1、精選優質文檔-傾情為你奉上指數函數講義經典整理（含答案） 一、同步知識梳理知識點1：指數函數函數叫做指數函數，其中是自變量，函數的定義域是知識點2：指數函數的圖像和性質知識點3：指數函數的底數與圖像的關系指數函數在同一直角坐標系中的圖像的相對位置與底數大小的關系 如圖所示，則，在軸右側，圖像從下到上相應的底數也由小變大，在軸左側，圖像從上到下相應的底數也由小變大即無論在軸左側還是右側，底數按逆時針方向變大在第一象限內，“底大圖高”知識點4：指數式、指數函數的理解 分數指數冪與根式或以互化，通常利用分數指數冪進行根式的運算 根式的運算、變形、求值、化簡及等式證明在數學中占有重要的地位，是研究方程

2、、不等式和函數的基礎，應引起重視 在有關根式、分數指數冪的變形、求值過程中，要注意運用方程的觀點處理問題，通過解方程或方程組來求值 在理解指數函數的概念時，應抓住定義的“形式”，像 等函數均不符合形式，因此，它們都不是指數函數 畫指數函數的圖像，應抓住三個關鍵點：二、同步題型分析題型1：指數函數的定義、解析式、定義域和值域例1：已知函數，且（1）求m的值；（2）判定f（x）的奇偶性；（3）判斷f（x）在（0，+）上的單調性，并給予證明考點：指數函數的定義、解析式、定義域和值域；函數單調性的判斷與證明專題：計算題分析：（1）欲求m的值，只須根據f（4）=的值，當x=4時代入f（x）解一個指數方程

3、即可；（2）求出函數的定義域x|x0，利用奇偶性的定義判斷f（x）與f（x）的關系，即可得到答案；（3）利用單調性的定義證明即可任取0x1x2，只要證明f（x1）f（x2），即可解答：解：（1）因為，所以，所以m=1（2）因為f（x）的定義域為x|x0，又，所以f（x）是奇函數（3）任取x1x20，則，因為x1x20，所以，所以f（x1）f（x2），所以f（x）在（0，+）上為單調增函數點評：本題主要考查了函數單調性的判斷、函數奇偶性的判斷，與證明及指數方程的解法在判定函數奇偶性時，一定注意函數的定義域關于原點對稱，屬于基礎題例2：已知函數，（1）討論函數的奇偶性；（2）證明：f（x）0考點：

4、指數函數的定義、解析式、定義域和值域；函數奇偶性的判斷；函數奇偶性的性質專題：計算題分析：（1）由2x10解得義域為x|x0，關于原點對稱f（x）=（）（x）=（）x=f（x），故該函數為偶函數 （2）任取xx|x0，當x0時，2x20=1且x0，故，從而當x0時，x0，故f（x）0，由函數為偶函數，能證明f（x）0在定義域上恒成立解答：解：（1）該函數為偶函數由2x10解得x0即義域為x|x0關于原點對稱（2分）f（x）=（）（x）=（+）x=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）故該函數為偶函數 （7分）（2）證明：任取xx|x0當x0時，2x20=1且x0，2x10，故從而（11分）當

5、x0時，x0，f（x）0，（12分）又因為函數為偶函數，f（x）=f（x）0，（13分）f（x）0在定義域上恒成立（14分）點評：本題考查函數的奇偶性的判斷和證明f（x）0解題時要認真審題，注意指數函數性質的靈活運用例3：已知函數y=ax（a0且a1）在1，2上的最大值與最小值之和為20，記（1）求a的值；（2）求f（x）+f（1x）的值；（3）求的值考點：指數函數的定義、解析式、定義域和值域專題：綜合題；函數的性質及應用分析：（1）由y=ax單調得a+a2=20，由此可求a；（2）寫出f（x），代入運算可得；（3）借助（2）問結論分n為奇數、偶數討論可求；解答：解：（1）函數y=ax（a0且

6、a1）在1，2上的最大值與最小值之和為20，且y=ax單調，a+a2=20，得a=4，或a=5（舍去）；（2）由（1）知，=1；（3）由（2）知f（x）+f（1x）=1，得n為奇數時，=×1=；n為偶數時，=+f（）=；綜上，=點評：本題考查指數函數的單調性、最值等知識，屬中檔題題型2：指數函數的圖像變換例1：已知函數y=|2x2|（1）作出其圖象；（2）由圖象指出函數的單調區間；（3）由圖象指出當x取何值時，函數有最值，并求出最值考點：指數函數的圖像變換專題：綜合題；函數的性質及應用分析：（1）函數y=|2x2|圖象是由y=2x的圖象向下平移2個單位，再將x軸下方的部分翻著到x軸上

7、方得到（2）結合函數的圖象，可得函數的減區間和增區間（3）數形結合可得，當x=1時，ymiin=0解答：解：（1）函數y=|2x2|圖象是由y=2x的圖象向下平移2個單位，再將x軸下方的部分翻著到x軸上方得到，如圖所示：（2）結合函數的圖象，可得函數的減區間為（，1，增區間為（1，+）（3）數形結合可得，當x=1時，ymiin=0點評：本題主要考查指數函數的圖象和性質綜合，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題題型3：指數函數單調性例1：已知函數f（x）=a2x+b3x，其中常數a，b滿足ab0（1）若ab0，判斷函數f（x）的單調性；（2）若a=3b，求f（x+1）f（x）時的x的取值范圍考點

8、：指數函數的單調性與特殊點；函數單調性的判斷與證明；函數單調性的性質專題：函數的性質及應用分析：（1）分a0，b0和a0，b0兩種情況討論，運用單調性的定義可作出判斷；（2）當a=3b時，f（x）=3b2x+b3x=b（3x32x），分b0，b0兩種情況進行討論，整理可得指數不等式解出即可；解答：解：（1）當a0，b0時，任意x1，x2R，且x1x2，則f（x1）f（x2）=a（）+b（），a0，b0，a（）0，b（）0，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），故函數f（x）在R上是增函數；當a0，b0時，同理，可判斷函數f（x）在R上是減函數；（2）當a=3b時，f（x）=3b2x+

9、b3x=b（3x32x），則f（x+1）f（x）即化為b（3x+132x+1）b（3x32x），若b0，則有3x+132x+13x32x，整理得，解得x1；若b0，則有3x+132x+13x32x，整理得，解得x1；故b0時，x的范圍是x1；當b0時，x的范圍是x1點評：本題考查函數單調性的判斷、指數函數的單調性的應用，考查分類討論思想，屬基礎題例2：已知定義在（1，1）上的奇函數f（x）在x（1，0）時，f（x）=2x+2x（1）試求f（x）的表達式；（2）用定義證明f（x）在（1，0）上是減函數；（3）若對于x（0，1）上的每一個值，不等式t2xf（x）4x1恒成立，求實數t的取值范圍考點

10、：指數函數綜合題；奇偶性與單調性的綜合專題：計算題；函數的性質及應用分析：（1）由f（x）是定義在（1，1）上的奇函數可得f（0）=0，x（0，1）時，f（x）=f（x）=（2x+2x）；從而寫出f（x）的表達式；（2）取值，作差，化簡，判號，下結論五步；（3）對于x（0，1）上的每一個值，不等式t2xf（x）4x1恒成立轉化為對于x（0，1）上的每一個值，不等式t恒成立，從而可得解答：解：（1）f（x）是定義在（1，1）上的奇函數，f（0）=0，設（0，1），則x（1，0），則f（x）=f（x）=（2x+2x），故f（x）=；（2）任取x1，x2（1，0），且x1x2，則f（x1）f（x2）

11、=+（+）=，x1x20，0，01，故f（x1）f（x2）0，故f（x）在（1，0）上是減函數；（3）由題意，t2xf（x）4x1可化為t2x（2x+2x）4x1，化簡可得，t，令g（x）=1+，x（0，1），g（x）1+=0，故對于x（0，1）上的每一個值，不等式t2xf（x）4x1恒成立可化為t0點評：本題考查了函數的性質的綜合應用及恒成立問題的處理方法，屬于難題例3：已知函數f（x）=|2x11|，（xR）（1）證明：函數f（x）在區間（1，+）上為增函數，并指出函數f（x）在區間（，1）上的單調性；（2）若函數f（x）的圖象與直線y=t有兩個不同的交點A（m，t），B（n，t），其中m

12、n，求m+n的取值范圍考點：指數函數綜合題專題：計算題；證明題分析：（1）函數單調性的證明，通常依據定義，步驟為：取值，作差，變形，定號，下結論，由于與指數函數有關，求解時要利用到指數函數的單調性；（2）由（1）可知，函數的值域為（0，1），要使函數f（x）的圖象與直線y=t有兩個不同的交點，故有t（0，1）又函數f（x）的圖象與直線y=t有兩個不同的交點，所以A（m，t），B（n，t）分別位于直線x=1的兩側，由mn，得m1n，故可以求出m+n，進而由t（0，1），可求m+n的取值范圍解答：解：（1）證明：任取x1（1，+），x2（1，+），且x1x2，=，x1x2，f（x1）f（x2）所以

13、f（x）在區間（1，+）上為增函數（5分）函數f（x）在區間（，1）上為減函數（6分）（2）因為函數f（x）在區間（1，+）上為增函數，相應的函數值為（0，+），在區間（，1）上為減函數，相應的函數值為（0，1），由題意函數f（x）的圖象與直線y=t有兩個不同的交點，故有t（0，1），（8分）易知A（m，t），B（n，t）分別位于直線x=1的兩側，由mn，得m1n，故2m110，2n110，又A，B兩點的坐標滿足方程t=|2x11|，故得t=12m1，t=2n11，即m=log2（22t），n=log2（2+2t），（12分）故m+n=log2（22t）+log2（2+2t）=log2（44t

14、2），當0t1時，044t24，log2（44t2）2因此，m+n的取值范圍為（，2）（17分）點評：本題的考點是指數函數綜合問題，主要考查函數單調性的證明，考查函數圖形的性質，有較強的綜合性依據定義，證明函數的單調性的步驟通常為：取值，作差，變形，定號，下結論三、課堂達標檢測檢測題1：已知函數f（x）=（其中e=2.71828是一個無理數）（1）求函數f（x）的定義域；（2）判斷奇偶性并證明之；（3）判斷單調性并證明之考點：指數函數的定義、解析式、定義域和值域；函數單調性的判斷與證明；函數奇偶性的判斷專題：計算題；證明題分析：（1）把分子整理變化成和分母相同的一部分，進行分子常數化，則變量只

15、在分母上出現，根據分母是一個指數形式，恒大于零，得到函數的定義域是全體實數（2）根據上一問值函數的定義域關于原點對稱，從f（x）入手整理，把負指數變化為正指數，就得到結果，判斷函數是一個奇函數（3）根據判斷函數單調性的定義，設出兩個任意的自變量，把兩個自變量的函數值做差，化成分子和分母都是因式乘積的形式，根據指數函數的性質，判斷差和零的關系解答：解：f（x）=1（1）e2x+1恒大于零，xR（2）函數是奇函數f（x）=又由上一問知函數的定義域關于原點對稱，f（x）為奇函數（3）是一個單調遞增函數設x1，x2R 且x1x2則f（x1）f（x2）=1=x1x2，f（x1）f（x2）0即f（x1）f

16、（x2）f（x）在R是單調增函數點評：本題考查函數的定義域，考查函數的奇偶性的判斷及證明考查函數單調性的判斷及證明，考查解決問題的能力，是一個綜合題目檢測題2：已知函數f（x）=2ax+2（a為常數）（1）求函數f（x）的定義域（2）若a=1，x（1，2，求函數f（x）的值域（3）若f（x）為減函數，求實數a的取值范圍考點：指數函數的定義、解析式、定義域和值域；指數函數的單調性與特殊點專題：常規題型；轉化思想分析：（1）利用指數函數的定義域來考慮（2）利用函數f（x）在（1，2上的單調性求函數的值域（3）根據復合函數的單調性，函數u=ax+2必須為減函數解答：解：（1）函數y=2ax+2對任意

17、實數都有意義，所以定義域為實數集R（2）因為a=1，所以f（x）=2x+2易知此時f（x）為增函數又因為1x2，所以f（1）f（x）f（2），即8f（x）16所以函數f（x）的值域為（8，16（3）因為f（x）為減函數，而y=2u是增函數，所以函數u=ax+2必須為減函數所以得a0點評：本題考查指數函數的定義域、值域、單調性，復合函數的單調性，體現轉化的數學思想檢測題3：設f（x）的定義域是（，0）（0，+），且f（x）對任意不為零的實數x都滿足f（x）=f（x）已知當x0時（1）求當x0時，f（x）的解析式 （2）解不等式考點：指數函數的定義、解析式、定義域和值域；函數奇偶性的性質專題：常規題型分析：（1）求當x0時，f（x）的解析式，