gè)條件同時(shí)也是這兩套方程的適用條件。（2）在導(dǎo)出平面問題的物理方程時(shí)應(yīng)用的基本假定是：連續(xù)性，完全彈性，均勻性和各向同性假 定，即理想彈性體假定。同樣，理想彈性體的四個(gè)假定也是物理方程的使用條件。【思考題】平面問題的三套基本方程推導(dǎo)過程中都用到了哪個(gè)假定？（2-6在工地上技術(shù)人員發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直徑和厚度相同的情況下，在自重作用下的鋼圓環(huán)（接近平 面應(yīng)力問題）總比鋼圓筒（接近平面應(yīng)變問題）的變形大。試根據(jù)相應(yīng)的物理方程來解釋這種現(xiàn)象。【解答】

14、體力相同情況下，兩類平面問題的平衡微分方程完全相同，故所求的應(yīng)力分量相同。由物理方程可以看出，兩類平面問題的物理方程主要的區(qū)別在于方程中含彈性常數(shù)的系數(shù)。由于E 為GPa級別的量，而泊松比取值一般在（0, 0.5）,故主要控制參數(shù)為含有彈性模量的系數(shù)項(xiàng)，比 較兩類平面問題的系數(shù)項(xiàng)，不難看出平面應(yīng)力問題的系數(shù)1/£要大于平面應(yīng)變問題的系數(shù)（1-笛）/石。因此，平面應(yīng)力問題情況下應(yīng)變要大，故鋼圓環(huán)變形大。2-7在常體力，全部為應(yīng)力邊界條件和單連體的條件下，對于不同材料的問題和兩類平面問 題的應(yīng)力分量巴.和%均相同。試問其余的應(yīng)力，應(yīng)變和位移是否相同？【解答】（1）應(yīng)力分量：兩類平面問題的

15、應(yīng)力分量%和%均相同，但平面應(yīng)力問題4 = J = %： = °，而平面應(yīng)變問題的J = % = o,q = 4（q + q）。（2）應(yīng)變分量：已知應(yīng)力分量求應(yīng)變分量需要應(yīng)用物理方程，而兩類平面問題的物理方程不相 同，故應(yīng)變分量=八二=。/刈相同，而邑,與，殍不相同。（3）位移分量：由于位移分量要靠應(yīng)變分量積分來求解，故位移分量對于兩類平面問題也不同。9圖216【2-8】在圖2-16中，試導(dǎo)出無面力作用時(shí)AB邊界上的a，a, 之間的關(guān)系式【解答】由題可得：/ = cos «,/« = cos（67-90 ） = sin afx（AB） = 0jy（AB） = 0將

16、以上條件代入公式（2-15）,得：（?）" 。8 sm。= °，（4）" sin a + （%）" cos a 二。A SJs = -（0產(chǎn) a = 9）/"，a【2-9】試列出圖2-17,圖2-18所示問題的全部邊界條件。在其端部小邊界上，應(yīng)用圣維南原 理列出三個(gè)枳分的應(yīng)力邊界條件。V/>)，(hz»b)圖 2-17圖 2.18【分析】有約束的邊界上可考慮采用位移邊界條件，若為小邊界也可寫成圣維南原理的三個(gè)積 分形式，大邊界上應(yīng)精確滿足公式(2-15)。【解答】圖2-17：上(v=0)左。=0)右(.v=b)/0-11m-10

17、0工(s)0og(y+4)_pg(y+%)Pgh100代入公式(2-15)得在主要邊界上x=0,上精確滿足應(yīng)力邊界條件：(q)- = -pg(y+J，(%L = o；(%晨二一屐()'+九)，(%). 二 °；在小邊界y = 0上，能精確滿足下列應(yīng)力邊界條件:()v=o=-(r-Lo = O在小邊界y = h2上，能精確滿足下列位移邊界條件:()=。，3),=。 /=生 7 y=h這兩個(gè)位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替，當(dāng)板厚5=1 時(shí)，可求得固定端約束反力分別為：F, = 0, Fn = -pghb,M = 0由于y =久為正面，故應(yīng)力分量與

18、面力分量同號，則有:二一夕刎<(巴)xdx = 0JO v '八=限 .(%) /公=°J 0 - / v=/u圖2-18上下主要邊界產(chǎn)4/2,產(chǎn)/1Z2上，應(yīng)精確滿足公式（2-15）lm74（s）hV = 一一0-10q2hy =-01-<7i02(b1V=如2 = 一(I 9 (rvA)y=./>/2 =。，(b».)尸及2 =。» (rvA)y=A/2 = 一4在X=0的小邊界上，應(yīng)用圣維南原理，列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：負(fù)面上應(yīng)力與面力符 號相反，有rh/2f/仍9)=0公=一心Ch/2J 小9)=0 必=-M在X二/的小邊界上

19、，可應(yīng)用位移邊界條件I = 0,匕=/ = 0這兩個(gè)位移邊界條件也可改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替。首先，求固定端約束反力，按面力正方向假設(shè)畫反力，如圖所示，列平衡方程求反力:陽£F =0、Fn + F；= qj n F: =qj-&£F、=0,Fs + F + ql = 0 = F = ql Fs工MA=O,M + M*FJ + Lq 尸一LqJh = 0 = M =-M-Fj d2222由于x=/為正面，應(yīng)力分量與面力分量同號，故rh/2【心（巴）-心=4=，1，一人. £ 9Ji她="=哈-用-小號£（%）1外=尸S【2-10】

20、試應(yīng)用圣維南原理，列出圖2-19所示的兩個(gè)問題中 OA邊上的三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件，并比較兩者的面力是否是是 靜力等效？【解答】由于/，OA為小邊界，故其上可用圣維南原理, 寫出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：- x（a）上端面OA面上面力fx = 0,人=-qb由于OA面為負(fù)面，故應(yīng)力主矢、主矩與面力主矢、主矩符 號相反，有小一17處=痣2=快, a :x (b t qb2xdx = - fvxdx = q x dx =2一Jo Jy)12 (對OA 中點(diǎn)取矩)dx=0（b ）應(yīng)用圣維南原理,負(fù)面上的應(yīng)力主矢和主矩與面力主矢和主矩符號相反,面力主矢y向?yàn)檎? 主矩為負(fù)，則dx = -Fv =- -J

21、o y /y=oa 2,£（%）,»=_“ 金£（%）"=o綜上所述，在小邊界OA上，兩個(gè)問題的三個(gè)枳分的應(yīng)力邊界條件相同，故這兩個(gè)問題是靜力 等效的。2-11檢驗(yàn)平面問題中的位移分量是否為正確解答的條件是什么？【解答】（1）在區(qū)域內(nèi)用位移表示的平衡微分方程式（2-18）；（2）在上用位移表示的應(yīng)力邊界條件式（2-19）；（3）在上的位移邊界條件式（2-14）；對于平面應(yīng)變問題，需將E、作相應(yīng)的變換。【分析】此問題同時(shí)也是按位移求解平面應(yīng)力問題時(shí)，位移分量必須滿足的條件。2-12檢驗(yàn)平面問題中的應(yīng)力分量是否為正確解答的條件是什么？【解答】（1）在區(qū)域A內(nèi)

22、的平衡微分方程式（2-2）；（2）在區(qū)域A內(nèi)用應(yīng)力表示的相容方程式（2-21）或（2-22）；（3）在邊界上的應(yīng)力邊界條件式（2-15）,其中假設(shè)只求解全部為應(yīng)力邊界條件的問題:（4）對于多連體，還需滿足位移單值條件。【分析】此問題同時(shí)也是按應(yīng)力求解平面問題時(shí)，應(yīng)力分量必須滿足的條件。【補(bǔ)題】檢驗(yàn)平面問題中的應(yīng)變分量是否為正確解答的條件是什么？【解答】用應(yīng)變表示的相容方程式（2-20）（2-13檢驗(yàn)平面問題中的應(yīng)力函數(shù)是否為正確解答的條件是什么？【解答】（D在區(qū)域A內(nèi)用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程式（2-25）：（2）在邊界S上的應(yīng)力邊界條件式（2-15）,假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件;（3）若為多連體，

23、還需滿足位移單值條件。【分析】此問題同時(shí)也是求解應(yīng)力函數(shù)的條件。2-14檢驗(yàn)下.列應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答：圖 2-20圖 2-21（a）圖 2-20, o =x b2【解答】在單連體中檢驗(yàn)應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答，必須滿足：（1）平衡微分方程（2-2）； （2）用應(yīng)力表示的相容方程（2-21）； （3）應(yīng)力邊界條件（2-15）。（1）將應(yīng)力分量代入平衡微分方程式，且A = = 0d(yr dr八 do dr丁 +二一=0 = 0顯然滿足及3dx1（2）將應(yīng)力分量代入用應(yīng)力表示的相容方程式（2-21）,有等式左=d2 d2dx+df% + %)=患工0=右篇-（取梁的厚度b=l）,得出

24、所示問題的應(yīng)力分量不滿足相容方程。因此，該組應(yīng)力分量不是圖示問題的解答。（b）圖2-21,由材料力學(xué)公式，q =-j-y, rvv解答：q=2q標(biāo) rvv = _222_（/72-4y2） o又根據(jù)平衡微分方程和邊界條件得出：名二一2 二幺土。試導(dǎo)出上述公式，并檢驗(yàn)解答的正確性。-2 lh h 2 /【解答】（1）推導(dǎo)公式在分布荷載作用下，梁發(fā)生彎曲形變，梁橫截面是寬度為1,高為h的矩形，其對中性軸（Z軸）的慣性矩/ =眩，應(yīng)用截面法可求出任意截面的彎矩方程和剪力方程 12M(x) = _x：F(x) = _blqx22/所以截面內(nèi)任意點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為:得:M (x) y = -2qX

25、)'lh3£32bhh2根據(jù)平衡微分方程第二式（體力不計(jì)）。濁+Jdy dxxy c 42qr+ A lh根據(jù)邊界條件=0%號冷嚕一獷將應(yīng)力分量代入平衡微分方程（2-2） 第一式：左=-6q.Z/?3廠y /.+ y = 0=% 滿足 lh第二式自然滿足將應(yīng)力分量代入相容方程（2-23） +全上+ b、.) = -12 端-120 Ao =右應(yīng)力分量不滿足相容方程。故，該分量組分量不是圖示問題的解答。【2-15】試證明：在發(fā)生最大與最小切應(yīng)力的面上，正應(yīng)力的數(shù)值都等于兩個(gè)主應(yīng)力的平均值。【解答】(1)確定最大最小切應(yīng)力發(fā)生位置任意斜面上的切應(yīng)力為工”=/?(-5),用關(guān)系式尸

26、+利2 = 1消去m,得rn =一巧)=±4一 一/4(/ 一巧)=±1/4-(1/2-/2)2 (% -5)由上式可見當(dāng)4一/2=0時(shí)，即/= ±上時(shí)，乙為最大或最小，為 億)a=±=2。因此, 2V 2mm 2切應(yīng)力的最大，最小值發(fā)生在與大軸及)、軸(即應(yīng)力主向)成45°的斜面上。(2)求最大，最小切應(yīng)力作用面上，正應(yīng)力b“的值任一斜面上的正應(yīng)力為%=產(chǎn)9一%)+4最大、最小切應(yīng)力作用面上/ = ±JI7,帶入上式，得b =_ %) + 4=：(q + b2 )證畢。2-16設(shè)已求得一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，試求= -400;(a)j =

27、 100,= 50,Txy = 10>/50; (Z?)crv = 200,crv = 0"(c)(7v =-2000,o; =1000/°, = -400; (d)o =-1000,(7V =-1500,rn = 500. JJJ-/【解答】由公式(2-6)力一巴.<J -巴+巴土2 一+ t2 及 tancn =得 cn 二 aictan%100 + 50±2r ioo-5o 丫+ (10V50)2 =150% = a3au安理=35。16,10V50200 + 0土2200-OY+ (-400)"=512-312519 700- aic

28、tan: = aictan(-0.78)= -37°57,-2QQQ + 1QQ0±r-2000 +1000 Y+ (-400)-=1052-20521052 + 2000/ 、a、= arctail=arctan (-7.38)= - 82°32,(d)-1000-1500±2( 1000 +1500 丫 v+ 300-=J-691 -1809691 + 1000.c cicda. = aictan= arctan 0.618 = 31 °4315002-17設(shè)有任意形狀的等候厚度薄板，體力可以不計(jì)，在全部邊 界上（包括孔口邊界上）受有均勻壓

29、力%試證% =Oy =-4及% = 0 能滿足平衡微分方程、相容方程和應(yīng)力邊界條件，也能滿足位移單值條 件，因而就是正確的解答。【解答】（1）將應(yīng)力分量q = % =-<7,% = 0 ,和體力分量A = 4 =。分別帶入平衡微分方程、相容方程dx啊"f A=+' = °(a)(b)u(q+%)=°顯然滿足（a） （b）（2）對于微小的三角板A, dx,力都為正值，斜邊上的方向余弦/ = 85（”,工）,7 = 85（,），將q =q =q% = 0 ,代入平面問題的應(yīng)力邊界條件的表達(dá)式(2-15 ),且fx = -qcosx)Jy=qcos(77,

30、 y),則有o; cos (az, x) = -q cos (, x), / cos (, y) = -q cos (, y)所以 =_q,by =_q。對于單連體，上述條件就是確定應(yīng)力的全部條件。（3）對于多連體，應(yīng)校核位移單值條件是否滿足。該題為平面應(yīng)力情況，首先，將應(yīng)力分量代入物理方程（2-12）,得形變分量,（一 一1）（ 一 1）八6=廣 qq =匕%=°將（d）式中形變分量代入幾何方程（2-8）,得(d)前兩式枳分得到d> (z/-l)仇，du 八q, =q, + =0 E dx (e)=岑 qx + /；()#=岑 qy + f2 (x) EE(f)其中工（

31、9;），上（x）分別任意的待定函數(shù)，可以通過幾何方程的第三式求出，將式（力代入式（e）的第三式，得dy dx等式左邊只是），的函數(shù)，而等式右邊只是x的函數(shù)。因此，只可能兩邊都等于同一個(gè)常數(shù)0, 于是有皿一，幽Jdydx積分后得（y） = 一紗+（x） = gx+% 代入式（f）得位移分量( T)u =Ey=(4 - DEqx-a)y + uQqy + cox + v0其中°,%,0為表示剛體位移量的常數(shù)，需由約束條件求得從式（g）可見，位移是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，滿足位移單值條件。因而，應(yīng)力分量是正確的解 答。【2-18】設(shè)有矩形截面的懸臂梁，在自由端受有集中荷載F （圖2-22）,體

32、力可以不計(jì)。試根據(jù) 材料力學(xué)公式，寫出彎應(yīng)力 =°,然后證明這些表達(dá)式滿足平衡微分方程和相容方程，再說明這 些表達(dá)式是否就表示正確的解答。 M(x)12尸彎成力 5 = - y = -r-xy ；L h該截面上的剪力為a（x）=尸，剪應(yīng)力為6戶僅21r1五=如應(yīng)=-F .佇色3+*lx(/12)u J L 2取擠壓應(yīng)力bv = 0（2）將應(yīng)力分量代入平衡微分方程檢驗(yàn)K I、 / -12F12尸 八 十第一式：左=y + y = 0 =右 /rI f .第二式：左=0+0=0=右該應(yīng)力分量滿足平衡微分方程。（3）將應(yīng)力分量代入應(yīng)力表示的相容方程左=72（5+0；） = 0 =右 滿足相

33、容方程 人F（4）考察邊界條件在主要邊界y = ±/2上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件（2-15）1m ; 工hy =上o-ioo2h ,y =一 上 oioo 2代入公式（2-15）,得=。，（%）尸一心=。；（4%。，（%）=0在次要邊界40上，列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件，代入應(yīng)力分量主矢主矩-（區(qū)）廠0辦=0 =加句面力主矢 J-h/2L J, 9）=0）由=o =面力主矩O）x=o辦=（：J-笄4-力辦=-F =響面力主矢J-h/2'J-h/2 h 4. 一滿足應(yīng)力邊界條件在次要邊界上，首先求出固定邊面力約束反力，按正方向假設(shè)，即面力的主矢、停）W 主矩，F(xiàn)n=0、Fs=-

34、F、M=-FI F§）其次，將應(yīng)力分量代入應(yīng)力主矢、主矩表達(dá)式，判斷是否與面力主矢與主矩等效：a，?，、,嚴(yán)212尸f f八人=_匚2下岫=0 =&rh/2. ch/2 12尸.-> ._心（4）日 ydy = -_hily-dy = -Fl = Mk（ %幾的=y切力=Fs滿足應(yīng)力邊界條件，因此，它們是該問題的正確解答。2-19試證明，如果體力雖然不是常量，但卻是有勢的力，即體力分量可以表示為av dv/v=-Jv = -,其中V是勢函數(shù)，則應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù)表示成為 dx > dyd2（r>d?d?= f + V,b、= f + V,= 土上，試導(dǎo)出

35、相應(yīng)的相容方程。dy-及一 ° dxdy【解答】（1）將。,4帶入平衡微分方程（2-2）dade6t,.dVv ,陰.f _ o. 以-n'.1 / r UiVdx 濟(jì) xdx為dx' => dav 0Tl、dV+ f - 0y上-nt / . u1V6 dx 'Jdx(a)將（a）式變換為(b)為了滿足式（b）,可以取17 于 。二CT - V =* *V =.7 =dx2 " dxdy*17 夕及一OXOV1（2）對體力、應(yīng)力分量力"名%求偏導(dǎo)數(shù)，得dfx _ d2V fy _ d2V 砥一一右dydf(c)。立一 夕 d2V d

36、2ax _ d4 d2V dxrdxdf'+dxr， "一聲十講 。»丫。d2V。匕、夕d2V= = dx2dx4dx2 "dy?dx2dy2dy?將（c）式代入公式（2.21）得平面應(yīng)力情況下應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程京(q+a)=(i+)、- 7 dx dy )(2-21)。4 d2V 04 d2V 64 d2V O4 d2V 八 、理+獲+可 + 評 + 右 + 右 + +溟 =(+")(d2v d2vdx2 dy2整理得:次 040，T + 2 ; HT- dx-丹= -(!-/)（d2V d2VI。廠輸廠(d)即平面應(yīng)力問題中的相容方程為V

37、4(D = -(1-/)V2V將（c）式代入公式（2-22）或?qū)ⅲ╠）式中的替換為2_,的平面應(yīng)變情況下的相容方程:1一46,646d2V d2Vr + 2 、 、+ = - + -(e)dx 8-dy- dy 1一 (廣令-)即 VS 一七必 l-A證畢。第三章平面問題的直角坐標(biāo)解答3-1為什么在主要邊界（大邊界）上必須滿足精確的應(yīng)力邊界條件式（2-15）,而在 小邊界上可以應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）來代 替？如果在主要邊界上用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替式（2-15）,將會(huì)發(fā)生什么問題？【解答】彈性力學(xué)問題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問題，而要使邊界條件完全

38、得到滿足, 往往比較困難。這時(shí)，圣維南原理可為簡化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件提供很大的方便。將 物體一小部分邊界上的面力換成分布不同，但靜力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影 響近處的應(yīng)力分布，對遠(yuǎn)處的應(yīng)力影響可以忽略不計(jì)。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上 用三個(gè)枳分的應(yīng)力邊界條件來代替精確的應(yīng)力邊界條件（公式2-15）,就會(huì)影響大部分區(qū)域 的應(yīng)力分布，會(huì)使問題的解答精度不足。3-2如果在某一應(yīng)力邊界問題中，除了一個(gè)小邊界條件，平衡微分方程和其它的應(yīng) 力邊界條件都已滿足，試證：在最后的這個(gè)小邊界上，三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件必然是自然 滿足的，固而可以不必校核。【解答】區(qū)域內(nèi)的每一微小單元均滿足平

39、衡條件，應(yīng)力邊界條件實(shí)質(zhì)上是邊界上微分體 的平衡條件，即外力（面力）與內(nèi)力（應(yīng)力）的平衡條件。研究對象整體的外力是滿足平衡 條件的，其它應(yīng)力邊界條件也都滿足，那么在最后的這個(gè)次要邊界上，三個(gè)積分的應(yīng)力邊界 條件是自然滿足的,因而可以不必校核。3-3如果某一應(yīng)力邊界問題中有m個(gè)主要邊界和n個(gè)小邊界，試問在主要邊界和小 邊界上各應(yīng)滿足什么類型的應(yīng)力邊界條件，各有幾個(gè)條件？【解答】在m個(gè)主要邊界上，每個(gè)邊界應(yīng)有2個(gè)精確的應(yīng)力邊界條件，公式（2-15）, 共2m個(gè)：在n個(gè)次要邊界上，如果能滿足精確應(yīng)力邊界條件，則有2n個(gè)；如果不能滿足 公式（2-15）的精確應(yīng)力邊界條件，則可以用三個(gè)靜力等效的積分邊界

40、條件來代替2個(gè)精確 應(yīng)力邊界條件，共3n個(gè)。圖383-4試考察應(yīng)力函數(shù)=。）在圖3-8所示的矩形板 和坐標(biāo)系中能解決什么問題（體力不計(jì)）？【解答】相容條件：不論系數(shù)a取何值，應(yīng)力函數(shù)=。總能滿足應(yīng)力函 數(shù)表示的相容方程，式（2-25）.求應(yīng)力分量當(dāng)體力不計(jì)時(shí)，將應(yīng)力函數(shù)代入公式（2-24）,得b, = 6g，,b,=0,r-°考察邊界條件上下邊界上應(yīng)力分量均為零，故上下邊界上無面力.左右邊界上；當(dāng)a>0時(shí)，考察巴分布情況，注意到<).=0,故y向無面力左端:九(。)=0 = 60(0 < y<h) fy = (%)o = 0右端:(b,)E= 6ay (0&l

41、t;y< /?) %=(%)3 0應(yīng)力分布如圖所示，當(dāng)/時(shí)應(yīng)用圣維南原理可以將分布的面力，等效為主矢，主矩主矢的中心在矩下邊界位置。即本題情況下，可解決各種偏心拉伸問題。偏心出巨e：因?yàn)樵贏點(diǎn)的應(yīng)力為零。設(shè)板寬為b,集中 產(chǎn)噸荷載p的偏心距e：°)端一贏=°"6同理可知，當(dāng)。<0時(shí)，可以解決偏心壓縮問題。【解答】(1)由應(yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分量表達(dá)式4=0, % = 2 ,% = % = -2ax(/o; +町.)=工(s) 考察邊界條件，由公式(2-15) '"，二("Qv+/%),. =4.($)主要邊界，上邊界)，=一，上，

42、面力為Z(y = -1) = 7v(y = -1) = ah乙乙主要邊界，下邊界y = g,面力為Z（y = |）= -2=,£ （y = ；） = ah次要邊界，左邊界大二0上，面力的主矢，主矩為 rh/2,X 向主矢：F,=-J 9）=。辦=°rh/2向主矢：、,=一1仃（幾0方=。主矩：知=-。：（/）用力=0次要邊界，右邊界大二/上，面力的主矢，主矩為X 向主矢：F；=：（q）E 辦=0），向主矢：F；=二（r,.）,v=/ dy =二（-2al）dy = -2alh 主矩：M=。：（區(qū)）1必=0彈性體邊界上面力分布及次要邊界面上面力的主矢，主矩如圖所示=bxy2將

43、應(yīng)力函數(shù)代入公式（2-24）,得應(yīng)力分量表達(dá)式= 2bx , crv = 0 , r, = rvr = -2by考察應(yīng)力邊界條件，主要邊界,由公式（2-15）得h-（ h -（ h在y=一！主要邊界，上邊界上，面力為7, y = - = bhjy y = - =022 J2 /在y = 下邊界上，面力為1y = J =-/?/,4= y =0在次要邊界上，分布面力可按（2-15）計(jì)算，面里的主矢、主矩可通過三個(gè)積分邊界條件 求得：在左邊界x=0,而力分布為X （x = 0） = 0Jy （x = 0） = 2by面力的主矢、主矩為hx向主矢：工=一G= 02），向主矢：K =_6（'辦

44、=_（-2mg力=022f/i/2主矩；M=_J 3）=0汕=0在右邊界X=/上，面力分布為fK(x = l) = 2bl9fy(x = l) = -2by面力的主矢、主矩為x 向主矢：F： =dy = 2bldy = 2blhy 向主矢：FJ = J：(% dy = £(-2助辦=0主矩：M，= J：(q)Qdy = J：2b/)，dy = 0彈性體邊界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如圖所示(3)二戶將應(yīng)力函數(shù)代入公式(2-24),得應(yīng)力分量表達(dá)式5 = 6竺,4 = 0, % = Tyx = -3cyr考察應(yīng)力邊界條件，在主要邊界上應(yīng)精確滿足式(2-15)上邊界y =-4

45、上，面力為2下邊界尸2上，面力為次要邊界上，分布面力可按(2-15)計(jì)算，面力的主矢、主矩可通過三個(gè)積分邊界求得:左邊界大二。上，面力分布為1(x=0)= 0，fv(x = 0)= 3cy2面力的主矢、主矩為x向主矢：工=一。：9)=。力=。響主矢：k=-£：(%)/)，= -主矩：M =-：；(%)“辦=0右邊界工=/上，面力分布為7v(x = /) = 6cly,fy (% = /) = -3cy2面力的主矢、主矩為, 也2 /、.f/i/2x 向主矢工=J（crv）dy = J 6clydy = 0y向主矢：耳=J：。）.公=£（-30，2）外=一那主矩："

46、=仁（4 ）i ydy = 6clydy = | c/?彈性體邊界上的面力分布及在次要邊界上面力的主矢和主矩，如圖所示【解答】（1）將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程（2-25）顯然滿足（2）將代入式（2-24）,得應(yīng)力分量表達(dá)式J =r_，%.=o, txy = tyxlr（3）由邊界形狀及應(yīng)力分量反推邊界上的面力：在主要邊界上（上下邊界）上，y = ±,應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件式（2-15）,應(yīng)力 2（a）y=±A/2=05（）v=±/r/2=0h- （h- （h因此，在主要邊界y = ±上，無任何面力，即A" = ± =0,£. y

47、 = ± =02- V2） I2）在X二0, X=/的次要邊界上，面力分別為：因此，各邊界上的面力分布如圖所示:x=l上r7?/2 , F.=Ljdy = o "=Cfa=-F Mh=：Jxydy = -Fl在xO, X=/的次要邊界上，面力可寫成主矢、主矩形式:x=O上,h F響主矢：%=匚/辦=0,州主矢：鼻fy = F,o hf， 主矩：M=J""y = o,Jh/2因此，可以畫出主要邊界上的面力，和次要邊界上而力的主矢與主矩，如圖因此，該應(yīng)力函數(shù)可解決懸臂梁在自由端受集中力F作用的問題。3-7試證=必二（4二+3；-1） +”（2二一；）能滿足相

48、容方程，并考察它在 4/? h 10 h h圖39圖3-9所示矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題（設(shè) 矩形板的長度為/,深度為人 體力不計(jì)）。【解答】（1）將應(yīng)力函數(shù)代入式（2-25）6, A 於 24qv京=°'歹='-6412分 -24仍，私詞川 川代入（2-25）,可知應(yīng)力函數(shù)滿足相容方程。（2）將代入公式（2-24）,求應(yīng)力分量表達(dá)式：6?， = fxx = 5V6? 6qx 斤,、% = % = 一9=一尸勺7）（3）考察邊界條件，由應(yīng)力分量及邊界形狀反推面力：在主要邊界），=-；（上面），應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件（2-15） 工卜=- g）=- （ ）尸-心=&

49、#176;。=-弁 -（ ）z 2=q 在主要邊界y = （下面），也應(yīng)該滿足（2-15） 工（y = /? / 2） = （% ）i,2 = 0,1 （y =力 / 2） = （%）=o 在次要邊界x=o上，分布面力為/=0）=_9）=。=等一 爺,fv（x=o）= 一（%L = o應(yīng)用圣維南原理，可寫成三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件:在次要邊界x =/上，分布面力為工（1）=9） 華+第一型 小，1/?3 5h應(yīng)用圣維南原理，可寫成三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：卜電叱凰-/+誓聿1=。u=口（1）小，=£：岸（B2卜），="M'=f；J（x=/）M'=M（-窄+3上

50、等卜）'=療綜上，可畫出主要邊界上的面力分布和次要邊界上面力的主矢與主矩，如圖（a）因此，此應(yīng)力函數(shù)能解決懸臂梁在上邊界受向下均布荷載q的問題。【3-8】設(shè)有矩形截面的長豎柱，密度為p,在一邊側(cè)面上受均布剪力q。（圖3-10）,試求應(yīng)力分量。TK H '【解答】采用半逆法求解。/J/由材料力學(xué)解答假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。（1）假定應(yīng)力分量的函數(shù)形式。根據(jù)材料力學(xué)，彎曲應(yīng)力巴.主要與截面的彎矩有關(guān)，剪應(yīng)力1.主要與圖3.1。截面的剪力有關(guān)，而擠壓應(yīng)力b,主要與橫向荷載有關(guān)，本題橫向荷載為零，則=0（2）推求應(yīng)力函數(shù)的形式將 =0,體力£ = 0/.=。且，代入公式（2-

51、24）有對y積分，得打，/W(a)(b)二才（力+力（力其中/（x）,£（x）都是的待定函數(shù)。（3）由相容方程求解應(yīng)力函數(shù)。將（b）式代入相容方程（2-25）,得d4f（x） d4f. （x）y+=o©dx ax在區(qū)域內(nèi)應(yīng)力函數(shù)必須滿足相容方程，（c）式為），的一次方程，相容方程要求它有無數(shù) 多個(gè)根（全豎柱內(nèi)的），值都應(yīng)滿足它），可見其系數(shù)與自由項(xiàng)都必須為零，即"丫）（工）_。dx4 ， dx兩個(gè)方程要求(d)/(x) = Ar3 + Bx2 + CxJx) = Dx5 + Ex2中的常數(shù)項(xiàng)，/（x）中的常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)已被略去，因?yàn)檫@三項(xiàng)在的表達(dá)式中成為y的一次項(xiàng)

52、及常數(shù)項(xiàng)，不影響應(yīng)力分量。將（d）式代入（b）式，得應(yīng)力函數(shù)=y（Av3 + Bx2 + &）+（瓜3 + Ex2）（e）（4）由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量%=力-7> = 0(f)(g)(h)在一0?，= -3>Ax-2Bx-Cdxdv9r（5）考察邊界條件利用邊界條件確定待定系數(shù)A、B、C、D、Eo 主要邊界x = 0上（左）：(b)=o=O,(%),1o=O將（f）, （h）代入（巴）.0 = °，自然滿足9L=0,自然滿足J）r = q ,將（h）式代入，得3)f=-3Ab2-2Bb-C = q（J）在次要邊界y = 0上，應(yīng)用圣維南原理，寫出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條

53、件:,9、)v=0dx = J：(66+ 2E)dx = 3Db2 + 2Eb = 0£ (crv)v=0 xdx =，(6Dx + 2E)xdx = IDb + Eb2 = 0£ (rvJv=ot/x = j：(-3AF - 2Bx-Cyix = -Ab5 - Bb2 -Cb = 0 由式(i), (j), (k), (1), (m)聯(lián)立求得人=-0，8 = ?, C = D=E = 0b- b代入公式(g), (h)得應(yīng)力分量(m)% = 0,一訃加， =赳L一 2【3-9】圖3-11所示的墻，高度為h,寬度為b, hb,在 兩側(cè)面上受到均布剪力q的作用，試應(yīng)用應(yīng)力函數(shù) =Axy + Bx5y求解應(yīng)力分量。【解答】按半逆解法求解。將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程（2-25）顯然滿足。圖3/1由公式（2-24）求應(yīng)力分量表達(dá)式，體力為零，有o； = = 0，= - = 6Bxy ,= TOv-= -A-3Bx2 Gxdy考察邊界條件:在主要邊界x =-"2上，精確滿足公式（2-