1、精選優質文檔-傾情為你奉上數的整除性質主要有：（1） 若甲數能被乙數整除，乙數能被丙數整除，那么甲數能被丙數整除。（2） 若兩個數能被一個自然數整除，那么這兩個數的和與差都能被這個自然數整除。（3） 幾個數相乘，若其中有一個因數能被某一個數整除，那么它們的積也能被這個數整除。（4） 若一個數能被兩個互質數中的每一個數整除，那么這個數也能被這兩個互質數的積整除。（5） 若一個數能被兩個互質數的積整除，那么這個數也能分別被這兩個互質數整除。（6） 若一個質數能整除兩個自然數的乘積，那么這個質數至少能整除這兩個自然數中的一個。（7） 個位上是0、2、4、6、8的數都能被2整除。（8） 個位上是0或者

2、5的數都能被5整除。（9） 若一個整數各位數字之和能被3（或9）整除，則這個整數能被3（或9）整除。（10） 若一個整數末尾兩位數能被4整除，則這個數能被4整除。（11） 若一個整數末尾三位數能被8整除，則這個數能被8整除。（12） 若一個整數各位數字之和能被9整除，則這個整數能被9整除。（13） 一個三位以上的整數能否被7（11或13）整除,只須看這個數的末三位數字表示的三位數與末三位數字以前的數字所組成的數的差（以大減小）能否被7（11或13）整除 （14） 末位數字為零的整數必能被10整除 （15） 另外,一個整數的奇數位數字和與偶數位數字和的差如果是11的倍數,那么

3、這個整數也是11的倍數.（一個整數的個位、百位、萬位、稱為奇數位,十位、千位、百萬位稱為偶數位.） （16） 至于6和12的整除特性，通過以上的原則判斷即可：各位數之和能被3整除的偶數能被6整除；各位數之和能被3整除且末兩位數字組成的兩位數能被4整除的整數能被12整除。（17） 能被7整除的數的特征：若一個整數的個位數字去掉,再從余下的數中,減去個位數的2倍,如果差是7的倍數,則原數能被7整除。如果數字仍然太大不能直接觀察出來，就重復此過程。方法1、（適用于數字位數少時）一個數割去末位數字，再從留下來的數中減去所割去數字的2倍，這樣，一次次減下去，如果最后的結果是7的倍數（包括0），

4、那么，原來的這個數就一定能被7整除例如：判斷133是否7的倍數的過程如下：133×27，所以133是7的倍數；又例如 判斷6139是否7的倍數的過程如下：6139×2595 ， 595×249，所以6139是7的倍數，余類推。 方法2、（適用于數字位數在三位以上）一個多位數的末三位數與末三位以前的數字所組成的數之差，如果能被7整除，那么，這個多位數就一定能被7整除如判斷數末三位數字是679，末三位以前數字所組成的數是280，679280=399，399能被7整除，因此也能被7整除。此法也適用于判斷能否被11或13整除的問題。如：的末三位數字是679，末三位以前數字

5、所組成的數是283，679283=396，396能被11整除，因此，就一定能被11整除如：判斷能不能被13整除這個數的未三位數字是357，末三位以前的數字所組成的數是383，這兩個數的差是：383357=26，26能被13整除，因此，也一定能被13整除方法3、首位縮小法，在首位或前幾位，減于7的倍數。例如，判斷能不能被7整除，-=32669，只要32669能被7整除即可。對32669可繼續，32669-28000=4669，4669-4200=469，469-420=49，49當然被7整除，所以能被7整除。（18） 能被11整除的數的特征：除了前面講的被7整除的方法二適用于11之外，還可以把一

6、個數由右邊向左邊數,將奇位上的數字與偶位上的數字分別加起來,再求它們的差,如果這個差是11的倍數(包括0),那么,原來這個數就一定能被11整除。例如：判斷能不能被11整除。奇位數字的和9+6+8=23 ，偶位數位的和4+1+7=12  ，23-12=11因此,能被11整除。這種方法叫“奇偶位差法”。11的倍數檢驗法也可用上述檢查7的割尾法處理！過程唯一不同的是：倍數不是2而是1。（19） 能被13整除的數的特征：除了前面講的被7整除的方法二適用于13之外，還可以把一個整數的個位數字去掉，再從余下的數中，加上個位數的4倍，如果和是13的倍數，則原數能被13整除。如果數字仍然太

7、大不能直接觀察出來，就需要繼續上述截尾、倍大、相加、驗和的過程，直到能清楚判斷為止，重復此過程。例如：判斷能不能被13整除。+2×4= ， 12844+0×4=12844，1284+4×4=1300， 1300÷13=100所以，能被13整除。（20） 能被17整除的數的特征：把一個整數的個位數字去掉，再從余下的數中，減去個位數的5倍，如果差是17的倍數，則原數能被17整除。如果數字仍然太大不能直接觀察出來，就重復此過程。例如：判斷能不能被17整除。-2×5=16751-8×5=167111671-1×5=1666166-6

8、×5=136如果差太大或心算不易看出是否17的倍數，就需要繼續上述截尾、倍大、相減、驗差的過程，直到能清楚判斷為止。6×5=30，現在個位×5=30>剩下的13，就用大數減去小數，30-13=17，17÷17=1；所以能被17整除。若一個整數的末三位與3倍的前面的隔出數的差能被17整除，則這個數能被17整除。（21） 能被19整除的數的特征：把一個整數的個位數字去掉，再從余下的數中，加上個位數的2倍，如果和是19的倍數，則原數能被19整除。如果數字仍然太大不能直接觀察出來，就重復此過程。若一個整數的末三位與7倍的前面的隔出數的差能被19整除，則這個

9、數能被19整除。（22） 被4或25整除的數的特征如果一個數的末兩位數能被4或25整除，那么，這個數就一定能被4或25整除。例如：467546×10075由于100能被25整除，100的倍數也一定能被25整除，4600與75均能被25整除，它們的和也必然能被25整除因此，一個數只要末兩位數能被25整除，這個數就一定能被25整除又如： 8328×10032由于100能被4整除，100的倍數也一定能被4整除，800與32均能被4整除，它們的和也必然能被4整除因此， 因此，一個數只要末兩位數字能被4整除，這個數就一定能被4整除（23） 被8整除的數的特征如果一個數的末三位數能被8

10、或125整除，那么，這個數就一定能被8或125整除例如： 9864的末三位是864，864能被8整除，9864就一定能被8整除72375的末三位數是375，375能被125整除，72375就一定能被125整除。（24） 1與0的特性：1是任何整數的約數，即對于任何整數a，總有1|a.0是任何非零整數的倍數，a0,a為整數，則a|0.（25） 被23或29整除的數的特征：若一個整數的末四位與前面5倍的隔出數的差能被23(或29)整除，則這個數能被23(或29)整除重點·難點數的整除概念、性質及整除特征為解決一些整除問題帶來了很大方便，在實際問題中應用廣泛。要學好數的整除問題，就必須找到

11、規律，牢記上面的整除性質，不可似是而非。學法指導能被2和5，4和25，8和125整除的數的特征是分別看這個數的末一位、末兩位、末三位。我們可以綜合推廣成一條：末n位數能被（或）整除的數，本身必能被（或）整除；反過來，末n位數不能被（或）整除的數，本身必不能被（或）整除。例如，判斷、能否被16整除，因為，所以只要看各數的末四位數能否被16整除。學習這一講知識要學會舉一反三。經典例題例1在568后面補上三個數字，組成一個六位數，使它能分別被3、4、5整除，且使這個數盡可能小。 思路剖析這個六位數分別被3、4、5整除，故它應滿足如下三個條件：（1）各位數字和是3的奇數；（2）末兩位數組成的

12、兩位數是4的倍數；（3）末位數為0或5。按此條件很容易找到這個六位數。 解答不妨設補上三個數字后的位數為，由于這個六位數被4、5整除，因為被4整除，所以c不能是5而只能是0，且b只可能是2、4、6、8、0。又因，所以3|（5+6+8+a+b+0），所以：當b=2時，3|（5+6+8+a+2），a可為0、3、6、9；當b=4時，3|（5+6+8+a+4），a可為1、4、7；當b=6時，3|（5+6+8+a+6），a可為2、5、8；當b=8時，3|（5+6+8+a+8），a可為0、3、6、9；當b=0時，3|（5+6+8+a+0），a可為2、5、8。為了使六位數盡可能地小，則a應取0、b

13、應取2、c應取0。故能被3、4、5整除的最小六位數應為。例2四位數能同時被2、3、5整除，問這個四位數是多少？ 思路剖析能同時被2、3、5整除，所以滿足以下三個條件：個位數字B在0、2、4、6、8之中，各位數字之和是3的倍數，個位數B在0、5之中。第一個和第三個條件都是針對個位數字的，所以先根據第二個條件確定百位數字A。 解答要使能同時被2和5整除，個位數字只能是B=0；又要使能被3整除，所以各位數字之和8+A+1+0=9+A應能被3整除。可以看出，當A取0、3、6、9時，各位數字之和9+A可以被3整除。所求的四位數是8010、8310、8610、8910。例3有兩堆糖果，

14、第一堆有513塊，第二堆有633塊，哪一堆可以平均分給9個小朋友而無剩余？ 思路剖析本題實際上是判斷513與633能否被9整除。 解答513各位上數字之和是5+1+3=9，能被9整除；633各位上數字的和是6+3+3=12，不能被9整除。所以，第一堆可以平均分給9個小朋友而無剩余，第二堆平均分給9個小朋友還剩余3塊。例4有一個四位數是9的倍數，求A的值。 思路剖析四位數是9的倍數，即能被9整除，根據能被9整除的數的特征，這個四位數的各位數字之和一定是9的倍數。 解答（1）當和是9時，3+A+A+1=9，即2A=5，所以A=25（舍）；（2）當和是18時，

15、3+A+A+1=18，即2A=14，A=7；（3）當和是27時，3+A+A+1=27，即2A=23，可見A=115>10（舍）。所以，A的值是7。 例5一位馬虎的采購員買了72只桶，洗衣時將購貨發票洗爛了，只能依稀看到：72只桶，共679元（內的數字洗爛了），請你幫他算一算，他一共用了多少錢？ 思路剖析用整除性質：一個數能被兩個數和的積整除，那么這個數就能同時被這兩個數整除。例如，整數a能被15整除，那么這個數一定能同時被3和5整除。這種方法是分析整數問題的基本方法。 解答將679元看做679分，這是72只桶的總價，因為單價×72=679，所以67

16、9能被72整除。72=8×9，所以679應該能被8和9整除。如果679能被8整除，那么它的末三位一定能被8整除，即8|79，容易算出內是2。因為6792能被9整除，所以其各數之和能被9整除。+6+7+9+2=+24，顯然，中的數只能是3。所以這筆賬是36792元。答：一共用了36792元。例6在里填上適當的數字，使得六位數678能被8、9和25整除。 解答解法一：根據8、9和25整除的數的特征很容易解出此題。這個六位數能被25整除，根據能被25整除的數的特征知，六位數的末兩位數可能是00、25、50、75；該數又能被8整除，所以這個六位數的末三位數應能被8整除，而在800、

17、825、850、875中只有800滿足條件，所以這個六位數的個位、十位都是0；又因為這個六位數能被9整除，所以這個六位數的各位數字之和（不妨設首位為x）為：x+6+7+8=21+x能被9整除，可推出x只能為6，所以這個六位數為。 解法二：根據數的整除性質（4）：如果一個數能被兩個互質數中的每一個數整除，那么這個數也能被這兩個互質數的積整除。 因為8×25=200，而且8與25互質，根據整除的性質（4），所求的六位數能被200整除，所以個位、十位都應該是0。然后由這六位數能被9整除，和解法一一樣的方法可知這個六位數為。 例7有一水果攤一天進貨6筐，分別裝著

18、香蕉和蘋果，重量為8千克、9千克、16千克、19千克、23千克和27千克。頭一天賣出一筐蘋果，在剩下的5筐中，香蕉的重量是蘋果重量的2倍。問賣掉的那筐重多少千克？剩下的5筐，哪幾筐是蘋果，哪幾筐是香蕉？思路剖析根據已知條件：剩下的5筐中香蕉的重量是蘋果的2倍。可推出：剩下的5筐中香蕉重量與蘋果重量之和是3的倍數，即能被3整除。 解答因為6筐水果的總重量：8+9+16+19+23+27=102（千克），根據題意，剩下的5筐中香蕉與蘋果總重量之和是3的倍數，那么賣出的一筐蘋果也必須是3的倍數。從6筐水果數中可知有兩種情況，賣出一筐蘋果可能是9千克或是27千克。 如果賣出的一筐蘋

19、果是9千克，那么1029=93(千克)。根據剩下的5筐中香蕉的重量與蘋果總重量的2倍，則蘋果為93÷（1+2）=31（千克）。從剩下的8、16、19、23和27中可知8千克和23千克為蘋果（8+23=31）。最后剩下16千克、19千克和27千克這三筐為香蕉。 如果賣出的一筐蘋果是27千克，同理，10227=75(千克)，蘋果為75÷(1+2)=25(千克)，即16千克與9千克這兩筐。香蕉便是最后剩下的8千克、19千克和23千克這三筐。 所以本題有兩種答案：如果賣出的那筐是9千克蘋果，則剩下的5筐中8千克、23千克兩筐為蘋果，16千克、19千克和27千克三

20、筐為香蕉。如果賣出的那筐是27千克蘋果，則剩下的5筐中9千克、16千克兩筐為蘋果，8千克、19千克、23千克三筐為香蕉。 例8把1至1997這1997個自然數依次寫下來，得一個多位數61997，試求這個多位數除以9的余數。 思路剖析根據一個數能被9整除的特征可以知道：一個自然數除以9的余數，等于這個自然數各個數位上數字和除以9的余數。所以上面求多位數除以9的余數問題，便轉化為求1至1997這1997個自然數中所有數字之和是多少的問題。 解答解法一：因為1至9這9個數字之和為45，所以10至19，20至29，30至39，80至89，90至99這十個數的各位數位上的數

21、字和分別為：45+10，45+20，45+30，45+40，45+80，45+90。所以，1至99這99個自然數各位數字之和為：45+55+65+125+135=900 因為1至99這99個自然數各數位上數字之和為900，所以100至199，200至299，800至899，900至999這些100個數各位數位上的數字和分別為：900+100，900+200，900+800，900+900。所以，1至999這999個自然數各位上數字之和為：900+1000+1700+1800=13500 因為1至999這999個自然數各位上數字和為13500，所以1000至1999這1000

22、個自然數各數位上的數字和為13500+1000=14500，這樣1至1999這1999個自然數各數位的數字和為：13500+14500=28000。1998、1999這兩個數各數位上的數字和為：27、28。280002728=27945，9能整除27945，所以多位數除以9余0 解法二：將0至1999這2000個自然數一頭一尾搭配成如下的100組：（0，1999），（1，1998），（2，1997），（3，1996），（4，1995），（5，1994），（6，1993）（7，1992），（8，1991）（9，1990），（10，1989），（994，1005），（995，1004），

23、（996，1003），（997，1002），（998，1001）（999，1000），以上各組兩數之和為1999，并且每一組數相加時都不進位，1至1999這1999個自然數的所有數字之和等于：（1+9+9+9）×1000=28000 1998、1999這兩個數各位數上的數字之和為：27、28。280002728=27945，9能整除27945，所以多位數除以9余0。 解法三：因為依次寫出的任意連續9個自然數所組成的多位數，一定能被9整除。而從1至1997一共有1997個數，1997÷9=2218，1990、1991、1992、1993、1994、1995

24、、1996、1997這8個數所有數位上的數字和為19+20+21+22+23+24+25+26=180，180能被9整除，所以多位數除以9余0。 點津為什么依次寫出的任意連續9個自然數所組成的多位數一定能被9整除呢？下面解釋一下。因為任意連續的9個自然數的各數位上的數字和除以9的余數，必定是0，1，2，7，8這9個數，而這9個數的和為36，36能被9整除，所以任意依次寫出的9個連續自然數組成的多位數一定能被9整除。發散思維訓練1這個四位數，同時能被2、3、4、5、9整除，求此四位數。255塊糖分給甲、乙、丙三人，甲分到糖的塊數是乙的2倍，丙最少，但也多于10塊，三個人各分幾塊？ 3已知4205和2813都是29的倍數，1392和7018是不是29的倍數？4老師買了72本相同的書，當時沒有記住每本書的價格，只用鉛筆記下了用掉的總錢數137元，回校