1、頁1第3江蘇省南通市2020屆四校聯盟高三數學文模擬測試卷一、填空題(共 14 題，每題 5 分，計 70 分.不寫解答過程，把答案寫在答題紙指定位置上)1.已知集合 Ax|x 3| 1 , B xx25x 4 0，則A I B. 42.復數z ,(其中i是虛數單位)，則復數z的共軛復數為.1 i1i3設向量a= (I, k),b= (-2, k-3),若a/b，則實數 k 的值為 . 15.函數 f(x) =log(4x 3)的定義域為 .(-3/4,1V26.已知命題 p: - 1x a0，若 p 是 q 的充分不必要條件，則實數 a 的取值范圍是. 5, 77.在正四棱錐S-ABCD 中

2、，點 0 是底面中心，SO= 2,側棱 SA= 2,則該棱錐的體積為. 32/34如圖是一個算法的偽代碼，其輸出的結果為1011For I用陽 1Io10I& 若函數f(x) cos(2x)(0)的圖象關于直線X對稱，則122x9.已知橢圓a2詁1(a b0)的離心率e1, A、B 分別是橢圓的左、右頂點,P 是橢圓上不同于 A、B 的一點，直線 PA、PB 的傾斜角分別為，則cos(cos(-的值為)1_ -7uur nu mu10.在ABC所在的平面上有一點P，滿足PA PB PCuiu uurUUPA PBAB，貝 Uuiuuuu=PB PC頁2第11.如圖，將數列中的所有項按每

3、一行比上一行多兩項的規則排成數表頁3第14.已知 f (x) m(x 2m)(x m 3) , g (x) x R, f (x)0 或 g (x)0 : x (, 4) , f (x)g(x)0 .則m的取值范圍是_. ( 4, 2)二、解答題(共 6 小題，共 90 分，解答時應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)16.(本題滿分 14 分)如圖，在直四棱柱 ABCD A1BQ1D1中，已知底面 ABCD 是菱形，點 P 是側棱 CQ 的中點.(1)求證：AC1/ 平面 PBD ;(2)求證：BD 丄 A1P.又因為P CC1,CC1面ACC1A,所以P面ACC1A1，因為A1面ACC1A1,

4、 所以AP面AC1,所以BD A,P. .1 4 分 16.(本小題滿分 14 分)已知表中的第一列,構成一個公比為2 的等比數列，從第ai,a2,a5丄2 行起，每一行都是一個公差為d的等差數列,a35,a86524，則 d=12.己知(0,3)，則y2x 8x 3的最小值為2x13若函數 f(x) = x3-ax2, x0 存在零點, 則實數 a 的取值范圍為 .2,+g2x2，若同時滿足條件:(1)證明：連結AC交BD于0點，連結0P,因為四邊形ABCD是正方形，對角線AC交BD于點0,所以O點是AC的中點，所以AOOC.又因為點 P 是側棱C1C的中點，所以CPPC1.在ACC1中,A

5、OOCGP1PC所以AC1/OP. . 4 分又因為OP 面 PBD,AC1面PBD,所以AC1/平面PBD. . 7分(2)證明：連結 AG .因為ABCD A1B1C1D1為直四棱柱，10 分:*r頁4第4在厶 ABC 中，內角 A, B, C 所對的邊分別為 a, b, c, cosB=4.5(1)若 c= 2a,求SinB 的值；si nC4 分頁5第n(2)若 C B= 4，求 si nA 的值.解：(1)解法 1：4a2+ c2 b24在厶 ABC 中，因為 cosB= 5 所以 莎=5. . 2 分因為 c= 2a,所以2+ c2 b22=右即驚 20，所以 r 訐又由正弦定理得

6、sinB b孟=c 所以si nB = 3f5sinC 10解法因為COSB=4,5B(0, n._ 3所以 sinB =1 COHB=3.因為 c= 2a,由正弦定理得sinC= 2sinA,所以68sinC= 2sin(B+ C) = cosC+ sinC,即一 sinC= 2cosC.55又因為 sin2c + cos2C= 1, sinC 0,解得 sinC=今 25畔=窖si nC 1047(2)因為COSB=,所以COS2B=2COS2B 1 =525_ Q又 0 v B| =營. . 10 分因為 C B= n,即C=B+ n,所以A=n (B + C)=3n_2B,444所以

7、sinA = sin（寧2B） = sin 嚴 cos2B cos 嚴 sin2B = 嘛.14 分5017 . （ 14 分）在平面直角坐標系XOy中，已知橢圓2 2x yC: 21 ab0F 10a b的右焦點為F 1,0，且過點A,B兩點，點P在橢圓上，且滿足uur uuu uuuOA OB tOPt03（1,3）.過點F且不與x軸重合的直線l與橢圓C交于2設直線1的方程為X my 1求解亦可18. (16 分)某校要在一條水泥路邊安裝路燈，其中燈桿的設計如圖所示,2nn桿，CD AB,DCE,在E處安裝路燈，且路燈的照明張角MEN.已知33CD 4m, CE 2m.(1)當M , D重

8、合時，求路燈在路面的照明寬度MN;(2) 求此路燈在路面上的照明寬度MN的最小值.(1)求橢圓C的標準方程；(2)若t-，求直線AB的方程.2解:(1)由題意可知，c 1，且a笛1，又因為a24bb2解得a 2,b,3,22所以橢圓C的標準方程為乞1434分;(2)若直線AB的斜率不存在，則易得33A(1尹(1, J，uuuOAOB(2,0),2 uuu- OP，得P(2；2,0),2顯然點P不在橢圓上，舍去5分;因此設直線I的方程為y k x 1，設A(Xi, yi), B(X2, y2)將直線I的方程與橢圓C的方程聯立y2X4k x 12y_3，整理得1(3 4k2)X28k2x4k212

9、 07 分，因為X1,2，所以X13 4k8k23 4k2分，uuu則由OAuuuOBx-ix2,k x-i.2 uuuOP,2得PC-2(X1X2),云(為X22)10 分將P點坐標代入橢圓C的方程,得3(XiX2)2224k (X1X22)6 (11分；將X1X2拎帶入等式()得k212分,因此所求直線AB的方程為y上3 X214 分AB為地面，CD,CE為路燈燈4分頁7第解：(1)當M , D重合時，ADM(第 18 題)4分頁8第由余弦定理知，ME DE、CD2CE22CD CE cos DCE2 7 ,所以小CD2DE2CE25萬.2分，cosCDE2CD DE14因為CDEEMNn

10、,所以sinEMNcos CDE5 J214因為cosEMN0,所以cos EMN12sin EMN、2114由三角形面積公式可知，S1SEMNMN51EMEN sin-,22310所以石MN EM EN,12 分又由余弦定理可知，MN2 22EM2EN22EM ENncos-EM EN,-13 分3答：(1)路燈在路面的照明寬度為d3m；2(2)照明寬度MN的最小值為旦 3m.16 分313219.(本小題滿分 16 分)已知函數f(x) x 2x 3x(x R)的圖象為曲線C.3(1) 求曲線C上任意一點處的切線的斜率的取值范圍；(2)若曲線C上存在兩點處的切線因為MENn,所以sin E

11、NM sin32n3EMN.2nsin cos3EMN cos2sin3EMN7在EMN中，由正弦定理可知,MNsin MENEMsin ENM，解得MN士8 分;2(2)易知E到地面的距離 h2sin2n5m,10 分當且僅當EMEN時，等號成立，所以MN10MN,解得MN10門314 分;4分頁9第互相垂直，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標的取值范圍;(3)試問：是否存在一條直線與曲線C 同時切于兩個不同點？如果存在， 求出符合條件的所有直線方程；若不存在，說明理由.【解】(1)f (x) x24x 3，則 k f (x) (x 2)211 ,-4 分頁10第k 1(2)由(1)可知，

12、丄 1-6分k得：X,2、-2(1,3)2.2,; - 9 分(3)設存在過點 A(Xi，yi)的切線曲線 C 同時切于兩點，另一切點為B(X2,y2),XiX2,2232過 A(xi,yj的切線方程是：y (%4x13)x (x12x1) , -11 分3同理：過 B(x2, y2)的切線方程是y (x224x23)x (2x232x22)，322則有：Xi4xi3 X24X23，得X24，-13 分.2_22_2又由x12x1x22x2，3322 2即(x1X2)(X-IX1X2X2)2(x-|x2)(x1x2)0312 2 2(x1x1x2x2) 4 0，即X1(X1X2) X212 0

13、32 2即(4 x2) 4 x212 0，x24x24 0得X22，由X1X24得X12，這與X1X2矛盾，所以不存在 - 16 分20.(本小題滿分 16 分)設各項均為正數的數列an的前n項和為Sn,已知 a11，且 anSn 1an 1Sn1an對一切 n N*都成立.(1)當1時；，1求數列 On的通項公式；2若bn(n 1)an,求數列bn的前n項的和Tn;(2)是否存在實數 人使數列 an是等差數列如果存在，求出的值；若不存在，說明理由【詳解】(1)若1,因為anSn1an1Snan 1an則S.11 anSn1an 1,a1S1.又On0Sn0,-Sn 11an 1頁11第Sn1an5 1S31Sn11a2a3an 1 S11S21Sn1a1a2an 化簡，得Sn 11 2an 1.an= 24 分頁12第當n2時,Sn12an.一, 得anan 112an，亠2 n 2an/當n1時,a22n 1時上式也成立,數列an是首項為 1,公比為 2 的等比數列,n1因為bnn1an ,bnn 12n1所以Tn2 203 214 22n 2n 2(n 1)2* 1所以2Tn2 2122423(n 1)2n將兩式相減得:1 2Tn2 2 22n1(n1)2nn 1、22(1 2 )(nn1) 22n所以Tnn