1、1了解正態密度函數的概念.2理解正態密度函數的特點及曲線所表示的意義.3掌握運用正態分布解決實際問題的方法.煉1.正態密度曲線1(x 11 )2函數 P(x)=-e, x R，其中實數 和b為參數，P(x)的圖象為正態寸 2 冗廳密度曲線(如圖所示).2. 正態分布正態分布完全由參數 和b確定，因此正態分布記作 N(y,b2).如果隨機變量 X 服從 正態分布，記為 XN(仏b2).3. 正態曲線的性質(1)當x卩時，曲線下降；當曲線向左右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線；(2) 正態曲線關于直線 x= 對稱；(3)b越大，正態曲線越扁平；b越小，正態曲線越尖陡；(4) 在正態曲線下方和 x 軸

2、上方范圍內的區域面積為1.4.正態總體在三個特殊區間內取值的概率值落在區間(b,口+b上的概率約為 68.3%,落在區間(2b口+ 2b上的概率約為 95.4% ,落在區間(3b口+ 3b上的概率約為 99.7%.、自我嘗試1 判斷(正確的打“V”，錯誤的打“X”)函數 p(x)中參數 仏6的意義分別是樣本的均值與方差.(2)正態曲線是單峰的，其與x 軸圍成的面積是隨參數(3)正態曲線可以關于 y 軸對稱.(答案：(1)X(2)X(3)V答案：D1C.3答案：D為_，標準差為_答案：0：2n探究案”費餡過探究點 正態分布密度函數與正態曲線若一個正態分布的概率密度函數是一個偶函數，且該函數的最大

3、值為(1)求該正態分布的概率密度函數的解析式;求正態總體在(4, 4上的概率.【解】(1)由于該正態分布的概率密度函數是一個偶函數，所以其圖象關于y 軸對稱,即尸 0.,11e由=，得尸 4.2n.j2n4故該正態分布的概率密度函數的解析式是(2)P(4XW4)=P(04XW0+4)=Pg(X C)，則3.已知隨機變量 X 服從正態分布N(3,62),則 P(Xv3)=(1B.41D.24.已知正態分布密度函數為P(x)=1x2e，x2n4n(-m,)，則該正態分布的均值x( m ,要確定一個正態分布的概率密度函數的解析式，關鍵是求解析式中的兩個參數值，其中決定曲線的對稱軸的位置，(則與曲線的

4、形狀和最大值有關.求證：P(x)是偶函數;求 P(x)的最大值;(3)利用指數函數的性質說明P(x)的增減性.1解：證明：對任意 x R，有 P( x)=-e2n為偶函數.x2(2) 令 t = ，當 x= 0 時，t= 0, et= 1.因為 J 是關于 t 的增函數，當 x豐0 時，t0, et1.2x所以當 x= 0,即卩 t = 0 時，e2= et取最小值.1x21所以當 x= 0 時，P(x)= 尸 e取得最大值 .2n2p2n(3) 任取 X10, x20，且 X1x2，x2x2,22xiX2所以 e 2e .所以 P(X1)P(X2)，即當 x0 時，P(x)遞減.探究點 2

5、正態分布的計算CE 設 XN(6 , 1)，求 P(4X5).【解】 由已知尸 6,(y= 1,因為 P(5X7) = Pg(X 葉 o)= 0.683,P(4X8) = Pg 2(X 葉 2百=0.954,P(4X5) + P(7X8) = P(4X8) P(5X7) = 0.271.1標準正態分布的概率密度函數是P(x) =2X2(x R)-1(x)22專=P(x),所以 P(x)值，其中決定曲線的對稱軸的位置，(則與曲線的形狀和最大值有關.如圖，由正態密度曲線的對稱性知P(4X5) = P(7X8),1所以 P(4X5) = 2【P(4X8) P(5X7)1=2 0.271 = 0.13

6、5 5.(1)充分利用正態曲線的對稱性和曲線與 x 軸之間的面積為 1 ；正態曲線關于直線 x=卩對稱，從而在關于 x=卩對稱的區間上概率相等.2已知 曠 N(0,(r2)，且 P(爐2)= 0.2，貝UP(0 二 2)=_解析：因為汁 N(0,o2),所以 P(E2) = 0.2,1P( E2)212X0.2取 設在一次數學考試中，某班學生的分數EN(110, 202)，且知滿分 150 分，這個班的學生共 54 人，求這個班在這次數學考試中及格(不小于 90 分)的人數和 130 分以上的人數.【解】 因為N(110, 202),所以尸 110,o= 20.所以 P(110 20W110+

7、 20) = 0.683.1所以 爐 130 的概率為 2(1 0.683)= 0.158 5.所以 驢 90 的概率為 0.683 + 0.158 5= 0.841 5.所以及格人數為 54X0.841 545(人)，130 分以上的人數為 54X0.158 5 9(人).答案：0.3冷；弄點正態分布的實際應用2=0.3.正態分布是最常見、應用最廣泛的一種分布，人的身高、體重，學生的學習成績，產品的尺寸等一般都服從正態分布，在解決此類問題時，利用正態曲線的對稱性結合三個特殊概 率的值求概率.魚丑麺田 3若一批白熾燈共有 10 000 只，其光通量E服從正態分布，其概率密度1( x 209)2

8、函數是 P(x) = e-, x R .試求光通量在下列范圍內的燈泡的個數.6p2n72(1) 209 6209+ 6;(2) 209 18 209 + 18.解：由于E的概率密度函數為1(x209)2P(x)=eT2-62n所以尸 209,o= 6.所以 卩一0=2096,口+ 0=209+6.口3o=2096X3=20918,葉 3o=209+6X3=209+18.因此光通量E的取值在區間(209 6, 209+ 6, (209 18, 209 + 18內的概率應分別是 0.683和 0.997.(1) 光通量E在 209 6209 + 6 范圍內的燈泡個數大約是 10 000X0.683

9、= 6 830.(2) 光通量E在 209 18209 + 18 范圍內的燈泡個數大約是 10 000X0.997= 9 970.素養提升正態分布的再認識(1) 參數是反映隨機變量取值的平均水平的特征數，可以用樣本的均值去估計；0是衡量隨機變量總體波動大小的特征數，可以用樣本的標準差去估計.尸 0,0= 1 的正態分布叫做標準正態分布.(2) 正態分布定義中的式子實際是指隨機變量X 的取值區間在(a, b上的概率等于總體密度函數在a, b上的定積分值.從正態曲線可以看出，對于固定的卩而言，隨機變量在(廠o口+0上取值的概率隨著o的減小而增大.這說明o越小，X 取值落在區間(廠o口+0的概率越大

10、，即 X 集中在周圍的概率越大.對于固定的和o隨機變量 X 取值區間越大，所對應的概率就越大，即 3o原則.(3)正態總體在某個區間內取值的概率求法:熟記 P (卩一 cXw 3+() , P (3 2(XW 3+2a, P (3 3 cXWa+ 3 的值.P(Xa),P(X 3+a),若 b3,貝UP(Xb)=1P( 3-bXaC.313,a1vaD.3132,a1 a答案：A1易誤防范匚隨機變量 X 服從正態分布 N(0, 1)，如果 P(Xv1)= 0.841 3，求 P(- 1vXV0).【解】如圖所示，因為 P(XV1) = 0.841 3 ,所以P(X 1) = 1所以 P( 1V

11、XV0) = 0.5 0.158 7= 0.341 3.(1)錯因：XN(0, 1),則正態曲線關于 y 軸對稱，應結合圖象找出各區間的對稱關系.(2)正態密度曲線的性質可以用來求參數和a具體方法如下:正態曲線是單峰的，它關于直線x=卩對稱由此性質結合圖象可求卩正態曲線在x=口處達到峰值由此性質，結合圖象可求(X1.設兩個正態分布N(3,a2)(a 0)和 N(3,a2)(a 0)的密度函數圖象如圖所示,2設隨機變量1XN(20, 32),若 P(X a)= ?,貝 V a=2A. 10B. 9解析：由正態曲線關于 x=u對稱可知 a= 20.答案：203._ 已知隨機變量 x 服從正態分布(

12、3, 1),且 P(24)=_1 1 解析：P(x4)=尹P(2wx1) = 0.5,則實數 a 的值為()A. 1B. . 3C. 2D. 4解析：選 A.因為隨機變量 X 服從正態分布 N(a, 4),所以 P(Xa) = 0.5.由 P(X1) = 0.5,可知 a= 1.4 .某班有50 名學生，一次數學考試的成績X 服從正態分布 N(105 , 102)，已知2. 設有(x 10)28正態總體，它的概率密度曲線是函數則這個正態總體的均值與標準差分別是A . 10 與 8C. 8 與 10解析：選 B.由正態密度函數的定義可知，總體的均值(單位：毫米)服從正態分布)3. 已知某批零件的

13、長度誤差其長度誤差落在區間(3, 6)內的概率為(附：若隨機變量E服從正態分布 N(u,V卩+ 2 & 95.4%.)A. 4.56%C. 27.18%解析：選 B.由正態分布的概率公式知1f(x)的圖象，且 f(x)=枷，。(x)=-e /8 n( )B. 10 與 2D . 2 與 10卩=10,方差(? = 4，即 卩=2.N(0, 32)，從中隨機取一件，/),貝VP(卩V V葉 & 68.3% , P(卩2 VEB. 13.55%D. 31.74%P( 3V V3)& 0.683, P( 6V V6)& 0.954,故P(3V EV6)=P(6VV6)

14、P(3V V3)20.954 =0.135 5 = 13.55%，故選 B.C. 8D. 7P(95wxw105) = 0.32，估計該班學生數學成績在115 分以上的人數為()解析：選 B.因為考試的成績 X 服從正態分布 N(105, 102)，所以正態曲線關于x= 1051對稱.因為 P(95WXW105) = 0.32,所以 P(X 115) = qX(1 - 0.32X2) = 0.18.所以該班學生數學成績在 115 分以上的人數為 0.18X50= 9.15設隨機變量E服從正態分布 Ng,d2)，且二次方程 x2+ 4x+ = 0 無實根的概率為-,貝 y =_.解析：因為方程

15、X2+ 4x+E=0 無實根，所以= 16-4 氏 0,所以&4,1即 P(&4) = 2 = 1 P(葺 4).皿 1故 P(葺 4) = 2.所以尸 4.答案：46.在某項測量中，測量結果E服從正態分布 N(1 ,d2)( Q0).若E在(0, 1)內取值的概率為 0.4,則E在(2,+ )上取值的概率為 _ .1 1解析：由正態分布的特征易得P( &2) = 2X1 2P(0氏 1) = 2X(1 0.8) = 0.1.答案：0.17.為了了解某地區高三男生的身體發育狀況，抽查了該地區1 000 名年齡在 17.5 歲至19 歲的高三男生的體重情況，抽查結果表明他

16、們的體重X(kg)服從正態分布 N(卩，22)，且正態分布密度曲線如圖所示，若體重大于58.5 kg 小于等于 62.5 kg 屬于正常情況，則這 1 000名男生中屬于正常情況的人數約為 _ .解析：依題意可知，口= 60.5, 尸 2,故 P(58.5vXW62.5) = PgoX 計d= 0.683 , 從而屬于正常情況的人數為1 000X0.683= 683.C. 8D. 7答案：683& 一批燈泡的使用時間X(單位：小時)服從正態分布 N(10 000, 4002)，求這批燈泡中“使用時間超過 10 800 小時”的概率.所以成績在(70 , 90內的同學約占全班同學的95.

17、4%.解：依題意尸 104,(r= 400,所以 P(104 800XW104+ 800)=P( j 2 oXW葉 2 c)=0.954.由正態分布性質知P(X104+ 800),故 2P(X10 800) + P(104 800X10 800)=1 =0.023.解：由圖易知，該正態密度曲線關于尸 72.(X 72)2、1200 廠 /P(x)=. e,x( ,10 寸 2n總體隨機變量的期望是尸 72,方差是 /= 100.B 能力提升1.某一部件由三個電子元件按如圖所示方式連接而成，元件 元件 3正常工作，則部件正常工作，設三個電子元件的使用壽命1 或元件 2 正常工作，且(單位：小時)

18、均服從正態分布 N(1 000, 502)，且各個元件能否正常工作相互獨立，那么該部件的使用壽命超過1 000 小時的概率為_.x = 72 對稱，最大值為所以正態密度函數的解析式是解析：由三個電子元件的使用壽命均服從正態分布N(1 000, 502)得：三個電子元件的1使用壽命超過 1 000 小時的概率為 p= 2，超過 1 000 小時時元件 1 或元件 2 正常工作的概率33p1= 1 (1 p)2= 4,那么該部件的使用壽命超過 1 000 小時的概率為 p2= p1xp= 8.3答案：312工廠制造的某機械零件尺寸X 服從正態分布 N 4,-，則在一次正常的試驗中，取1 000 個

19、零件時，不屬于區間(3 , 5)這個尺寸范圍的零件大約有 _ 個.1 1解析：因為 XN 4, 9，所以尸 4,尸所以不屬于區間(3, 5)的概率為P(XW3)+P(X5)=1P(3vXv5)=1P(41VXV4+1)=1 P (卩3(VXV3 c)=1 0.997= 0.003.1 000X0.003 = 3(個).即不屬于(3, 5)這個尺寸范圍的零件大約有 3 個.答案：33在某次大型考試中，某班同學的成績服從正態分布N(80, 52)，現已知該班同學中成績在 8085 分(包括 85 分，但不包括 80 分)的有 17 人，試計算該班成績在90 分以上的同學有多少人？解：因為成績服從正態分布N(80, 52),所以 尸 80,c= 5,口一 =