1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)的整除性質(zhì)主要有：（1） 若甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能被丙數(shù)整除。（2） 若兩個數(shù)能被一個自然數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和與差都能被這個自然數(shù)整除。（3） 幾個數(shù)相乘，若其中有一個因數(shù)能被某一個數(shù)整除，那么它們的積也能被這個數(shù)整除。（4） 若一個數(shù)能被兩個互質(zhì)數(shù)中的每一個數(shù)整除，那么這個數(shù)也能被這兩個互質(zhì)數(shù)的積整除。（5） 若一個數(shù)能被兩個互質(zhì)數(shù)的積整除，那么這個數(shù)也能分別被這兩個互質(zhì)數(shù)整除。（6） 若一個質(zhì)數(shù)能整除兩個自然數(shù)的乘積，那么這個質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個自然數(shù)中的一個。（7） 個位上是0、2、4、6、8的數(shù)都能被2整除。（8） 個位上是0或者

2、5的數(shù)都能被5整除。（9） 若一個整數(shù)各位數(shù)字之和能被3（或9）整除，則這個整數(shù)能被3（或9）整除。（10） 若一個整數(shù)末尾兩位數(shù)能被4整除，則這個數(shù)能被4整除。（11） 若一個整數(shù)末尾三位數(shù)能被8整除，則這個數(shù)能被8整除。（12） 若一個整數(shù)各位數(shù)字之和能被9整除，則這個整數(shù)能被9整除。（13） 一個三位以上的整數(shù)能否被7（11或13）整除,只須看這個數(shù)的末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位數(shù)字以前的數(shù)字所組成的數(shù)的差（以大減小）能否被7（11或13）整除 （14） 末位數(shù)字為零的整數(shù)必能被10整除 （15） 另外,一個整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差如果是11的倍數(shù),那么

3、這個整數(shù)也是11的倍數(shù).（一個整數(shù)的個位、百位、萬位、稱為奇數(shù)位,十位、千位、百萬位稱為偶數(shù)位.） （16） 至于6和12的整除特性，通過以上的原則判斷即可：各位數(shù)之和能被3整除的偶數(shù)能被6整除；各位數(shù)之和能被3整除且末兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)能被4整除的整數(shù)能被12整除。（17） 能被7整除的數(shù)的特征：若一個整數(shù)的個位數(shù)字去掉,再從余下的數(shù)中,減去個位數(shù)的2倍,如果差是7的倍數(shù),則原數(shù)能被7整除。如果數(shù)字仍然太大不能直接觀察出來，就重復此過程。方法1、（適用于數(shù)字位數(shù)少時）一個數(shù)割去末位數(shù)字，再從留下來的數(shù)中減去所割去數(shù)字的2倍，這樣，一次次減下去，如果最后的結(jié)果是7的倍數(shù)（包括0），

4、那么，原來的這個數(shù)就一定能被7整除例如：判斷133是否7的倍數(shù)的過程如下：133×27，所以133是7的倍數(shù)；又例如 判斷6139是否7的倍數(shù)的過程如下：6139×2595 ， 595×249，所以6139是7的倍數(shù)，余類推。 方法2、（適用于數(shù)字位數(shù)在三位以上）一個多位數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差，如果能被7整除，那么，這個多位數(shù)就一定能被7整除如判斷數(shù)末三位數(shù)字是679，末三位以前數(shù)字所組成的數(shù)是280，679280=399，399能被7整除，因此也能被7整除。此法也適用于判斷能否被11或13整除的問題。如：的末三位數(shù)字是679，末三位以前數(shù)字

5、所組成的數(shù)是283，679283=396，396能被11整除，因此，就一定能被11整除如：判斷能不能被13整除這個數(shù)的未三位數(shù)字是357，末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)是383，這兩個數(shù)的差是：383357=26，26能被13整除，因此，也一定能被13整除方法3、首位縮小法，在首位或前幾位，減于7的倍數(shù)。例如，判斷能不能被7整除，-=32669，只要32669能被7整除即可。對32669可繼續(xù)，32669-28000=4669，4669-4200=469，469-420=49，49當然被7整除，所以能被7整除。（18） 能被11整除的數(shù)的特征：除了前面講的被7整除的方法二適用于11之外，還可以把一

6、個數(shù)由右邊向左邊數(shù),將奇位上的數(shù)字與偶位上的數(shù)字分別加起來,再求它們的差,如果這個差是11的倍數(shù)(包括0),那么,原來這個數(shù)就一定能被11整除。例如：判斷能不能被11整除。奇位數(shù)字的和9+6+8=23 ，偶位數(shù)位的和4+1+7=12  ，23-12=11因此,能被11整除。這種方法叫“奇偶位差法”。11的倍數(shù)檢驗法也可用上述檢查7的割尾法處理！過程唯一不同的是：倍數(shù)不是2而是1。（19） 能被13整除的數(shù)的特征：除了前面講的被7整除的方法二適用于13之外，還可以把一個整數(shù)的個位數(shù)字去掉，再從余下的數(shù)中，加上個位數(shù)的4倍，如果和是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。如果數(shù)字仍然太

7、大不能直接觀察出來，就需要繼續(xù)上述截尾、倍大、相加、驗和的過程，直到能清楚判斷為止，重復此過程。例如：判斷能不能被13整除。+2×4= ， 12844+0×4=12844，1284+4×4=1300， 1300÷13=100所以，能被13整除。（20） 能被17整除的數(shù)的特征：把一個整數(shù)的個位數(shù)字去掉，再從余下的數(shù)中，減去個位數(shù)的5倍，如果差是17的倍數(shù)，則原數(shù)能被17整除。如果數(shù)字仍然太大不能直接觀察出來，就重復此過程。例如：判斷能不能被17整除。-2×5=16751-8×5=167111671-1×5=1666166-6

8、×5=136如果差太大或心算不易看出是否17的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述截尾、倍大、相減、驗差的過程，直到能清楚判斷為止。6×5=30，現(xiàn)在個位×5=30>剩下的13，就用大數(shù)減去小數(shù)，30-13=17，17÷17=1；所以能被17整除。若一個整數(shù)的末三位與3倍的前面的隔出數(shù)的差能被17整除，則這個數(shù)能被17整除。（21） 能被19整除的數(shù)的特征：把一個整數(shù)的個位數(shù)字去掉，再從余下的數(shù)中，加上個位數(shù)的2倍，如果和是19的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除。如果數(shù)字仍然太大不能直接觀察出來，就重復此過程。若一個整數(shù)的末三位與7倍的前面的隔出數(shù)的差能被19整除，則這個

9、數(shù)能被19整除。（22） 被4或25整除的數(shù)的特征如果一個數(shù)的末兩位數(shù)能被4或25整除，那么，這個數(shù)就一定能被4或25整除。例如：467546×10075由于100能被25整除，100的倍數(shù)也一定能被25整除，4600與75均能被25整除，它們的和也必然能被25整除因此，一個數(shù)只要末兩位數(shù)能被25整除，這個數(shù)就一定能被25整除又如： 8328×10032由于100能被4整除，100的倍數(shù)也一定能被4整除，800與32均能被4整除，它們的和也必然能被4整除因此， 因此，一個數(shù)只要末兩位數(shù)字能被4整除，這個數(shù)就一定能被4整除（23） 被8整除的數(shù)的特征如果一個數(shù)的末三位數(shù)能被8

10、或125整除，那么，這個數(shù)就一定能被8或125整除例如： 9864的末三位是864，864能被8整除，9864就一定能被8整除72375的末三位數(shù)是375，375能被125整除，72375就一定能被125整除。（24） 1與0的特性：1是任何整數(shù)的約數(shù)，即對于任何整數(shù)a，總有1|a.0是任何非零整數(shù)的倍數(shù)，a0,a為整數(shù)，則a|0.（25） 被23或29整除的數(shù)的特征：若一個整數(shù)的末四位與前面5倍的隔出數(shù)的差能被23(或29)整除，則這個數(shù)能被23(或29)整除重點·難點數(shù)的整除概念、性質(zhì)及整除特征為解決一些整除問題帶來了很大方便，在實際問題中應(yīng)用廣泛。要學好數(shù)的整除問題，就必須找到

11、規(guī)律，牢記上面的整除性質(zhì)，不可似是而非。學法指導能被2和5，4和25，8和125整除的數(shù)的特征是分別看這個數(shù)的末一位、末兩位、末三位。我們可以綜合推廣成一條：末n位數(shù)能被（或）整除的數(shù)，本身必能被（或）整除；反過來，末n位數(shù)不能被（或）整除的數(shù)，本身必不能被（或）整除。例如，判斷、能否被16整除，因為，所以只要看各數(shù)的末四位數(shù)能否被16整除。學習這一講知識要學會舉一反三。經(jīng)典例題例1在568后面補上三個數(shù)字，組成一個六位數(shù)，使它能分別被3、4、5整除，且使這個數(shù)盡可能小。 思路剖析這個六位數(shù)分別被3、4、5整除，故它應(yīng)滿足如下三個條件：（1）各位數(shù)字和是3的奇數(shù)；（2）末兩位數(shù)組成的

12、兩位數(shù)是4的倍數(shù)；（3）末位數(shù)為0或5。按此條件很容易找到這個六位數(shù)。 解答不妨設(shè)補上三個數(shù)字后的位數(shù)為，由于這個六位數(shù)被4、5整除，因為被4整除，所以c不能是5而只能是0，且b只可能是2、4、6、8、0。又因，所以3|（5+6+8+a+b+0），所以：當b=2時，3|（5+6+8+a+2），a可為0、3、6、9；當b=4時，3|（5+6+8+a+4），a可為1、4、7；當b=6時，3|（5+6+8+a+6），a可為2、5、8；當b=8時，3|（5+6+8+a+8），a可為0、3、6、9；當b=0時，3|（5+6+8+a+0），a可為2、5、8。為了使六位數(shù)盡可能地小，則a應(yīng)取0、b

13、應(yīng)取2、c應(yīng)取0。故能被3、4、5整除的最小六位數(shù)應(yīng)為。例2四位數(shù)能同時被2、3、5整除，問這個四位數(shù)是多少？ 思路剖析能同時被2、3、5整除，所以滿足以下三個條件：個位數(shù)字B在0、2、4、6、8之中，各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)，個位數(shù)B在0、5之中。第一個和第三個條件都是針對個位數(shù)字的，所以先根據(jù)第二個條件確定百位數(shù)字A。 解答要使能同時被2和5整除，個位數(shù)字只能是B=0；又要使能被3整除，所以各位數(shù)字之和8+A+1+0=9+A應(yīng)能被3整除。可以看出，當A取0、3、6、9時，各位數(shù)字之和9+A可以被3整除。所求的四位數(shù)是8010、8310、8610、8910。例3有兩堆糖果，

14、第一堆有513塊，第二堆有633塊，哪一堆可以平均分給9個小朋友而無剩余？ 思路剖析本題實際上是判斷513與633能否被9整除。 解答513各位上數(shù)字之和是5+1+3=9，能被9整除；633各位上數(shù)字的和是6+3+3=12，不能被9整除。所以，第一堆可以平均分給9個小朋友而無剩余，第二堆平均分給9個小朋友還剩余3塊。例4有一個四位數(shù)是9的倍數(shù)，求A的值。 思路剖析四位數(shù)是9的倍數(shù)，即能被9整除，根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征，這個四位數(shù)的各位數(shù)字之和一定是9的倍數(shù)。 解答（1）當和是9時，3+A+A+1=9，即2A=5，所以A=25（舍）；（2）當和是18時，

15、3+A+A+1=18，即2A=14，A=7；（3）當和是27時，3+A+A+1=27，即2A=23，可見A=115>10（舍）。所以，A的值是7。 例5一位馬虎的采購員買了72只桶，洗衣時將購貨發(fā)票洗爛了，只能依稀看到：72只桶，共679元（內(nèi)的數(shù)字洗爛了），請你幫他算一算，他一共用了多少錢？ 思路剖析用整除性質(zhì)：一個數(shù)能被兩個數(shù)和的積整除，那么這個數(shù)就能同時被這兩個數(shù)整除。例如，整數(shù)a能被15整除，那么這個數(shù)一定能同時被3和5整除。這種方法是分析整數(shù)問題的基本方法。 解答將679元看做679分，這是72只桶的總價，因為單價×72=679，所以67

16、9能被72整除。72=8×9，所以679應(yīng)該能被8和9整除。如果679能被8整除，那么它的末三位一定能被8整除，即8|79，容易算出內(nèi)是2。因為6792能被9整除，所以其各數(shù)之和能被9整除。+6+7+9+2=+24，顯然，中的數(shù)只能是3。所以這筆賬是36792元。答：一共用了36792元。例6在里填上適當?shù)臄?shù)字，使得六位數(shù)678能被8、9和25整除。 解答解法一：根據(jù)8、9和25整除的數(shù)的特征很容易解出此題。這個六位數(shù)能被25整除，根據(jù)能被25整除的數(shù)的特征知，六位數(shù)的末兩位數(shù)可能是00、25、50、75；該數(shù)又能被8整除，所以這個六位數(shù)的末三位數(shù)應(yīng)能被8整除，而在800、

17、825、850、875中只有800滿足條件，所以這個六位數(shù)的個位、十位都是0；又因為這個六位數(shù)能被9整除，所以這個六位數(shù)的各位數(shù)字之和（不妨設(shè)首位為x）為：x+6+7+8=21+x能被9整除，可推出x只能為6，所以這個六位數(shù)為。 解法二：根據(jù)數(shù)的整除性質(zhì)（4）：如果一個數(shù)能被兩個互質(zhì)數(shù)中的每一個數(shù)整除，那么這個數(shù)也能被這兩個互質(zhì)數(shù)的積整除。 因為8×25=200，而且8與25互質(zhì)，根據(jù)整除的性質(zhì)（4），所求的六位數(shù)能被200整除，所以個位、十位都應(yīng)該是0。然后由這六位數(shù)能被9整除，和解法一一樣的方法可知這個六位數(shù)為。 例7有一水果攤一天進貨6筐，分別裝著

18、香蕉和蘋果，重量為8千克、9千克、16千克、19千克、23千克和27千克。頭一天賣出一筐蘋果，在剩下的5筐中，香蕉的重量是蘋果重量的2倍。問賣掉的那筐重多少千克？剩下的5筐，哪幾筐是蘋果，哪幾筐是香蕉？思路剖析根據(jù)已知條件：剩下的5筐中香蕉的重量是蘋果的2倍。可推出：剩下的5筐中香蕉重量與蘋果重量之和是3的倍數(shù)，即能被3整除。 解答因為6筐水果的總重量：8+9+16+19+23+27=102（千克），根據(jù)題意，剩下的5筐中香蕉與蘋果總重量之和是3的倍數(shù)，那么賣出的一筐蘋果也必須是3的倍數(shù)。從6筐水果數(shù)中可知有兩種情況，賣出一筐蘋果可能是9千克或是27千克。 如果賣出的一筐蘋

19、果是9千克，那么1029=93(千克)。根據(jù)剩下的5筐中香蕉的重量與蘋果總重量的2倍，則蘋果為93÷（1+2）=31（千克）。從剩下的8、16、19、23和27中可知8千克和23千克為蘋果（8+23=31）。最后剩下16千克、19千克和27千克這三筐為香蕉。 如果賣出的一筐蘋果是27千克，同理，10227=75(千克)，蘋果為75÷(1+2)=25(千克)，即16千克與9千克這兩筐。香蕉便是最后剩下的8千克、19千克和23千克這三筐。 所以本題有兩種答案：如果賣出的那筐是9千克蘋果，則剩下的5筐中8千克、23千克兩筐為蘋果，16千克、19千克和27千克三

20、筐為香蕉。如果賣出的那筐是27千克蘋果，則剩下的5筐中9千克、16千克兩筐為蘋果，8千克、19千克、23千克三筐為香蕉。 例8把1至1997這1997個自然數(shù)依次寫下來，得一個多位數(shù)61997，試求這個多位數(shù)除以9的余數(shù)。 思路剖析根據(jù)一個數(shù)能被9整除的特征可以知道：一個自然數(shù)除以9的余數(shù)，等于這個自然數(shù)各個數(shù)位上數(shù)字和除以9的余數(shù)。所以上面求多位數(shù)除以9的余數(shù)問題，便轉(zhuǎn)化為求1至1997這1997個自然數(shù)中所有數(shù)字之和是多少的問題。 解答解法一：因為1至9這9個數(shù)字之和為45，所以10至19，20至29，30至39，80至89，90至99這十個數(shù)的各位數(shù)位上的數(shù)

21、字和分別為：45+10，45+20，45+30，45+40，45+80，45+90。所以，1至99這99個自然數(shù)各位數(shù)字之和為：45+55+65+125+135=900 因為1至99這99個自然數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和為900，所以100至199，200至299，800至899，900至999這些100個數(shù)各位數(shù)位上的數(shù)字和分別為：900+100，900+200，900+800，900+900。所以，1至999這999個自然數(shù)各位上數(shù)字之和為：900+1000+1700+1800=13500 因為1至999這999個自然數(shù)各位上數(shù)字和為13500，所以1000至1999這1000

22、個自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字和為13500+1000=14500，這樣1至1999這1999個自然數(shù)各數(shù)位的數(shù)字和為：13500+14500=28000。1998、1999這兩個數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字和為：27、28。280002728=27945，9能整除27945，所以多位數(shù)除以9余0 解法二：將0至1999這2000個自然數(shù)一頭一尾搭配成如下的100組：（0，1999），（1，1998），（2，1997），（3，1996），（4，1995），（5，1994），（6，1993）（7，1992），（8，1991）（9，1990），（10，1989），（994，1005），（995，1004），

23、（996，1003），（997，1002），（998，1001）（999，1000），以上各組兩數(shù)之和為1999，并且每一組數(shù)相加時都不進位，1至1999這1999個自然數(shù)的所有數(shù)字之和等于：（1+9+9+9）×1000=28000 1998、1999這兩個數(shù)各位數(shù)上的數(shù)字之和為：27、28。280002728=27945，9能整除27945，所以多位數(shù)除以9余0。 解法三：因為依次寫出的任意連續(xù)9個自然數(shù)所組成的多位數(shù)，一定能被9整除。而從1至1997一共有1997個數(shù)，1997÷9=2218，1990、1991、1992、1993、1994、1995

24、、1996、1997這8個數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字和為19+20+21+22+23+24+25+26=180，180能被9整除，所以多位數(shù)除以9余0。 點津為什么依次寫出的任意連續(xù)9個自然數(shù)所組成的多位數(shù)一定能被9整除呢？下面解釋一下。因為任意連續(xù)的9個自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字和除以9的余數(shù)，必定是0，1，2，7，8這9個數(shù)，而這9個數(shù)的和為36，36能被9整除，所以任意依次寫出的9個連續(xù)自然數(shù)組成的多位數(shù)一定能被9整除。發(fā)散思維訓練1這個四位數(shù)，同時能被2、3、4、5、9整除，求此四位數(shù)。255塊糖分給甲、乙、丙三人，甲分到糖的塊數(shù)是乙的2倍，丙最少，但也多于10塊，三個人各分幾塊？ 3已知4205和2813都是29的倍數(shù)，1392和7018是不是29的倍數(shù)？4老師買了72本相同的書，當時沒有記住每本書的價格，只用鉛筆記下了用掉的總錢數(shù)137元，回校