中國教育學會中學數學教學專業委員會

2023年全國初中數學競賽試題

一二三

題號總分

1?56?1011121314

得分

評卷人

復查人

答題時注意：

1.用圓珠筆或鋼筆作答；

2.解答書寫時不要超過裝訂線;

3.草稿紙不上交.

一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.每道小題均給出了代號為A,B,C,D的四個選項，其中

有且只有一個選項是對的的.請將對的選項的代號填入題后的括號里,不填、多填或錯填都得。分）

1（甲）.假如實數a*,c在數軸上的位置如圖所示，那么代數式

一|a++J（c-a）2+|b+c|可以化簡為（）.

A.2c-a

B.2a-2b

C.-a

D.a

1（乙）.假如。=-2+a,那么1+—1的值為（）.

2+—!—

3+。

A.-418B.夜C.2?D.25/2

2（甲）.假如正比例函數y=與反比例函數y=gb#0）的圖象有兩個交點,其中一個交點

的坐標為（-3,-2）,那么另一個交點的坐標為（).

A.（2,3）?B.（3,-2）C.（-2,3）?D.（3,2）

2（乙）.在平面直角坐標系X。），中，滿足不等式V+y2W2x+2y的整數點坐標（x,），）的個數為

）.

A.10oB.9C.72.5

3（甲）.假如a,b為給定的實數，且那么1,a+i,2a+b,a+6+l這四個數據的平均數與

中位數之差的絕對值是（）.

生二。

A.l??B.C.-0D,-

424

3（乙）.如圖,四邊形458中，AC、應）是對角線，ZXABC是等邊三角形.ZADC=3O°,

4）=3,或＞=5,則CD的長為（）.

A.3&o?B.4C.2V5D.4.5

4（甲）.小倩和小玲每人都有若干面值為整數元的人民幣.小倩對小玲說：“你若給我2元，我的

錢數將是你的“倍”；小玲對小倩說：“你若給我〃元，我的錢數將是你的2倍”，其中〃為正整數，則”的

也許值的個數是（）.

A.1°eB?20c?3。D.4

4（乙）.假如關于工的方程“px-q=0Qp,9是正整數）的正根小于3,那么這樣的方程的個數是

（）.

A.5oB.6C.7D.8

5（甲）.一枚質地均勻的正方體骰子的六個面上的數字分別是1,2,3,4,5,6.擲兩次骰子，設其朝上的

面上的兩個數字之和除以4的余數分別是0,1,2,3的概率為外,p2,Pi,則為，Pi,p2,P3中最大

的是（）.

A.Po°B.。C.p2o°D.p3

5（乙）.黑板上寫有1,-，…，-L共100個數字.每次操作先從黑板上的數中選取2個數a,b,

23100

然后刪去a,b,并在黑板上寫上數a+6+而，則通過99次操作后，黑板上剩下的數是（）.

A.2023B.101?C.100-D.99

二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）

6（甲）.按如圖的程序進行操作，規定:程序運營從“輸入一個值『'到"結果是否>487?”為一次操

作.假如操作進行四次才停止，那么x的取值范圍是.

白一叵一巨一［^3,便

t--------------------1

6（乙）,假如c是正數，且滿足a+A+c=9,」一+」一+」一=竺，那么

a+bb+cc+a9

，一+上+上的值為_________.

b+cc+aa+b

十7（甲）.如圖，正方形的邊長為2，記，E、尸分別是他、BC的中點，AF與DE、DB，分

別交于點M、N,則4DMN的面積是.

7（乙）.如圖,的半徑為20,A是。O上一點。認為04對角線作矩形O8AC,且OC=12.延長BC,

與。。分別交于￡>,E兩點，則CE-必的值等于.

E

R9r20"

8（甲）.假如關于x的方程Y+履+；二一3%+]=0的兩個實數根分別為％,x2,那么餐的值

為.

8（乙）.設"為整數，且1W〃W2（）12.若（〃2-”+3）（/+〃+3）能被5整除，則所有〃的個數

為.

9（甲）.2位八年級同學和機位九年級同學一起參與象棋比賽，比賽為單循環，即所有參賽者彼此

恰好比賽一場.記分規則是：每場比賽勝者得3分，負者得0分；平局各得1分.比賽結束后，所有同學

的得分總和為130分，并且平局數不超過比賽局數的一半，則機的值為.

9（乙）.假如正數x,y,z可以是一個三角形的三邊長，那么稱（x,y,z）是三角形數.若（a,b,c）

和仕，L“均為三角形數，且aW/pWc,，則3的取值范圍

\abc）c

是.

10（甲）.如圖，四邊形ABC。內接于4?是直徑,AD=DC.分別

延長54,CD,交點、為E.作8FLEC,并與EC的延長線交于點

F.若A￡=AO,3C=6,則b的長為.

10（乙）.已知”是偶數，且1W〃W1OO.若有唯一的正整數對（a,6）使得成立，則這樣的

n的個數為.

三、解答題（共4題，每題20分，共80分）

11（甲）.已知二次函數y=V+（機+3）X+//J+2,當一1vx<3時，恒有y<0;關于x的方程

f+（m+3）x+m+2=0的兩個實數根的倒數和小于-2.求〃2的取值范圍.

10

_4

11（乙）.如圖，在平面直角坐標系xOy中,AO=8,AB^AC,sinZABC=-.

8與y軸交于點E,且S△或E=S△"丁已知通過3，C,E三點的圖象是一條拋物線，求這條拋

物線相應的二次函數的解析式.

12（甲）.如圖,0。的直徑為AB,。01過點O,且與。。內切于點B.C為。。上的點,OC與OO1交

于點D,月一。￡>>8.點E在OD上，且DC=DE,BE的延長線與00,交于點F，求證:ABOC^ADO.F.

12（乙）.如圖,。。的內接四邊形ABC。中,AC,8。是它的對角線，AC的中點/是八鉆。的內

心.求證：

⑴O/是△/B￡>的外接圓的切線;

（2）AB+AD^2BD.

13（甲）.已知整數A滿足:a-萬是素數，且必是完全平方數.

當a,2012時，求a的最小值.

13（乙）.凸〃邊形中最多有多少個內角等于150。？并說明理由.

14（甲）.求所有正整數〃，使得存在正整數不和…，X2012'滿足X＜工2＜…＜工2012，旦

122012

—I-------1---------1-----------=n.

,^2012

14（乙）.將2,3,…，〃（〃22）任意提成兩組，假如總可以在其中一組中找到數a,b,C（可以相同）

使得〃'=c,求”的最小值.

中國教育學會中學數學教學專業委員會

2023年全國初中數學競賽試題參考答案

一、選擇題

1（甲）.C

解:由實數〃，b,c在數軸上的位置可知

b<a<O<c9且網>c,

所以，儲一|。|+J（c-+16+c|=—u+（。+Z?）+（c—。）一（Z?+c）=-a?

1（乙）.B

W：1H----:-=1H------^―:=1-1-----7==]+~7=^=14-\/2-1=>/2.

2+_L2+』2+0-1V2+1

3+a1+V2

2（甲）.D

解：由題設知2=〃?（—3）,（-3>（-2）=6,所以。=—,0=6.

3

2

y=一龍，

解方程組13得x=—3,卜=3,

67=-2；[y=2.

y=一，

X

所以另一個交點的坐標為（3,2）.

注:運用正比例函數與反比例函數的圖象及其對稱性，可知兩個交點關于原點對稱，因此另一個交點

的坐標為（3,2）.

2（乙）.B

解：由題設Y+y?W2x+2），，得0W（x-l）2+（y-l）2W2.

由于x,y均為整數,所以有

(x-l)2=O,f(x-l)2=O,J(x-l)2=1,J(x-l)2=1,

1(y-1)2=0：1()'-1)2=1；[(y-1)2=0；[(y-1)2=1.

解得

Jx=1>Jx=l,J.r=1>Jx=0,Jx=0,Jx=0?Jx=2,fx=2,Jx=2>

[y=l；[.v=2；[y=0；[y=l；[,v=0；[y=2；[y=1；=0；[y=2.

以上共計9對(x,y).

3(甲).D

解:由題設知,l<a+l<a+5+l<2a+A,所以這四個數據的平均數為

I+(a+1)+(a+6+1)+(2。+h)3+4a+2b

4―4

(a+l)+(a+〃+l)4+4a+2b

中位數為

2―4，

4+4a+2Z?3+4a+2h_1

于是

44-4,

3(乙).B

解:如圖，認為C￡>邊作等邊△口）￡,連接AE.

由于4C=BC,CZ)=CE,

NBCD=ZBCA+ZACD=NDCE+ZACD=ZACE,

所以△BCD會/MCE,BD=AE.

又由于NAOC=30°,所以NAOE=90°.

在RtZ\4￡)E中，AE=5,AD=3,

于是￡>E=〃爐-Ab=4,所以CO=Z)E=4.

4（甲）.D

解：設小倩所有的錢數為x元、小玲所有的錢數為y元,x,y均為非負整數.由題設可得

Jx+2=〃（y_2）,

[y+n=2（x-n）f

消去x得（2y-7）〃=y+4,

2〃=(2)-7)+I5=I+』

2y-72y-l

由于士一為正整數，所以2y-7的值分別為1,3,5,15,所以y的值只能為4,5,6,11.從而w的值分

2y-7

別為8,3,21；x的值分別為14,7,6,7.

4（乙）.C

解:由一元二次方程根與系數關系知,兩根的乘積為F<0,故方程的根為一正一負.由二次函數

y=x?-px-g的圖象知，當x=3時,y>0,所以3?-3p-q>0,即3P+4<9.由于p,q都是正整數，所以

0=1,1<夕<5;或p=2,lWqW2,此時都有△="!+4q>0.于是共有7組（p,q）符合題意.

5（甲）.D

解:擲兩次骰子，其朝上的面上的兩個數字構成的有序數對共有36個，其和除以4的余數分別是

0,1,2,3的有序數對有9個,8個,9個,10個，所以為=2,目=芻，p,=2,03=史，因此P3最大.

36363636

5（乙）.C

解：由于。+6+必+1=（。+1）（。+1）,所以每次操作前和操作后，黑板上的每個數加1后的乘積不變.

設通過99次操作后黑板上剩下的數為x,則

Z=（l+1）加加…g+）

解得x+l=101,x=100.

二、填空題

6（甲）.7<xW19

解:前四次操作的結果分別為

3x-2,3（3x-2）-2=9x-8,3（9x-8）-2=27x-26,3（27x-26）-2=81x-80

由已知得

J27x-26W487

[81x-80>487

解得7VxW19.

容易驗證，當7<xW19時，3x—2W4879x-8W487,故x的取值范圍是

7cxW19.

6（乙）.7

解：由已知可得

abc9-b~c9-c-ci9-a-h

-----1------1-----------1--------1------

b+cc+aa+bb+cc+aa+b

=---9--+---9---+---9-----3c

b+cc+aa+b

=9cx-1-°---3c=7r.

9

7（甲）.8

解：連接。尸，記正方形A3CD的邊長為2a.由題設易知

WFNs/\DAN,所以

ADANDN=2

2

由此得AN=2NF,所以AN=—AF.

3

在RtZXMF中，由于AB=2o,BF=a,所以

AF=dAB?+BF?=&,

,.AB26

于是cosZBDArr==-----.

AF5

由題設可知八位出四△&F,所以

ZAME=1800-ZBAF-ZAED=1800-ZBAF-ZAFB=90.

AM=AE-cosZBAF=^-a,

于是

5

MN=AN-AM=-AF-AM=迫0,

315

S^MND_MN_4

S&AFDAF15

又S&AFD=g?（2。）?（2。）=2a2,所以5.機=2AFO=24?

由于。=岳，所以％MNO=8.

73?

解：如圖，設DE的中點為M,連接OM,則。0.由于

OB=V202-122=16,所以

OM二四區16x1248

BC20-M，

64

22

CM=y/0C-0M=—fBM=—

64362R

所以CE-BD=CEM-CM)-(DM-BM)=BM-CM=---=—

555

2

8（甲）.~

解：根據題意，關于x的方程有

△=二一4件2-3&+2）20,

由此得（攵一3）2W0.

又（2-3）22。，所以（女一3）一=（）,從而女=3.止匕時方程為x2+3x+\=0,解得x=w=—1.

8（乙）.1610

解：由于（萬一〃+3）（/+〃+3）=〃4+5/+9=（〃一】）（〃+1）（/+1）+5/+10.

當〃被5除余數是1或4時，〃一1或〃+1能被5整除，則（/一〃+3）（/+〃+3）能被5整除;

當〃被5除余數是2或3時，1+1能被5整除，則（/一〃+3）（川+〃+3）能被5整除；

當〃被5除余數是0時，（/一〃+3）（/+〃+3）不能被5整除.

所以符合題設規定的所有”的個數為期x8+2=1610.

10

9（甲）.8

解：設平局數為“，勝（負）局數為8,由題設知

為+勸=130,

由此得0W/?W43.

又.+人=所以2a+2匕=。〃+］）（?2+2）.于是

0W8=130-(，*+l)(〃?+2)W43,

87W(m+l)(m+2)W130,

由此得機=8,或帆=9.

當帆=8時,6=40,a=5;當機=9時，6=20,a=35,a>^-=—,不合題設.

22

故機=8.

9心

解：由題設得

a+b>c,

-+—

cba

所以

一+---->—.

cc-aa

整理得

閆一3閆+1＜。，

由二次函數y=f-3x+l的圖象及其性質，得匕叵出叵.

2c2

又由于0W1,所以上避＜@W1.

c2c

10(甲)當

解:如圖，連接AC,BD,OD.

由4B是OO的直徑知NBCA=ABDA=90°.

'4E

依題設NBFC=90°,四邊形ABCD是。0

的內接四邊形，所以

ZBCF^ZBAD,

所以RtABC/sRtZjjM),因此曳=絲

CFAD

由于是。O的半徑,A￡)=8,所以8垂直平分AC,OD//BC,

于是器=^=2.因此

DE=2CD=2AD,CE=3AD.

HA3

由AAEDsACEB,知。￡￡C=AEBE.由于AE=—,BE=-BA,

22

所以24。?34￡>=殮?3&4,朋=284。，故

22

6=絲衣=與=述

BA2\122

10（乙）.12

解：由已知有（。-3（4+。）=〃,且〃為偶數,所以。-4Q+b同為偶數，于是〃是4的倍數.設〃=4根,

則lWmW25.

（I）若相=1,可得/2=0,與b是正整數矛盾.

（H）若m至少有兩個不同的素因數，則至少有兩個正整數對（〃,為滿足包心.色!女=?!；若加恰是

22

一個素數的塞，且這個塞指數不小于3,則至少有兩個正整數對（a,歷滿足巴士.也=〃?.

22

（III）若〃?是素數，或相恰是一個素數的嘉，旦這個幕指數為2,則有唯一的正整數對（a,為滿足

a-ba+b

----------=m.

22

由于有唯一正整數對（a,6）,所以出的也許值為2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,共有1

2個.

三、解答題

11（甲）.解：由于當一lvxv3時，恒有y<。,所以

△=（TW+3）2—4（m+2）>0,

即（m+1）2>0,所以機w—l.

........（5分）

當x=-l時,yWO;當x=3時,yWO,即

（一1）2+（僧+3）（—1）+機+2W0,

且3"+3(/%+3)++2W0,

解得mW-5.

...............（10分）

設方程f+（加+3）x+（故+2）=0的兩個實數根分別為“％，由一元二次方程根與系數的關系得

%=一（"7+3）,x]x2=m+2.

iio

由于—I<-----,所以

X1%210

%1+x2_機+3<9

XRm+210

解得〃zv-12,或加>一2.

因此tn<—12.

...............（20分）

AnA

11（乙）.解：由于sin/A8C==—,40=8,所以

AB5

AB=\0

由勾股定理，得80=y]AB2-AO2=6.

易知人鉆。絲△ACO,因此CO=3O=6.

于是A（0,-8）,B（6,0）,C（-6,0）.

設點。的坐標為（7%,n）,由%C0E=,得.所以

-BC\n\^-AOBO,

22

gxl2（-〃）=gx8x6,

解得n=-4.

因此。為M的中點，點。的坐標為（3,-4）.

...............（10分）

因此CD,AO分別為43,BC的兩條中線，點E為ZVIBC的重心，所以點E的坐標為（0,-|

設通過5,C,E三點的拋物線相應的二次函數的解析式為y=a（x-6）（x+6）.將點E的坐標代入,

2

解得“

27

故通過B,C,E三點的拋物線相應的二次函數的解析式為

228

—x——

273

（20分）

12（甲）.證明：連接班），由于03為。q的直徑，所以

NODB=90°.又由于￡）C=￡＞E,所以△C5E是等腰三角形.

設BC與交于點M,連接,則NOM8=90。.又由于

OC=OB,所以

NBOC=2ZDOM=2ZDBC=2ZDBF=ZDOtF.

（15分）

又由于NBOC,NDO尸分別是等腰△BOC,等腰尸的頂角，所以

WOCs^DO.F.

（20分）

12（乙）.證明：（1）如圖，根據三角形內心的性質和同弧上圓周角的性

CI=CD.

同理,C1=CB.

故點C是△/%＞的外心.

連接OA,OC,由于/是AC的中點，且。4=OC,

所以O/_LAC,即O/_LC7.

故。/是△/%＞外接圓的切線.

（10分）

（2）如圖，過點I作/E_LAD于點E,設OC與BD交于點F.

由8c=8,知OC_L3E>.

由于NCBF=Z7AE,BC=CI=AI,所以

RtABCFgRtAM/￡,

所以3F=AE.

又由于/是入曲的內心，所以

AB+AD—BD=2AE=BD.

故=

.......（20分）

13（甲）.解：設。一。=相（加是素數），ab=n2（〃是正整數）.

由于（Q+b）2-=（a-b）2,

所以-4〃2="2,

（2a-m+2n）（^2a-m-In）=nr

.......（5分）

由于2a-m+2〃與2zz-〃2-2n都是正整數，且2a-m+2n>2a-m-2n{m為素數），所以

2a-m+2n=m2,2a-tn-2n=\.

（m+1）2m2—1

解得

44

.（加一

于是b—a-m=------

4

.......（10分）

又a22012,即竺亞22012.

4

又由于m是素數，解得相力89.此時,aN（>+1產=2025.

4

當a=2O25時，機=89,。=1936,〃=1980.

因此，a的最小值為2025.

.......（20分）

13（乙）.解:假設凸〃邊形中有上個內角等于150°,則不等于150°的內角有〃-％個.

（1）若左=〃，由〃*150°=（〃—2）xl80°,得”=12,正十二邊形的12個內角都等于150°;

........（5分）

（2）若k<n,且〃N13,由“xI50°+（〃-&）*180°>（〃-2）xl80°,可得％<12,即ZW11.

當&=11時，存在凸〃邊形，其中的11個內角等于150°,其余〃-左個內角都等于

,二("2)xl80TM5。。上,。。<”]8。。，350。.

n-11n-11

...............(10分)

(3)若Ac”,且8W〃W11.

當々=〃-1時，設另一個角等于a.存在凸“邊形，其中的個內角等于150°,另一個內角

a=(n-2)xl80°-(n-l)xl50o=(n-7)x30o.

由“W11可得a=(〃-7"30°<180°;由“力8可得a=5-7“30°>0°,且0^150°.

...............(15分)

(4)若A<〃，且3W〃W7,由(3)可知ZW"-2.當々="-2時，存在凸"邊形，其中"一2個內

角等于150°,另兩個內角都等于(〃-2)x15°.