1、第四章平面向量、數系的擴充與復數的引入【知識特點】平面向量作為工具性知識，和三角函數、解析幾何、立體幾何等知識有著廣泛的聯系。其中平面向量的共線與垂直，平面向量的運算，平面向量的數量積及其應用，是重點內容，也是高考考查的重點。對于數系的擴充和復數的引入這部分內容，其獨立性較強，一般是單獨命題，其中復數的概念和復數的運算是重點知識，也是高考考查的重點?！局攸c關注】1、平面向量共線與垂直的充要條件、平面向量的線性運算、平面向量的數量積及其應用、復數的運算是高考的熱點內容，需重點關注。2、平面向量的基本運算與三角函數結合是高考中的重要題型，此類題可以是選擇、填空，也可以為中檔的解答題。向量與數列、不

2、等式、圓錐曲線，函數等知識的綜合問題。對學生能力的考查有較高的要求。3、本章內容要注意數形結合思想的應用，向量具有“形與數”的兩個特點，這就使得向量成了數形結合的橋梁。【地位和作用】向量帶有基礎知識的特點，是一種工具性和方法性知識。向量有一套優秀的運算系統，由于它提供的向量法、坐標法，使其成為研究高中數學的重要方法。同時，向量又有一套優良的運算系統，幾何中有關長度、角度的計算，平行、垂直的判定與證明，很多場合下都可以化歸為向量的運算來完成，教材中正弦定理、余弦定理的證明、定比分點坐標公式的導出，就是這方面典型的例子。這些體現了數學中化歸和數形結合的思想。向量“形”、“數”兼備，是數形結合的橋梁

3、。在運用向量知識時，充分運用幾何圖形直觀的特點，而在解決幾何問題時，又注意充分運用向量法與坐標法，處處滲透了數形結合的思想。通過分析進兩年高考中本章相關知識點的考查匯總，可以看出本章在高考命題中呈現出以下特點：1、考查題型主要是以選擇、填空為主，分值為10分左右，基本屬容易題；2、重點考查向量的共線與垂直，向量的夾角、模與數量積及復數的運算，注重在知識交匯處命題；3、預計在本意在今后的高考中，將以向量的運算、向量的夾角、模、數量積、復數的運算為命題熱點，將更加注重向量與其他知識的交匯，以考查基礎知識、基本技能為主。4.1平面向量【高考目標定位】一、平面向量的概念及其線性運算1、考綱點擊（1）了

4、解向量的實際背景；（2）理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義；（3）理解向量的幾何表示；（4）掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義；（5）掌握向量數乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義；（6）了解向量線性運算的性質及其幾何意義。2、熱點提示（1）重點考查平面向量的有關概念、線性運算及其幾何表示；（2）多以選擇、填空的形式呈現，有時和其他知識相結合，在知識的交匯點處命題。二、平面向量的基本定理及坐標表示1、考綱點擊（1）了解平面向量的基本定理及其意義；（2）掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；（3）會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算；（4）理解用坐標表示的平面向量共線

5、的條件。2、熱點提示（1）向量的坐標運算及用坐標表示平面向量共線的條件是高考考查的熱點，常以選擇、填空題的形式出現，為中、低檔題；（2）向量的坐標運算常與三角，解析幾何等知識結合，在知識交匯點處命題，以解答題的形式呈現，屬中檔題。三、平面向量的數量積及平面向量應用舉例1、考綱點擊（1）理解平面向量數量積的含義及其物理意義；（2）了解平面向量的數量積與向量投影的關系；（3）掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算；（4）能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系；（5）會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題；（6）會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問

6、題。2、熱點提示（1）平面向量數量積的運算，模與夾角、平行與垂直問題的高考命題的熱點，多以選擇、填空題的形式出現，屬中低檔題，但靈活多變；（2）可與三角函數、解析幾何等知識綜合命題，是高考的另一個熱點?！究季V知識梳理】一、平面向量的概念及其線性運算1、向量的有關概念及表示方法（1）向量的有關概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度（或模）零向量長度為0的向量；其方向是任意的記作單位向量長度等于1個單位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量與任一向量平行或共線共線向量平行向量雙叫做共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量相反向量長度相等且方向相反的向量的相反向量為（2）

7、向量的表示方法字母表示法，如：等；幾何表示法：用一條有向線段表示向量。2、向量的線性運算向量運算定義法則（或幾何意義）運算律加法求兩個向量和的運算（1）交換律：。（2）結合律：減法求與的相反向量的和的運算叫做與的差數乘求實數與向量的積的運算（1）（2）當>0時，與的方向相同；當<0時, 與的方向相反；當=0時, =注：式子的幾何意義為：平行四邊形兩條對角線的平方和等于它們四條邊的平方和。3、向量與向量共線的充要條件為存在唯一一個實數，使注：用向量法證明三點A、B、C共線時，首先求出，然后證明，即共線即可。二、平面向量的基本定理及坐標表示1、兩個向量的夾角（1）定義已知兩個非零向量和

8、，作，則AOB=叫做向量與的夾角。（2）范圍向量夾角的范圍是001800，與同向時，夾角=00；與反向時，夾角=1800。（3）向量垂直如果向量與的夾角是900，則與垂直，記作。注：在ABC中，設，則向量與的夾角為ABC是否正確？（答：不正確。求兩向量的夾角時，兩向量起點應相同，向量與的夾角為-ABC）。2、平面向量基本定理及坐標表示（1）平面向量基本定理定理：如果是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量，有且只有一對實數，使。其中，不共線的向量叫做表示這一平面內所有向量的一組基底。（2）平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。（3）平面向量

9、的坐標表示在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底，對于平面內的一個向量，有且只有一實數x,y,使，把有序數對（x,y）叫做向量的坐標，記作=（x,y）,其中x叫做在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標。設，則向量的坐標（x,y）就是終點A的坐標，即若=（x,y），則A點坐標為（x,y），反之亦成立。（O為坐標原點）3、平面向量的坐標運算（1）加法、減法、數乘運算向量+-坐標（x1,y1）(x2,y2)(x1+x2, y1+ y2)(x1-x2, y1-y2)（x1,y1）（2）向量坐標的求法已知A（x1,y1），B(x2,y2)，則=（x2-x1，y2-y1），即一

10、個向量的坐標等于該向量終點的坐標減去始點的坐標。（3）平面向量共線的坐標表示設=（x1,y1），=(x2,y2)，其中0，則與共線= x1y2- x2y1=0。注：=（x1,y1），=(x2,y2)，則/的充要條件不能寫成，因為x2,y2有可能為0，故應表示成x1y2- x2y1=0?！緹狳c難點精析】一、平面向量的概念及其線性運算（一）向量的有關概念相關鏈接1、著重理解向量以下幾個方面：（1）向量的模；（2）向量的方向；（3）向量的幾何表示；（4）向量的起點和終點。2、判定兩個向量的關系時，特別注意以下兩種特殊情況：（1）零向量的方向及與其他向量的關系；（2）單位向量的長度及方向。例題解析【例

11、1】給出下列命題：有向線段就是向量，向量就是有向線段；若則ABCD為平行四邊形；若若。其中正確命題的個數是 （ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3思路解析：正確理解向量的有關概念是解決本題的關鍵。注意到特殊情況，否定某個命題只要舉出一個反倒即可。解答：選B。錯，向量可用有向線段表示，但并不是有向線段。錯，因為則可能A、B、C、D四點在一條直線上。正確。錯，若，則對不共線的向量與，也有/，/，但與不平行。【例2】下列結論中，不正確的是 （ ）（A） 向量，共線與向量/同義；（B） 若向量/，則向量與共線；（C） 若向量=，則向量=；（D） 只要向量，滿足|=|，就有=。解答：選D。根據平行

12、向量（或共線向量）定義知A，B均正確；根據向量相等的概念知C正確，D不正確。（二）向量的線性運算相關鏈接（1）用已知向量來表示別外一些向量是用向量解題的基本功，除利用向量的加、減法、數乘向量外，還應充分利用平面幾何的一些定理；（2）在求向量時要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線，相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質，把未知向量轉化為與已知向量有直接關系的向量求解。注：若A為BC的中點，則例題解析例1在ABC中，。思路解析：解本題要進行向量的加、減法外，還有數乘向量運算，如在進行計算時要充分利用ABC，ADNABM等條件。解答：由ADEABC，得

13、，又AM是ABC的中線，DE/BC，且AM與DE交于點N，得2在OAB中，延長BA到C，使AC=BA，在OB上取點D，使。DC與OA交于E，設用表示向量及向量。解答：A是BC的中點，即（三）向量的共線問題例設兩個非零向量與不共線，（1） 若求證：A、B、D三點共線；（2） 試確定實數k，使和共線思路解析：（1）由已知求判斷和的關系判斷A、B、D的關系；（2）應用共線向量的充要條件列方程組解方程組得k值。解答：（1）、共線，又它們有公共點B，A、B、D三點共線（2）和共線，存在實數，使=（），即=。、是不共線的兩個非零向量，=，-1=0。=±1。注：（1）向量共線的充要條件中要注意當兩

14、向量共線量時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數法的運用和方程思想。（2）證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區別與聯系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線。二、平面向量的基本定理及坐標表示（一）平面向量基本定理及其應用相關鏈接1、以平面內任意兩個不共線的向量為一組基底，該平面內的任意一個向量都可表示成這組基底的線性組合，基底不同，表示也不同；2、對于兩個向量，將它們用同一組基底表示，我們可通過分析這兩個表示式的關系，來反映與的關系；3、利用已知向量表示未知向量，實質就是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加減運算或進行數乘運算

15、。注：由于基底向量不共線，所以不能作為一個基底向量。例題解析例如圖：在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點，已知試用表示。思路解析：直接用表示有難度，可換一個角度，由表示，進而解方程組可求。解答：方法一：設則將代入得得方法二：設因M，N分別為CD，BC中點，所以因而即（二）平面向量的坐標運算相關鏈接1、向量的坐標運算主要是利用加、減、數乘運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用；2、利用向量的坐標運算解題。主要是根據相等的向量坐標相同這一原則，通過列方程（組）進行求解；3、利用坐標運算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表

16、示向量的坐標，再用待定系數法求出線性系數；4、向量的坐標運算，使得向量的線性運算都可用坐標來進行，實現了向量運算完全代數化，將數與形緊密結合起來，就可以使得很多幾何問題的解答轉化為我們熟知的數量運算。例題解析例已知A（-2，4），B（3，-1），C（-3，-4）。設且求：（1）（2）滿足的實數m,n;（3）M、N的坐標及向量的坐標。思路解析：利用向量的坐標運算及向量的坐標與其起點、終點坐標的關系求解。解答：由已知得（1）=3（5，-5）+（-6，-3）-3（1，8）=（15-6-3，-15-3-24）=（6，-42）（2）（3），。M（0，20）又，N（9，2）。（三）平面向量共線的坐標表示相

17、關鏈接1、凡遇到與平行有關的問題時，一般地要考慮運用向量平行的充要條件；2、向量共線的坐標表示提供了通過代數運算來解決向量共線的方法，也為點共線、線平行問題的處理提供了容易操作的方法。解題時要注意共線向量定理的坐標表示本身具有公式特征，應學會利用這一點來構造函數和方程，以便用函數與方程的思想解題。例題解析例已知當k為何值時，與平行；平行時它們是同向還是反向？思路解析：將用坐標表示將用坐標表示應用共線向量的充要條件求k把k代入向量判斷結果。解答：=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），=（1，2）-3（-3，2）=（10，-4），與平行等價于（k-3）（-4）-10（2k+2）=0，

18、解得k=。故當k=時，與平行。此時=，與反向。注：向量平行的坐標公式裨是把向量問題轉化為實數的運算。通過坐標公式建立參數的方程，通過解方程或方程組求得參數，充分體現了方程思想在向量中的應用。（四）向量與其他知識的綜合例已知向量現向量的對應關系用表示。（1）設，求向量與的坐標；（2）求使（3）證明：對任意的向量及常數m,n恒有成立。思路解析：本題關鍵是找出“函數”的對應關系，此處的變量為向量的坐標，因此，可通過坐標運算來解決問題。解答：（1）又（2）（3）注：對于信息處理題應注意以下幾點：認真領會題中所給信息（注意概念的內涵與外延）；將所得到的信息，應用于題目中去，即解決實際問題（當然注意條件與

19、結論，往往是三段論推理）。三、平面向量的數量積及平面向量應用舉例（一）平面向量的數量積的運算及向量的模問題相關鏈接1、向量的數量積有兩種計算方法，一是利用公式來計算，二是利用來計算，具體應用時可根據已知條件的特征來選擇，同時要注意數量積運算律的應用。2、利用數量積求長度問題是數量積的重要應用，要掌握此類問題的處理方法：例已知，與的夾角為，求：（1）；（2）。思路解析：利用平面向量數量積的定義及其運算律，可求出第（1）問；求可先求，再開方。解答：（1），=（2），（二）平面向量的垂直問題相關鏈接1、非零向量2、當向量是非坐標形式時，要把、用已知的不共線的向量表示。注：把向量都用坐標表示，并不一定

20、都能夠簡化運算，要因題而異。例已知向量，（1）求證：（2）若存在不等于0的實數k和t，使滿足試求此時的最小值。思路解析：（1）可通過求證明（2）由得，即求出關于k，t的一個方程，從而求出的代數表達式，消去一個量k，得出關于t的函數，從而求出最小值。解答：（1）（2）由得：，即（三）平面向量的夾角問題相關鏈接1、當是非坐標形式時，求的夾角。需求得及或得出它們的關系。2、若已知的坐標，則可直接利用公式注：平面向量的夾角例題解析例已知都是非零向量，且與垂直，與垂直，求與的夾角。思路解析：把向量垂直轉化為數量積為0聯立求與的關系應用夾角公式求結果。解答：（四）向量的綜合應用例1設ABC的外心為O，則圓

21、O為ABC的外接圓，垂心為H。求證：思路解析：本題的關鍵是探求的聯系，利用向量的三角形法則可得下一步需確定的關系，由條件O為ABC的外心，可延長BO交圓于O于點D，連AD、DC，利用圓周角是直角的性質可證四邊形ANCD為平行四邊形，從而問題得以解決。解答：延長BO交圓O于D點，連AD、DC，則BD為圓O的直徑，故BCD=BAD=900。又AEBC，DCBC。各AH/DC，同理DA/CH。四邊形ANCD為平行四邊形，。又又注：利用平面向量的知識解決平面幾何問題，關鍵是充分挖掘題目中的條件，本題中O為外心，H為垂心，在本題中作用最大；另外，平面解析幾何中的一些性質在解題中也有很大的用處。例2已知力

22、與水平方向的夾角為（斜向上），的大小為50N，拉著一個重80N的木塊在摩擦系數的水平平面上運動了20m，問和摩擦力所做的功分別是多少？思路解析：力在位移上所做的功，是向量乘積的物理含義，要先求出力，和位移的夾角，然后應用數量積公式求解。解答：設木塊的位移為則，在鉛垂方向上分力大小為摩擦力的大小為，所做的功分別是500J、22J。注：力在力的位移上所做的功，就是力與位移所對應兩向量的數量積。故在解決此類問題時可轉化為數量積的運算，據題意構造平面圖形，把已知、所求各量用向量的對應量表示出來。然后結合向量的加減法及平面幾何的知識求得向量的模及夾角，再利用數量積的運算公式求得力對物體所做的功?！靖形蚋?/p>

23、考真題】1.(2009年廣東卷文)已知平面向量a=，b=，則向量A平行于軸 B.平行于第一、三象限的角平分線C.平行于軸 D.平行于第二、四象限的角平分線【答案】【解析】,由及向量的性質可知,C正確.2.（2009廣東卷理）一質點受到平面上的三個力（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態已知，成角，且，的大小分別為2和4，則的大小為A. 6 B. 2 C. D. 【解析】，所以，選D.3.（2009浙江卷理）設向量，滿足：，以，的模為邊長構成三角形，則它的邊與半徑為的圓的公共點個數最多為 ( )A B C D答案：C 【解析】對于半徑為1的圓有一個位置是正好是三角形的內切圓，此時只有三個交點，對于圓

24、的位置稍一右移或其他的變化，能實現4個交點的情況，但5個以上的交點不能實現4. （2010全國卷2理數）（8）中，點在上，平方若，則（A） （B） （C） （D）【答案】B 【命題意圖】本試題主要考查向量的基本運算，考查角平分線定理.【解析】因為平分，由角平分線定理得，所以D為AB的三等分點，且，所以，故選B.5. （2010全國卷2文數）（10）ABC中，點D在邊AB上，CD平分ACB，若= a , = b , = 1 ，= 2, 則=（A）a + b （B）a +b （C）a +b （D）a +b【解析】B：本題考查了平面向量的基礎知識 CD為角平分線，6. （2010上海文數）13.在平

25、面直角坐標系中，雙曲線的中心在原點，它的一個焦點坐標為，、分別是兩條漸近線的方向向量。任取雙曲線上的點，若（、），則、滿足的一個等式是4ab=1。解析：因為、是漸進線方向向量，所以雙曲線漸近線方程為，又雙曲線方程為，=，化簡得4ab=17.（2010天津理數）（15）如圖，在中，,則.【答案】D【解析】本題主要考查平面向量的基本運算與解三角形的基礎知識，屬于難題。【解析】近幾年天津卷中總可以看到平面向量的身影，且均屬于中等題或難題，應加強平面向量的基本運算的訓練，尤其是與三角形綜合的問題。8. （2010江蘇卷）15、（本小題滿分14分）在平面直角坐標系xOy中，點A(1,2)、B(2,3)、

26、C(2,1)。(1) 求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；(2) 設實數t滿足()·=0，求t的值。解析本小題考查平面向量的幾何意義、線性運算、數量積，考查運算求解能力。滿分14分。（1）（方法一）由題設知，則所以故所求的兩條對角線的長分別為、。（方法二）設該平行四邊形的第四個頂點為D，兩條對角線的交點為E，則:E為B、C的中點，E（0，1）又E（0，1）為A、D的中點，所以D（1，4） 故所求的兩條對角線的長分別為BC=、AD=；（2）由題設知：=(2,1)，。由()·=0，得：，從而所以?；蛘撸?，【考點精題精練】一、選擇題1若向量（ B ）ABCD2設是任意的非零平面向量，且相互不共線，有以下結論；不與；其中正確的是（ D ）ABCD3若、為任意向