1、精選優質文檔-傾情為你奉上構造對偶式的八種途徑在數學解題過程中,合理地構造形式相似，具有某種對稱關系的一對對偶關系式，并通過對這對對偶關系式進行適當的和,差,積等運算，往往能使問題得到巧妙的解決，收到事半功倍的效果。一 和差對偶對于表達式，我們可構造表達式作為它的對偶關系式。例若，且，求的值。解析：構造對偶式：則得再由，得：。點評：這種構造對偶式的方法靈巧，富有創意，有助于培養學生的創新思維和創造能力。例已知：，且，求證：。解：則有：又，故，即原不等式成立。例解方程：解：構造對偶式：，再由原方程聯立可解得：那么得：得：，即，代入（）中得：，整理得：，解得：。二 互倒對偶互倒對偶是指針對式子的結

2、構，通過對式中的某些元素取倒數來構造對偶式的方法。例若，求證：。解：設,構造對偶式：，則而，故，即。例設為互不相等的正整數，求證：。解：設，構造對偶式：則又為互不相等的正整數，所以，因此。點評：解題時巧妙構思，對其構造了“意料之中”的對偶式，化新為舊，等價轉化，完成對難點的突破，以達化解問題這目的。例已知對任意總有，求函數的解析式。解析：因用替代上式中的，構造對偶式：由得：故。三 共軛對偶共軛對偶是反映利用共軛根式或共軛復數來構造對偶式的方法。例已知，解方程：。解析：由構造對偶式：由得，代入得，故或。例若，已知且，證明：為純虛數。解：設，則，構造對偶式：則（因為）又（因為）為純虛數。例已知：，

3、且，求證：。證明：設，構造對偶式：，即原不等式成立。四 倒序對偶倒序對偶是指針對式子的結構，通過和式或積式進行倒序構造對偶式的方法。例求和：解析：觀察和式聯想到，故首先在和式右邊添上一項，則構造對偶式：即亦為：由得：點評：利用現成的對偶式，使問題本身變得簡單，便易，如此處理，可謂“勝似閑庭信步”，豈不妙哉！例正項等比數列中，試用，表示。解析：傳統解法都用表示，及，然后通過和找到，的等量關系，這種解法雖思路正確，但運算繁瑣，加之在用等比數列求和公式時還要討論和兩種情形，如此解題會陷入漫漫無期的運算之中，很少有人能夠到達終點。其實，觀察和式子與積式特征不妨采取“本末倒置”構造倒序對偶序式一試。由題

4、意知：構造倒序對偶式：由得：，即再來看：構造倒序對偶式：即得：，即。由等比數列性質可知，右邊的分母均為，故即，又。五 定值對偶定值對偶是指能利用和，差，積，商等運算產生定值，并借此構造出對偶式的方法。例已知函數。，則。解析：發現定值：。那么構造對偶式：由得：，即。六 奇偶數對偶奇偶數對偶指利用整數的分類中奇數與偶數的對稱性構造對偶式的方法。例求證：。解：設，構造對偶式：。由于因此，從而故。例求證：證明：待證不等式的左邊為：。令：構造兩個對偶式：故原不等式成立。七 輪換對偶輪換對偶是指針對式子的結構，通過輪換字母而構造對偶式的方法。例求證：對任意實數，都有不等式成立。證明：設構造對偶式，則，即而，即。當且僅當時等號成立。例設，求證：。證明：設，構造對偶式：，。又，即，。八 互余對偶三角中的正弦與余弦是兩個對稱元素，利用互余函數構造對偶式，借用配對思想可以輕松完成有關三角題的解答。例已知，解方程：解析：若令，構造對偶式：則：由得：，又或或。例求的值。解析：令，構造對偶式：，則點評：這是一道比較典型的三角求值題。通過對題目結構特征的觀察，由目標導向，構造對偶式，從而獨辟蹊徑，出奇制勝。在數學解題過程中，如果我們恰當地構造對偶關系式，不僅能提高解題速度，而且能收到以簡馭