1、42 內力方程內力方程 內力圖內力圖 4-3 用疊加法作彎矩圖用疊加法作彎矩圖41 桿件的內力桿件的內力 截面法截面法 FFF F拉伸拉伸壓縮壓縮 I I 桿件在軸向荷載作用下，將發生軸向拉伸或壓縮。桿件在軸向荷載作用下，將發生軸向拉伸或壓縮。 一、拉壓桿的內力一、拉壓桿的內力軸力軸力FFFmmFNPNPFFNx, 0; 0 拉壓桿橫截面的內力沿桿的軸線，故稱為拉壓桿橫截面的內力沿桿的軸線，故稱為。II 扭轉的概念扭轉的概念 直桿在外力偶作用下，且力偶的作用面與直桿的軸線直桿在外力偶作用下，且力偶的作用面與直桿的軸線垂直，則桿件發生的變形為扭轉變形。垂直，則桿件發生的變形為扭轉變形。ABOmm

2、OBA扭轉扭轉： （兩端面相對轉過的角度）（兩端面相對轉過的角度） ，剪切角也稱，剪切角也稱。扭轉的內力扭轉的內力扭矩扭矩mmmTx一、扭矩一、扭矩 圓桿扭轉橫截面的內力合成圓桿扭轉橫截面的內力合成結果為一合力偶，合力偶的力偶結果為一合力偶，合力偶的力偶矩稱為截面的矩稱為截面的，用，用表示之。表示之。 扭矩的正負號按扭矩的正負號按來確定，即右手握住桿的軸線，來確定，即右手握住桿的軸線，卷曲四指表示扭矩的轉向，若拇卷曲四指表示扭矩的轉向，若拇指沿截面外法線指向，扭矩為正，指沿截面外法線指向，扭矩為正，反之為負。反之為負。mTx扭矩的大小由平衡方程求得。扭矩的大小由平衡方程求得。, 0; 0mTm

3、xmT III 彎曲的概念彎曲的概念 1. 彎曲彎曲: 桿受垂直于軸線的外力或外力偶矩矢的作用時桿受垂直于軸線的外力或外力偶矩矢的作用時,軸線變成了曲線，這種變形稱為彎曲。軸線變成了曲線，這種變形稱為彎曲。2. 梁梁：以彎曲變形為主的構件通常稱為梁。：以彎曲變形為主的構件通常稱為梁。3. 工程實例工程實例縱向對稱面縱向對稱面MF1F2q二、平面彎曲二、平面彎曲 桿件具有縱向對稱面，荷載作用在縱向對稱面內，梁彎桿件具有縱向對稱面，荷載作用在縱向對稱面內，梁彎曲后軸線彎成一條平面曲線，稱為曲后軸線彎成一條平面曲線，稱為。在后幾章中，。在后幾章中，將主要研究平面彎曲的內力，應力及變形等。將主要研究平

4、面彎曲的內力，應力及變形等。三、簡單靜定梁三、簡單靜定梁懸臂梁懸臂梁簡支梁簡支梁外伸梁外伸梁FABalFABFAxFAyFB ; 0 xF0AxF ; 0Am, 0 FalFBlFaFB ; 0yF, 0FFFBAylalFFAy)( 荷載和支座反力皆屬外力，下面研究橫截面的內力。荷載和支座反力皆屬外力，下面研究橫截面的內力。PABal 將梁從將梁從位置截開，取左側。位置截開，取左側。xAFAyFsMx 因內力必須與外力平衡，故內力簡化結果為一力和一力因內力必須與外力平衡，故內力簡化結果為一力和一力偶。該力與截面平行，稱為截面的偶。該力與截面平行，稱為截面的，用，用Fs 表示之；該力表示之；該

5、力偶的力偶矩稱為截面的偶的力偶矩稱為截面的，用，用M 表示之。表示之。 剪力正負的規定：剪力正負的規定：使微段有順時針轉動趨勢的剪力為使微段有順時針轉動趨勢的剪力為正，反之為負；正，反之為負； 彎矩正負的規定：彎矩正負的規定：使微段下面受拉、上面受壓變形的使微段下面受拉、上面受壓變形的彎矩為正，反之為負。彎矩為正，反之為負。 FsFsFsFs MMMM剪力正負的規定剪力正負的規定彎矩正負的規定彎矩正負的規定 內力通過平衡方程計算。內力通過平衡方程計算。AFAyFsMx, 0; 0sAyyFFFAysFF , 0; 01xFMmAyxFMAy 計算梁內力的步驟：計算梁內力的步驟： 取整體，求支座

6、反力（懸臂梁此步可省）；取整體，求支座反力（懸臂梁此步可省）； 將梁在要求內力的部位截開，選簡單一側作研究對象；將梁在要求內力的部位截開，選簡單一側作研究對象； 畫受力圖，截面的剪力、彎矩一定要按正的規定畫；畫受力圖，截面的剪力、彎矩一定要按正的規定畫； 列平衡方程列平衡方程 Fx= 0，求剪力，求剪力FS ； m= 0，求，求彎矩。彎矩。 扭矩圖的畫法步驟：扭矩圖的畫法步驟： 畫一條與桿的軸線平行且與桿等長的直線作基線；畫一條與桿的軸線平行且與桿等長的直線作基線； 將桿分段，凡集中力偶作用點處均應取作分段點；將桿分段，凡集中力偶作用點處均應取作分段點； 用截面法，通過平衡方程求出每段桿的扭矩

7、；用截面法，通過平衡方程求出每段桿的扭矩；畫受畫受力圖時，截面的扭矩一定要按正的規定來畫力圖時，截面的扭矩一定要按正的規定來畫。 按大小比例和正負號，將各段桿的扭矩畫在基線兩按大小比例和正負號，將各段桿的扭矩畫在基線兩側，并在圖上表出數值和正負號。側，并在圖上表出數值和正負號。 二、軸力圖二、軸力圖 一般情況，拉壓桿各截面的的軸力是不同的，表示拉壓一般情況，拉壓桿各截面的的軸力是不同的，表示拉壓桿各截面的的軸力的圖象稱為桿各截面的的軸力的圖象稱為。 軸力圖的畫法步驟如下：軸力圖的畫法步驟如下： 畫一條與桿的軸線平行且與桿等長的直線作基線；畫一條與桿的軸線平行且與桿等長的直線作基線； 將桿分段，

8、凡集中力作用點處均應取作分段點；將桿分段，凡集中力作用點處均應取作分段點； 用截面法，通過平衡方程求出每段桿的軸力；畫受力用截面法，通過平衡方程求出每段桿的軸力；畫受力圖時，截面軸力一定按正的規定來畫。圖時，截面軸力一定按正的規定來畫。 按大小比例和正負號，將各段桿的軸力畫在基線兩側，按大小比例和正負號，將各段桿的軸力畫在基線兩側，并在圖上表出數值和正負號。并在圖上表出數值和正負號。例例1 畫圖示桿的軸力圖。畫圖示桿的軸力圖。kN60kN80kN50kN30 kN60kN30kN20軸力圖軸力圖kN60FN1kN60kN80FN2kN30FN3第一段第一段: 0 xF0601NFkNFN601

9、第二段第二段: 0 xF080602NFkNFN202第三段第三段: 0 xF0303NFkNFN303 例例2 長為長為l ，重為，重為W 的均質桿，上端固定，下端受一軸向拉的均質桿，上端固定，下端受一軸向拉力力P 作用，畫該桿的軸力圖。作用，畫該桿的軸力圖。lPxPxFN 軸力圖軸力圖0; 0 xPFFNxxlWPxPFNPFFxNNmin; 0WPFFlxNNmax;PP+W 例例3 畫圖示桿的軸力圖。畫圖示桿的軸力圖。ABCDkN3kN2kN2kN10kN4kN8 軸力圖軸力圖軸力圖軸力圖kN3kN8kN4kN6kN1kN1FABalFABFAxFAyFB ; 0 xF0AxF ; 0

10、Am, 0 FalFBlFaFB ; 0yF, 0FFFBAylalFFAy)( 荷載和支座反力皆屬外力，下面研究橫截面的內力。荷載和支座反力皆屬外力，下面研究橫截面的內力。PABal 將梁從將梁從位置截開，取左側。位置截開，取左側。xAFAyFsMx 因內力必須與外力平衡，故內力簡化結果為一力和一力因內力必須與外力平衡，故內力簡化結果為一力和一力偶。該力與截面平行，稱為截面的偶。該力與截面平行，稱為截面的，用，用Fs 表示之；該力表示之；該力偶的力偶矩稱為截面的偶的力偶矩稱為截面的，用，用M 表示之。表示之。 剪力正負的規定：剪力正負的規定：使微段有順時針轉動趨勢的剪力為使微段有順時針轉動趨

11、勢的剪力為正，反之為負；正，反之為負；口訣：正剪力口訣：正剪力-左上右下左上右下 彎矩正負的規定：彎矩正負的規定：使微段下面受拉、上面受壓變形的使微段下面受拉、上面受壓變形的彎矩為正，反之為負。彎矩為正，反之為負。口訣：正彎矩口訣：正彎矩-左順右逆左順右逆 FsFsFsFs MMMM剪力正負的規定剪力正負的規定彎矩正負的規定彎矩正負的規定 內力通過平衡方程計算。內力通過平衡方程計算。AFAyFsMx, 0; 0sAyyFFFAysFF , 0; 01xFMmAyxFMAy 計算梁內力的步驟：計算梁內力的步驟： 取整體，求支座反力（懸臂梁此步可省）；取整體，求支座反力（懸臂梁此步可省）； 將梁在

12、要求內力的部位截開，選簡單一側作研究對象；將梁在要求內力的部位截開，選簡單一側作研究對象； 內力計算公式：左側分析：內力計算公式：左側分析： FS =（ ）- （ ）；）； M =（）（）- （ ） 右側分析：右側分析： FS =（ ）- （ ）；）； M =（）（）- （ ） 或按照截面法或按照截面法 列平衡方程列平衡方程 Fx= 0，求剪力，求剪力FS ； m= 0，求求彎矩。彎矩。例例1 求圖示梁求圖示梁1、2、3、4截面的內力。截面的內力。ABCD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344解解：取整體，取整體，FAFB ; 0Bm01224qFFAkNFA511截面截面FA

13、11Fs1M1A ; 0yF ; 01m01sAFFkNFs5101M 由由1 1 截面的內力計算可得結論：桿端無力偶作用，截面的內力計算可得結論：桿端無力偶作用，緊挨桿端截面的彎矩緊挨桿端截面的彎矩M=0。CP=12kN22截面截面FA22Fs2M2A ; 0yF ; 02m02sAFFkNFs52022AFMmkNM.102FA33Fs3M3A33截面截面 ; 0yF ; 03m03PFFsAkNFs73023AFMmkNM.103ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFBD2233PFs3M3Fs2M2 由由2、3 截面的內力計算可得如下結論：截面的內力計算可得

14、如下結論： 集中力（包括支座反力）兩側截面的的彎矩相等；集中力（包括支座反力）兩側截面的的彎矩相等；右左MM 集中力（包括支座反力）作用截面的的剪力發生突變，集中力（包括支座反力）作用截面的的剪力發生突變，其值等于集中力（集中力以向上為正）。其值等于集中力（集中力以向上為正）。PFFss左右ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFBC44M4Fs444 截面截面 ; 0yF ; 04m04sF04M 由由44 截面的內力計算可得如下結論：截面的內力計算可得如下結論： 自由端無集中力作用，端截面剪力等于零：自由端無集中力作用，端截面剪力等于零：F=0 ； 自由端無集中力

15、偶作用，端截面彎矩等于零：自由端無集中力偶作用，端截面彎矩等于零：M=0 。ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFB例例2 求圖示梁求圖示梁1、2、3 截面的內力。截面的內力。ABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m解解：取整體，取整體， ; 0m0421mmFAkNFFBA311截面截面 ; 0yF ; 01m01sAFFkNFs31011mMFA11Fs1AM1m1mkNM.21FA22Fs2M2A33Fs3M3Bm122截面截面 ; 0yF ; 02m02sAFFkNFs320212ARmMmkNM.8233截面截面 ; 0yF ;

16、 03m03BsFFkNFs33023BFMmkNM.63FBABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m 由由2、3 截面的內力計算可得如下結論：截面的內力計算可得如下結論： 集中力偶作用截面的的剪力相等；集中力偶作用截面的的剪力相等；右左ssFF 集中力偶作用截面的的彎矩發生突變，其值等于集中集中力偶作用截面的的彎矩發生突變，其值等于集中力偶矩（集中力偶矩以順時針轉為正）。力偶矩（集中力偶矩以順時針轉為正）。mMM左右C2233Fs3M3FS2M2m2ABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m例例3 求圖示梁求圖示梁1、2、3 截面的內力。

17、截面的內力。ABC2m1mm=12kN.mq=6kN/m3311 2FAFB23m解：取整體解：取整體 ; 0Bm02461qmFAkNFA6 ; 0yF04 qFFBAkNFB1811截面截面 ; 0yF ; 01m, 01sAFFkNFs61, 021AFMmkNM.121FA11Fs1M1ABFA22Fs2M2Am22截面截面 ; 0yF ; 02m02sAFFkNFs62022mFMAmkNM.24233Fs3M3FBq33截面截面 ; 0Y ; 03m033qFFsB03sF023333qFMBmkNM.273BABC2m1mm=12kN.mq=6kN/m3311 2FAFB23mq

18、xql-xlFs(x)M(x)圖示梁任一截面的內力。圖示梁任一截面的內力。 ; 0yF ; 0 xm0)()(xlqxFs)()(xlqxFs0)(2)(2xlqxM2)(2)(xlqxM 截面剪力是截面坐標的函數，稱截面剪力是截面坐標的函數，稱為為。 截面彎矩也是截面坐標的函數，稱為截面彎矩也是截面坐標的函數，稱為。qxl 剪力方程剪力方程 的函的函數圖象稱為數圖象稱為。正的剪力畫在。正的剪力畫在基線上側，負的畫在下側。基線上側，負的畫在下側。 )()(xlqxFs剪力圖剪力圖,)0(qlFs0)(lFsqlxFs 彎矩方程彎矩方程 的函數圖象稱為的函數圖象稱為。2)(2)(xlqxMxM,

19、2)0(2lqM, 0)(lM, 0)()(xlqdxxdMlx ql2/2彎矩圖彎矩圖補充補充 剪力、彎矩與荷載集度間的關系剪力、彎矩與荷載集度間的關系ABdxxq(x)M(x)+d M(x)Fs(x)+d Fs(x)Fs(x)M(x)dxo 取微段取微段dx ，受力如圖，受力如圖。0)(d)(d)()(; 0 xFxFxxqxFYsss)(dd)(sxFxxq)(d)(dsxqxxFABdxx0;)(ioFm)(d)(dxFxxMs0)(d)()()(d(21)d(2xMxMxMxxqxxFs略去高階微量得略去高階微量得：)()(d)( sd22xqdxxMdxxFq(x)M(x)+d M

20、(x)Fs(x)+d Fs(x)Fs(x)dxo 當當q = 0 ，Fs =常數，常數， Fs 圖為平直線；圖為平直線； M 為一次函數，為一次函數，M 圖為斜直線；圖為斜直線； 當當q =常數常數 ， Fs為一次函數，為一次函數， Fs 圖為斜直線；圖為斜直線； M 為二次函數，為二次函數，M 圖為拋物線；圖為拋物線； 當當M 圖為拋物線時，畫圖為拋物線時，畫M 圖需確定拋物線頂點的位置圖需確定拋物線頂點的位置和頂點的彎矩值。和頂點的彎矩值。由：由：0)()(xFdxxdMs 可知可知彎矩拋物線頂點對應于剪力圖等于零的位置彎矩拋物線頂點對應于剪力圖等于零的位置。 根據根據M、Fs與與q之間的

21、關系，可不必列剪力方程和彎矩之間的關系，可不必列剪力方程和彎矩方程，即可畫出剪力圖和彎矩圖。方程，即可畫出剪力圖和彎矩圖。 根據根據M、 Fs與與q之間的關系畫剪力圖和彎矩圖的步驟如下：之間的關系畫剪力圖和彎矩圖的步驟如下： 取整體，求支座反力（懸臂梁此步可省）；取整體，求支座反力（懸臂梁此步可省）； 將梁分段：凡是集中力、集中力偶作用點將梁分段：凡是集中力、集中力偶作用點 ，分布荷載，分布荷載兩端，支座處都應取作分段點；兩端，支座處都應取作分段點； 用公式法或截面法求出每段梁兩端截面的剪力和彎矩用公式法或截面法求出每段梁兩端截面的剪力和彎矩 ，由由M =ql2/8確定彎矩拋物線中點所對應截面

22、的彎矩值；確定彎矩拋物線中點所對應截面的彎矩值； 用直線，均布荷載下彎矩圖用拋物線將各截面剪力、用直線，均布荷載下彎矩圖用拋物線將各截面剪力、彎矩彎矩 連起來。并在圖上標出正負號，各控制截面的剪力值和連起來。并在圖上標出正負號，各控制截面的剪力值和彎矩值。彎矩值。例例4 畫圖示梁的剪力圖和彎矩圖。畫圖示梁的剪力圖和彎矩圖。AC2mm=12kN.mq=6kN/m4422 3FAFB34m11解：取整體解：取整體 ; 0Bm02461qmFAkNFA6 ; 0yF04 qFFBAkNFB18Fs圖圖M圖圖FsM1234=00BAC2mm=12kN.mq=6kN/m4422 3FA=6kNFB=18

23、kN34m11Fs圖圖M圖圖FsM12345=00FA22Fs2M2A ; 0yF ; 02m02sAFFkNFs62022AFMmkNM.12266612BFs圖圖M圖圖FsM1234=00 ; 03m023mFMAmkNM.24366-1812FA33Fs3M3Am24B44M4Fs4FB ; 0yF04BsFFkNFs1846FB=18kNAC2mm=12kN.mq=6kN/m4422 3FA=6kN34m11BAC2mm=12kN.mq=6kN/m4422 3FA=6kNFB=18kN34m11Fs圖圖M圖圖FsM12345=0066-181224B66kN18kN 3m5555Fs5

24、M5FBq ; 05m023335qFMBmkNM.27502712kN.m24kN.m27kN.mB例例5 畫圖示梁的剪力圖和彎矩圖。畫圖示梁的剪力圖和彎矩圖。AC2mF=6kNq=3kN/m6622 3FAFB32m11解：取整體解：取整體 ; 0Am05226qFFBkNFB7 ; 0Y04qFFFBAkNFA5Fs圖圖M圖圖FsM12345=002mB44 55D6=AC2mP=6kNq=3kN/m6622 3FA=5kNFB=7kN32m11Fs圖圖M圖圖Fs M12345=002mB44 55D6=5-75 ; 03m023AFMmkNM.103FA33Fs3M3AP ; 0yF0

25、QPRAkNFs1-1-1-11010 5kN1kN7kN 10kN.mAC2mP=6kNq=3kN/m6622 3FA=5kNFB=7kN32m11Fs 圖圖M圖圖FsM12345=002mB44 55D6=5-75 ; 04m0244PRMAmkNM.84RA44Fs 4M4AP-1-1-11010 5kN1kN7kN 10kN.m8kN.m88例例6 畫圖示梁的內力圖。畫圖示梁的內力圖。ABC4m2mP=4kNq=2kN/m11223344解：解：取整體，取整體，FB ; 0Bm0242qPmAmkNmA.8mA ; 0yF04 qPFBkNFB12Fs圖圖M圖圖Fs M1234=008

26、44ABC4m2mP=4kNq=2kN/m11223344FB=12kNFs圖圖M圖圖Fs M1234=00844mA=8kN.mP=4kN22FBFs2M2 ; 0yF ; 02m02PFFBskNFs82022 PMmkNM.82-8-8-8 4kN8kN 8kN.m8kN.mCB例例7 畫圖示梁的內力圖。畫圖示梁的內力圖。ABCD3m4m2mF=3kNq=1kN/m11223366解：解：取整體，取整體，FAFC ; 0Am03696qFmFCkNFC5 . 6 ; 0yF06 qFFFCAkNFA5 . 24455m=6kN.mFs圖圖M圖圖(kN)(kN.m)ABCD3m4m2mP=

27、3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC =6.5kN4455m=6kN.mFs 圖圖M圖圖(kN)(kN.m),5 . 21kNFs,5 . 132kNFFss,5 . 34kNFs,365kNFFss2.533.5 ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC =6.5kN4455m=6kN.mFs圖圖M圖圖(kN)(kN.m)2.533.5 , 061 MM,.954mkNMM ; 03m02443mqFMAmkNM.43FA33Fs3M3Amq94ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC =6.5kN4455m=6kN.mFs圖圖M圖圖(kN)(kN.m)2.533.5 ; 02m02442qFMAmkNM.22FA22Fs2M7Aq9422.5m ; 07m025. 15 . 25 . 27qFMAmkNM.125. 37FA77Fs7Aq773.125M2 83 按疊加原理作彎矩圖按疊加原理作彎矩圖qmABlmABlqABl=+FA=m/lFB=m/l FA=ql/2FB=ql/2Fs圖圖M圖圖m/lmql/2ql/2ql2/8m/l+ ql/2m/l- ql/2mql2/8=+=MmaxPmABl/2mABAB=+FA=m/lFB=m/l RA=P/2FB=P/2Fs