1、2020 屆福建省三明市高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（文）試一、單選題1.己知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)1 i（: )A.iB B.1 iC C.iD D . 1 1【答案】B B【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則直接求解可得結(jié)果 【詳解】2i 2i 1 i1i1i 1 i 1 i故選：B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題 22 2.已知集合A xx 2x 30,B x 2 x 2，則AI B等于（）A A.2, 1B B.1,1C C.1,2D D.1,2【答案】A A【解析】先化簡集合A x x1或x 3，再根據(jù)集合交集定義運(yùn)算即可 【詳解】因?yàn)锳 x x 1或x 3，故A B 2, 1，故選

2、A.A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，屬于容易題 3 3.已知函數(shù)f2x,x 0f/x，則f 4(log2x , x 0)A A.31B B .C C .816D D .2【答案】D D【解析】將x4代入對應(yīng)解析式中即可求得結(jié)果 【詳解】Q 4 0f 4 log24 2第 1 1 頁共 1717 頁第3 3頁共 1717 頁故選：D【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的函數(shù)值的求解問題，屬于基礎(chǔ)題4 4 .直線x2被圓2 2x ay 4所截弦長等于2.3，則實(shí)數(shù)a的值為（）A A .1或3B B.2.2C C.3D D . 1 1 或 3 3【答案】D D【解析】由圓的方程確定圓心和半徑，由此確定

3、圓心到直線距離；由垂徑定理可構(gòu)造方程求得結(jié)果 【詳解】由圓的方程知：圓心a,0，半徑r= 2圓心到直線x 2的距離d |a 22 .3 2；r2d22 ,;4 a 22，解得：a a 1 1 或3故選：D【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線被圓截得的弦長求參數(shù)值的問題；關(guān)鍵是能夠利用垂徑定理構(gòu)造方程, 即直線被圓截得的弦長為2 . r2d2. .xy 0,5 5. 設(shè)x,y滿足約束條件xy 20,則 z z x x2y2y 的最大值為（）2x y 40,A A . 2 2B B. 3 3C C. 1212D D . 1313【答案】C C11【解析】由約束條件可得可行域，將問題變成y丄x丄z在y軸截距最大

4、問題的求22解；通過平移直線可確定最大值取得的點(diǎn)，代入可得結(jié)果【詳解】由約束條件可得可行域如下圖所示：第4 4頁共 1717 頁2* 4-/2cos45o18 102a b yflQ故選：A【點(diǎn)睛】本題考查平面向量模長的求解問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律首先求得模長的平方，進(jìn)而得到結(jié)果 8 8 中國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中記載了公元前 344344 年商鞅監(jiān)制的一種標(biāo)準(zhǔn)量器 一- 商鞅銅方升，某商鞅銅方升模型的三視圖，如圖所示（單位：寸），若 取 3 3，則該模型的體積（單位：立方寸）為（）A A 11.911.9B B. 12.612.6C C 13.813.8D D 16.216.2【答

5、案】B B【解析】根據(jù)三視圖可知該模型為一個(gè)直四棱柱與一個(gè)圓柱構(gòu)成的組合體，根據(jù)柱體體積公式分別求得兩個(gè)部分的體積，加和得到結(jié)果【詳解】由三視圖可知，商鞅銅方升模型為一個(gè)直四棱柱與一個(gè)圓柱構(gòu)成的組合體直四棱柱的體積V 1 35.4 1.611.4；圓柱的體積1V21.641-4.8 1.24該模型的體積VV211.4 1.2 12.6故選：B【點(diǎn)睛】 本題考查組合體體積的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過三視圖確定組合體的各個(gè)構(gòu)成部分，進(jìn)而求得各部分體積. .9 9 .若函數(shù)f x. 3sin x cosx m在0,上的最小值是1，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）第7 7頁共 1717 頁A A . 1 1B B.

6、1C C. 0 0D D.、3第8 8頁共 1717 頁【詳解】f x 2sin x m67.1Q x 0,x,sin x,16 6 66 2f xmin1 m1，解得：m 0故選：C【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)正弦型函數(shù)最值求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是能夠利用輔助角公式將函數(shù)化為正弦型函數(shù)的形式，進(jìn)而采用整體對應(yīng)的方式得到正弦型函數(shù)的值域1010 已知四邊形ABCD是矩形，PA丄平面ABCD,AB 1,BC 2,PA 2,E為BC的中點(diǎn)，則異面直線AE與PD所成的角為（）A A - -B B. C C. D D 6 643【答案】C C【解析】取AD,PA中點(diǎn)F,G，通過平行四邊形和三角形中位線性質(zhì)平移

7、兩條異面直線到相交狀態(tài)，結(jié)合余弦定理可求得CF與FG所成角，進(jìn)而得到異面直線所成角 【詳解】【答案】C C【解析】利用輔助角公式將函數(shù)化為f x2sin x m，根據(jù)正弦型函數(shù)值域6可確定最小值為1 m，由此構(gòu)造方程求得結(jié)果第9 9頁共 1717 頁取AD,PA中點(diǎn)F,G，連接CF,AC,FG,CGQ四邊形ABCD為矩形，E, F分別為BC, AD中點(diǎn)AF/EC四邊形AFCE為平行四邊形CF/AE第1010頁共 1717 頁故選：C【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過直線的平行關(guān)系將異面直線所成角問題轉(zhuǎn)化為相交直線所成角的求解問題；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略兩條直線所成角的范圍，造成求解

8、錯(cuò)誤 21111 函數(shù)f x Inx x的圖象大致為（）【答案】B B【解析】利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而排除A,D；根據(jù)0,上的最大值f 20可排除C,從而得到結(jié)果. .【詳解】由x20得：x 0，即f x定義域?yàn)椋?0,nt12 x則f x右2x 1x 0 xxQ F,G分別為AD,PA中點(diǎn)FG/PDQ PA平面ABCD,AC平面ABCDPAACCG.AG2AC211 4,6，又CF.11cosCFGCF2GF22GC2 2 612CF GF2 222，F(xiàn)G2丁 -，即異面直線PD與AE所成角為-異面直線PD與AE所成角即為CF與FG所成角CF與FG所成角為2第1111頁共 1717 頁

9、當(dāng)x 0,2時(shí)，f x 0；當(dāng)x ,0和2,時(shí)，f x 0即f x在0,2上單調(diào)遞增，在,0和2,上單調(diào)遞減，可排除A,D第1212頁共 1717 頁故選：B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的辨析，處理此類問題通常采用排除法的方式來進(jìn)行求解;夠利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)確定區(qū)間內(nèi)最值點(diǎn)則C的漸近線方程為(5.2x12【答案】斜率，進(jìn)而得到漸近線方程【詳解】設(shè)PF3m m 0，由雙曲線定義知:PFPF 2a3m 2aQOAQOAOBOB. MA MB且OMABOM .a22m又f 2 In 4 2 0f x在0,上的最大值小于零，可排除C關(guān)鍵是能1212 .已知點(diǎn)F是雙曲線C:；ya的左焦點(diǎn)，P為C

10、右支上一點(diǎn). .以C的實(shí)軸為直徑的圓與線段PF交于A，B兩點(diǎn)，且A，B是線段PF的三等分點(diǎn),B B.6.2x5【解設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為PF 3mm 0，取AB中點(diǎn)M，根據(jù)雙曲線定義可表示出PF;在圓中利OM，根據(jù) 代B為PF三等分點(diǎn)可確定M為PF中點(diǎn)，由中位線性質(zhì)可表示出PF并得到PF PF,由此構(gòu)造方程求得m；利用雙曲線焦點(diǎn)三角形面積構(gòu)造等量關(guān)系,得到關(guān)于a, b的齊次方程，由此求得漸近線設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為F，取AB中點(diǎn)M，連接PF ,OM第1313頁共 1717 頁4又AFBPM為PF中點(diǎn)，又O為FF中占1八、OM/-PF且PF PF2第1414頁共 1717 頁角形面積，進(jìn)而構(gòu)造出關(guān)于a,b的

11、齊次方程. .二、填空題1313 曲線y Inx在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為 _【答案】y x 11【解析】y,則切線斜率k f (1) 1，切線方程為y x 1. .x【詳解】Q0,-sin0,cos02tan由sin小2cos得:sin2、5cos 2cos155sinsin sin cos cossin 2/553 10444525210故答案為：1010【點(diǎn)睛】本題考查利用兩角和差正弦公式求解三角函數(shù)值的問題，關(guān)鍵是能夠利用同角三角函數(shù)的商數(shù)和平方關(guān)系求得所需角的正余弦值 SPF1 3m 2a2，解得:PF18a，PF518a5722a25又雙曲SF,PFb2tanRPF2b2tan4

12、b2b2722a25雙曲線漸近線方程為y故選:【點(diǎn)本題考查雙曲涉及到雙曲線定義、焦點(diǎn)三角形面積的應(yīng)用、垂徑定理求解圓的弦長的應(yīng)用等知識(shí);關(guān)鍵是能夠通過兩種不同的方式表示出雙曲線焦點(diǎn)三1414 .已知0,tan 2，則sin -24【答3 3 10101010【解析】由同角三角函數(shù)關(guān)系可求得sin ,cos；由第1515頁共 1717 頁X2y21515 .設(shè)橢圓C :牙1 a b 0的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,F2，上頂點(diǎn)為A 在xa bumr ujuruuu uiuu軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)B, ,滿足BF1F2，且AB AF2，則橢圓的離心率為 _ . .1【答案】丄2【解析】根據(jù)直角三角形斜邊中線等

13、于斜邊一半可構(gòu)造出關(guān)于a,c的齊次方程，由此可求得離心率 【詳解】luir umururn ujurQ BF1F1F2F1為 BFBF2中點(diǎn)，又AB AF2AR F1F2_c 1即 一b2c2a 2ce_3a 21故答案為：丄2【點(diǎn)睛】本題考查離心率的求解問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半構(gòu)造出關(guān)于a,c的齊次方程. .1616 三棱柱ABC A1B1C1中，AB BC AC，側(cè)棱AA1丄底面ABC，且三棱柱的側(cè)面積為6 J3 若該三棱柱的頂點(diǎn)都在球0的球面上，則球0體積的最小值為 _. .【答案】空23【解析】根據(jù)三棱柱側(cè)面積可得到三棱柱底面三角形邊長和三棱柱高的關(guān)系，根據(jù)外

14、接球的性質(zhì)和勾股定理可表示出球的半徑， 利用基本不等式求得半徑的最小值， 根據(jù)球的 體積公式求得結(jié)果 【詳解】設(shè)AB BC AC 2a，三棱柱高為h第1616頁共 1717 頁僅當(dāng)4a32，即a3時(shí)取等號(hào))34a22球o體積的最小值Vmin-423莊233故答案為：8il3【點(diǎn)睛】本題考查棱柱外接球體積最值的求解問題，的最小值，進(jìn)而代入球的體積公式求得結(jié)果 三、解答題1717 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，已知 印2,8a22a4a6. .(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè)bnan2n，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn. .【答案】(1 1)an2n,n N ( 2 2)Tn2n1n2n 2,

15、nN【解析】(1 1)利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式表示出已知等式，可得關(guān)于公比q的方程，解方程求得q，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得結(jié)果；(2)由(。可得bn通項(xiàng)公式，利用分組求和的方式，對兩部分分別采用等比數(shù)列求 和和等差數(shù)列求和的方法求得結(jié)果Q AA|底面ABC三棱柱側(cè)面積S 6ah 6、3取BC中點(diǎn)D，作OG平面ABC-AD32a，又OG3h 32 2a球0的半徑R 0A后 F護(hù)洛關(guān)鍵是能夠利用基本不等式求得外接球半徑K、。(當(dāng)且2第1717頁共 1717 頁【詳解】差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，屬于常考題型 1818 .已知VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且a si nB-、3bc

16、osA. .(1)求A;(2)若a .13,VABC的面積為3、.3，求VABC的周長. .【答案】(1 1)A一 (2 2)7. 133【解析】(1 1)利用正弦定理邊化角化簡已知等式可求得tan A，根據(jù)A的范圍可得結(jié)果;(2(2)利用三角形面積公式構(gòu)造方程求得be,根據(jù)余弦定理化簡可求得b c，進(jìn)而求得結(jié)果. .【詳解】Q 8a22a4a68a1q1 2ag3解得：(2q4q 2an(2 2) 由 (1 1)知:bn2n2nTn2122242362122232n2 4 62n12nn2. .數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn2n 1+n2【點(diǎn)睛】524aiq，又ai28 2q q2n2n2n2 2

17、n1n 2n 22n 2,nN分組求和法求解數(shù)列的前n項(xiàng)和的問題；涉及到等(1(1) Q Qasinasin B B(1(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q q 0本題考第1818頁共 1717 頁由正弦定理得：si nAsi nB、.3si nBcosAQ B0,sin B 0sin A3 cos A, 即tan A又A0,A -3(2 2)QSABC1bcsin A213bcs in234bc 3 3bc12由余弦定理得:2 2 2 2a b c 2bccosA b c 3bc第1919頁共 1717 頁 ABC的周長L a b c 7、T3【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)， 涉及到正弦定理邊

18、化角、余弦定理和三角形面積公式的 應(yīng)用，屬于常考題型 11919如圖（1 1），在等腰梯形ABCD中，AB/ CD,AB BC AD CD 2,P2為CD中點(diǎn) 以AP為折痕將ADP折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)S的位置，如圖（2 2）. .（1）求證：SB AP;（2） 若SB 6, 求點(diǎn)C到平面【答案】（1 1）見解析（2 2）生!55【解析】（1 1）根據(jù)已知的長度和平行關(guān)系可證得SAP, BAP均為等邊三角形，取AP中點(diǎn)E，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可證得SE AP,BE AP,則根據(jù)線面垂直判定定理證得AP平面SBE，由線面垂直性質(zhì)定理可得結(jié)論；（2）利用體積橋的方式VC SPBVS PBC可構(gòu)造

19、出關(guān)于所求距離的方程，解方程求得結(jié)果 【詳解】1（1 1）在圖1中，Q AB/CD,AB BC AD -CD 2, P P 為CD中點(diǎn)2四邊形ABCP是菱形，且ADP是等邊三角形，即圖2中SAP是等邊三角形Qa .1313 36 49，即b c 7SPB的距離. .第2020頁共 1717 頁連結(jié)BP,Q AB/DP四邊形ABPD為平行四邊形第2121頁共 1717 頁則BP AB AP，即BAP是等邊三角形Q SB平面SEBSBAP(2 2) 由 (1 1)知：SEBE.3又SB.6SE2BE2SB2SB BE又SEAP,API BEE,AP, BE平面ABCP設(shè)點(diǎn)C到平面SPB的距離為d系

20、時(shí)，通常需要采用先證線面垂直的方式，再利用線面垂直性質(zhì)證得結(jié)論；求解點(diǎn)到平 面距離時(shí)，常采用體積橋的方式，構(gòu)造出關(guān)于所求距離的方程來求得結(jié)果2 22020.已知?jiǎng)訄AC與圓G：x 2 y 1外切，又與直線l : x 1相切. .設(shè)動(dòng)圓C的圓心的軌跡為曲線E. .（1 1）求曲線 E E 的方程;1（2）在x軸上求一點(diǎn)P（不與原點(diǎn)重合），使得點(diǎn)P關(guān)于直線y-x的對稱點(diǎn)在曲線E上. .【答案】(1 1)y28x(2 2)15,02【解析】（1 1）根據(jù)兩圓外切、直線與圓相切可知點(diǎn)C軌跡滿足拋物線定義， 由此可得拋設(shè)AP中點(diǎn)為E,連結(jié)EB,ES,貝U APES，AP EBQ ESIEBE,ES,EB平

21、面SEBAP平面SEBSE平面ABCP，即SE為三棱錐SPBC的高在SPB中，SP PB 2，SB .6SASPB-152由VCSPBVS PBC得：115 d32応4，解得:4點(diǎn)C到平面SPB的距離為召丄55【點(diǎn)本題考查立體幾何中線線垂直關(guān)系的證明、點(diǎn)到平面距離的求解問題；證明線線垂直關(guān)第2222頁共 1717 頁物線軌跡方程;（2 2）設(shè)P t,0，利用點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)的求法求得對稱點(diǎn)34P t, t，代入拋物線55第2323頁共 1717 頁方程可求得t,進(jìn)而得到P點(diǎn)坐標(biāo). .【詳解】n22m n2t&口mtm t5則， 即，解得：n 1 m t2n m t4一 一 -nt2 2

22、 25將P代入曲線E得:16以t24丄t，解得：t0（舍）或25515點(diǎn)P的坐標(biāo)為 -,02【點(diǎn)睛】程的關(guān)鍵是能夠通過圓與圓、直線與圓的位置關(guān)系找到動(dòng)點(diǎn)軌跡滿足拋物線的定義, 而利用定義直接得到拋物線方程12121 .已知函數(shù)f x 2lnx ax2（1）討論f x的單調(diào)性;【答案】（1 1）見解析（2 2）見解析由此得到原函數(shù)的單調(diào)性;（1 1）由題意得：圓心C到直線x2的距離等于到圓C1圓心的距離C的軌跡是2,0為焦點(diǎn)，以直線x2為準(zhǔn)線的拋物線設(shè)其方程y22pxp 0，則-22，解得：p 4曲線E的方程為y28x(2(2)設(shè) P Pt,0，P關(guān)于直線-x的對稱點(diǎn)為P m,n2本題考查拋物線

23、軌跡方程的求解、點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)的求解等知識(shí);本題中求解軌跡方2a 1x，a（2 2）當(dāng) a a 0 0 時(shí)，證明:52a4. .【解析】 （1 1） 求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)后,分別在0 0 兩種情況下，討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),（2 2）根據(jù)（1 1）中結(jié)論，可知fXmax由此可將不等式轉(zhuǎn)化為第2424頁共 1717 頁xmax4，即證In2a1，構(gòu)造函數(shù)ag t Intt 1，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)得到tmax0， 進(jìn)而證得結(jié)第2525頁共 1717 頁【詳解】(1)由題意得：f x定義域?yàn)?,1當(dāng) a a 0 0 時(shí)，若x 0,，f x 0,則f x單調(diào)遞增;a1若x,，f x 0，則fx單調(diào)遞減a2ax2

24、a 12ax 2a1 x 2xx 2 ax 1xx當(dāng)a 0時(shí)，f x 0在0,上恒成立f x在0,上單調(diào)遞增綜上所述：當(dāng)a 0時(shí),x在0,上單調(diào)1當(dāng) a a 0 0 時(shí)，f x在0,上單調(diào)遞增，在a上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減111f xf2ln2maxaa2a要證fx542a只要證2ln11254 ,，1 1即證：In10a2a2aa a令t1，即證：Intt 10在t 0上成立a令g tIn tt1，即證：g t0Q g t11t1 -tt當(dāng)t0,1時(shí)，g tC)；當(dāng)t1,時(shí)，g t 0g t在0,1上單調(diào)遞增，在 1,1,上單調(diào)遞減g tmaxg 1In1 11 0g t 0即當(dāng) a a0 0 時(shí),fx54本題考查導(dǎo)數(shù)涉及到討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)證明不第2626頁共 1717 頁由2cos3得：2 x2y2x 3化簡得C的直角坐標(biāo)方程為：3x24y26x 9