1、例談通過數(shù)學(xué)解題教學(xué)提高學(xué)生的思維能力 數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一是培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的思維能力，使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，不斷發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維過程，學(xué)到其思維方法，從而學(xué)會(huì)獨(dú)立探索，有所發(fā)現(xiàn)，有所創(chuàng)新，以便更好的掌握和應(yīng)用知識(shí) 數(shù)學(xué)的思維訓(xùn)練通常是以解題教學(xué)為中心展開的沒有一定量的題練，固然達(dá)不到練就過硬解題本領(lǐng)的要求，但“題海之戰(zhàn)”也未必培養(yǎng)出高素質(zhì)、高能力的學(xué)生，反而加重他們的負(fù)擔(dān)，帶來負(fù)面影響，這與素質(zhì)教育是相悖的 筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)解題中，應(yīng)就題目的目標(biāo)、內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、特征等采用一題多解、多題一解、一題多變、一題多用、一題多聯(lián)，進(jìn)行不同方面、不同角度、不同層次的分析、探索，其效果必勝

2、于“寧多勿缺”的大運(yùn)動(dòng)量的機(jī)械重復(fù)一、一題多解，培養(yǎng)思維的發(fā)散性【例1】求函數(shù)的最大值解法一：結(jié)合正、余弦函數(shù)的有界性，構(gòu)建關(guān)于函數(shù)值y的不等式：解得：，即函數(shù)最大值為注意：角的范圍是否能使取到1或1解法二：針對(duì)和的不同名稱，采用“減元”的方法：，由二次方程的實(shí)根分布解得函數(shù)最大值為解法三：根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想直線的斜率公式：，可以把y看作點(diǎn)P(，)與點(diǎn)Q(2，0)連線的斜率k，因?yàn)椋蕜?dòng)點(diǎn)P的軌跡是單位圓的上半部分，而過點(diǎn)Q(2，0)的直線y=k(x+2)與此軌跡要有公共點(diǎn)，便有，解得：，即函數(shù)最大值為 值得注意的是，一題多解的價(jià)值不是為了使學(xué)生知道這道題可以有多種解法，而在于使學(xué)生學(xué)

3、會(huì)從不同角度、不同方位去審視、去思考，從而溝通知識(shí)之間的縱橫聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的求知欲，達(dá)到訓(xùn)練和培養(yǎng)發(fā)散性思維能力的目標(biāo)要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，需教師引導(dǎo)學(xué)生找準(zhǔn)發(fā)散點(diǎn)，并及時(shí)的調(diào)整否則可能造成學(xué)生的迷惘和失意，甚至失去興趣，不利于教學(xué)的進(jìn)程二、多題一解，培養(yǎng)思維的聚斂性【例2】設(shè)關(guān)于x的方程在(0，+)上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【例3】設(shè)關(guān)于x的方程有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【例4】設(shè)關(guān)于x的不等式有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【例5】設(shè)關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 經(jīng)過分析、比對(duì)，雖然上述例2到例5的數(shù)學(xué)情景不同，分別以二次方程、三角方程、三角不等式的“面孔”出現(xiàn)，但其本質(zhì)特征通過兩個(gè)變量的相互

4、關(guān)系，尋找其中一個(gè)變量的取值（范圍）是相同的，所以都可以用分離法解決 略解例5如下： 恒成立對(duì)恒成立， 的最大值為1，故所求a的取值范圍是(1，+) 多題一解需要學(xué)生有一定的類比、觀察能力，對(duì)學(xué)生掌握基本數(shù)學(xué)技能和解題規(guī)律性有著一定的積極作用，能達(dá)到做一題，會(huì)一類；用一法，解多題的效果，有利于求同思維的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生聚斂性思維能力但也不可使思維過于僵化，否則反而會(huì)走入死胡同三、一題多變，培養(yǎng)思維的探索性【例6】已知是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞增，又，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍 本題綜合了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及解不等式，內(nèi)涵豐富從這一“模型”出發(fā)，可作如下變更： 1、對(duì)原題中的“”和

5、“”都能定號(hào)，改為不全能定號(hào)變題1：已知是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(，0上單調(diào)遞增，又，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍 分析：由于“”不能定號(hào)，便需進(jìn)行討論，或根據(jù)是偶函數(shù)，有，得，解得：或，進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的理解 2、隱去原題中已知的單調(diào)性、奇偶性變題2：已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意，都有成立，當(dāng)時(shí)，且對(duì)所有均成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 分析：令，得，再令，便可得，又定義域?yàn)镽，故是奇函數(shù)設(shè)，則，即，得是R上的遞增函數(shù)。結(jié)合單調(diào)性、奇偶性便可得對(duì)任意恒成立，令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故 通過對(duì)條件的變更，訓(xùn)練學(xué)生學(xué)會(huì)分析，發(fā)現(xiàn)并利用函數(shù)性質(zhì)解題的思維習(xí)慣 3、變確定型問題為探索型問題變題

6、3：已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，是偶函數(shù)，且在2，+）是減函數(shù)，試問與滿足什么關(guān)系時(shí)才有？ 分析：由是偶函數(shù)，可得的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱又在2，+）是減函數(shù)，則在（，2上遞增，再確定“”“”的范圍各自為（，1和（，2要得到即，考察“”與“”的大小，因?yàn)?gt;，結(jié)合單調(diào)性，應(yīng)有 在較好的選擇“模型題”的基礎(chǔ)上，通過對(duì)題設(shè)、結(jié)論、形式、甚至背景做一些適當(dāng)?shù)囊旰妥兓茉鰪?qiáng)學(xué)生的應(yīng)變能力和求解能力，對(duì)訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的積極探索、創(chuàng)新精神大有裨益四、一題多用，培養(yǎng)思維的深刻性【例7】設(shè)函數(shù)，求證：在(0，1上是減函數(shù)，在1，+)上是增函數(shù)(證明略)這種函數(shù)單調(diào)性的用途非常廣泛，如：【例8】已知，求證：

7、分析：由得：，令，由例7結(jié)論知在上遞增，在1，10上遞減，故，即 引申：設(shè)函數(shù)，求證：在(0，上是減函數(shù)，在，+)上是增函數(shù)(證明略)【例9】設(shè)函數(shù)（1）若，求的最小值；（2）若，求證：略解：（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)（2），因?yàn)椋剩蓡握{(diào)性可得五、一題多聯(lián)，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性【例10】已知橢圓C：的兩焦點(diǎn)為F1、F2，如果C上存在一點(diǎn)Q使F1QF2Q，求橢圓離心率e的變化范圍 1、鑒于橢圓上點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線，可聯(lián)橢圓略解：由| QF1 | + | QF2 | = 2a，| QF1 |2+| QF2 |2 = 4c2，可得：，即，解得：，又橢圓離心率，故 2、由F1QF2Q，可聯(lián)直線的斜率略解：設(shè)，有，即，又Q點(diǎn)在橢圓上，有，聯(lián)立得：，由，解得：，又橢圓離心率，故 3、因?yàn)镼點(diǎn)對(duì)定線段張直角，可聯(lián)Q點(diǎn)的軌跡是以F1F2為直徑的圓略解：因?yàn)镕1QF2Q，所以Q點(diǎn)的軌跡方程為，與橢圓方程聯(lián)立，可得：，即，