1、IIR數字濾波器的設計電子信息科學與技術專業學生：魯劍波指導老師： 喬鬧生摘要：IIR數字濾波器是經典數字濾波器的一種。介紹了怎樣運用MATLAB這一編程效率高、形象直觀的可視化軟件來設計無限脈沖響應（IIR）數字濾波器的方法和步驟。給出了運用MATLAB設計無限脈沖響應（IIR）數字濾波器的方法：間接法。該方法主要是先設計模擬濾波器，再進行s-z平面轉換而達到設計目的。關鍵詞：濾波器，IIR數字濾波器，設計，MATLAB Design of IIR Digital FilterElectronics and Information Science and TechnologyCandidat

2、e: Lu JianboAdvisor: Qiao NaoshengAbstract: IIR digital filter is one kind of the classical digital filter. Method and step of limitless pulse respond digital filter are introduced by MATLAB that have high efficiency and visual as an image visual software. Indirect method of designing infinite impul

3、se respond digital filter by MATLAB is given. The method is to design the simulation filter at first, and then change s-z level to achieve the design purpose. Keywords: filter, IIR digital filter, design, MATLAB 引言IIR數字濾波器屬于經典數字濾波器中的一種，在很多領域中有著廣泛的應用。與FIR數字濾波器相比，它可以用較低的階數獲得較高的性能，所以存儲單元少，經濟效益高，在相同門級規模

4、和相同時鐘速度下可以提供更好的帶外衰減性1。然而，在實際應用中，數字濾波器的設計要進行復雜的推導和計算，所以運算量非常龐大2。目前，數字濾波器的設計常借助于計算機，利用MATLAB軟件來實現。MATLAB(即matrix和laboratory的前3位字母組合，意為“矩陣實驗室”)是美國MathWorks公司于1984年推出的數學軟件，是一種用于科學工程計算的高級語言3。它集數值分析、矩陣運算、信號處理和圖形顯示于一體,功能強大，編程效率高，是設計數字濾波器的強有力的工具4。1 數字濾波器綜述1.1 數字濾波器的基本概念所謂數字濾波器，是指輸入、輸出均為數字信號，通過一定運算關系改變輸入信號所含

5、頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。數字濾波器的概念和模擬濾波器相同，只是信號的形式和實現濾波方法不同5。正因為這些不同點，數字濾波器具有比模擬濾波器精度高、穩定、體積小、重量輕、靈活、不要求阻抗匹配以及實現模擬濾波器無法實現的特殊濾波功能等優點6。如果要處理的是模擬信號，則可通過A/DC和D/AC，在信號形式上進行匹配轉換，同樣可以使用數字濾波器對模擬信號進行濾波7。 1.2 數字濾波器的描述與分類一般情況下，數字濾波器是一個線性時不變離散系統，可用差分方程、脈沖響應h(n)、傳輸函數H(z)及頻率響應來描述。圖1示出了所有描述濾波器的方法。這幾種描述方式相互關聯，從不同方面說明了

6、濾波器的特性。 圖1 數字濾波器的描述方法數字濾波器按照不同的分類方法，有許多種類，但總起來可分為經典濾波器和現代濾波器兩類。經典濾波器即一般的濾波器，特點是輸入信號中有用的頻率成份和希望濾除的頻率成份占有不同的頻帶，通過一個合適的選頻濾波器達到濾波的目的。如果信號和干擾的頻帶互相重疊，則不能完成對干擾的有效濾除，這時需要采用另一類所謂的現代濾波器，這些濾波器可按照隨機信號內部的一些統計分布規律，從干擾中最佳地提取信號。數字濾波器從功能上可分為四種：即低通（LP, Low Pass）、高通（HP, High pass）、帶通（BP, Band Pass）和帶阻(BS, Band Stop)濾波

7、器。它們的幅頻特性如下圖。圖2 理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性數字濾波器從實現的網絡結構或者從單位脈沖響應分類，可以分成無限脈沖響應（Infinite Impulse Response Filter 簡稱IIR）濾波器和有限脈沖響應（Finite Impulse Response Filter 簡稱FIR）濾波器。1.3 數字濾波器的技術要求通常用的數字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設數字濾波器的傳輸函數用下式表示： （11）式中，稱為幅頻特性；()稱為相頻特性。幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成份衰減情況，而相頻特性反映各頻率成份通過濾波器后在時間上的延時情況。因此，即使兩個濾波

8、器幅頻特性相同，而相頻特性不一樣，對相同的輸入，濾波器的輸出信號波形也是不一樣的。一般選頻濾波器的技術要求由幅頻特性給出，相頻特性一般不作要求，但如果對輸出波形有要求，則需要考慮相頻特性的技術指標，如語音合成、波形傳輸、圖像信號處理等。如果對輸出波形有嚴格要求，則需要設計線性相位數字濾波器。2 設計方案的實現和選擇IIR濾波器設計方法有兩類,常用的間接法是借助于模擬濾波器的設計方法進行的。而直接法是直接在頻域或時域中進行設計的。由于要解聯立方程，設計時需要計算機作輔助。2.1 間接法設計數字濾波器間接法是指通過先設計模擬濾波器，再進行s-z平面轉換，來達到設計數字濾波器的目的，這種設計的幅度特

9、性受到所選模擬濾波器特性的限制。其設計過程是：按照技術要求設計一個模擬低通濾波器，得到模擬低通濾波器的傳輸函數，再按照一定的轉換關系將轉換成數字低通濾波器的系統函數。這樣設計的關鍵問題就是找這種轉換關系，將S平面上的轉換成Z平面上的。將傳輸函數從S平面轉換到Z平面的方法有多種，但工程上常用的是脈沖響應不變法和雙線性變換法。 脈沖響應不變法的特點脈沖響應不變法的優點是頻率坐標變換是線性，如果不考慮頻率混疊現象，用這種方法設計的數字濾波器會很好的重現原模擬濾波器的頻率特性。另外一個優點數字濾波器的單位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應，時域特性逼近好。 脈沖響應不變法的主要缺點是會產生混疊現

10、象，使數字濾波器的頻響偏移模擬濾波器的頻響。適合低通、帶通濾波器的設計，不適合高通、帶阻濾波器的設計。 雙線性變換法的特點由于從s平面到s1平面具有非線性頻率壓縮的功能，因此不可能產生頻率混疊現象，這是雙線性變換法比較脈沖響應不變法最大的優點。但與之間的非線性關系是雙變換法的缺點，它直接影響數字濾波器頻響逼真的模仿模擬濾波器的頻響。2.2 直接法設計數字濾波器直接法是直接在頻域或者時域中進行設計的，由于要解聯立方程，設計時需要計算機做輔助設計。其特點是適合設計任意幅度特性的濾波器。具體又分成以下三類方法。2.2.1 零極點累試法是根據其幅度特性先確定零極點位置，再按照確定的零極點寫出其系統函數

11、，畫出其幅度特性，并與希望的進行比較，如不滿足要求，可通過移動零極點位置或增加（減少）零極點，進行修正。這種修正是多次的，在確定零極點位置是要注意：（1）極點必須位于Z平面單位圓內，保證數字濾波器因果穩定。（2）復數零極點必須共軛成對，保證系統函數有理式的系數是實的。 頻域最小均方誤差設計法這種方法實際上就是一種計算機的優化設計方法，優化的原則是幅度平方誤差最小。由于需要通過計算機編程并進行迭代求濾波器的系數，這種方法也稱為計算機輔助設計法。在設計過程中，對系統函數零、極點位置未給任何約束，零、極點可能在單位圓內，也可能在單位圓外。這里主要問題是如果極點在單位圓外，則會造成濾波器不是因果穩定的

12、，因此需要對這些單位圓外的極點進行修正。這種設計方法計算比較繁復，一般用計算機進行求解，但可以得到任意給定幅度特性且性能比較好。 在時域直接設計IIR數字濾波器這種時域逼近法限制脈沖響應的長度，使得濾波器的選擇受到限制，如果濾波器阻帶衰減要求很高，則不適合用這種方法。但用此方法得到的系數，可作為其他更好的優化算法的初始估計值。實際中，有時要求給一定的輸入信號波形，濾波器的輸出為希望波形，這種濾波器稱為波形形成濾波器，也屬于這種時域的直接設計法。2.3 方法的選擇由上述比較可知，因為模擬濾波器設計方法已經很成熟,它不僅有完整的設計公式,還有完善的圖表供查閱;另外還一些典型的濾波器類型可以供我們使

13、用，通常我們都采用間接法來設計數字濾波器，而間接法中的脈沖響應不變法和雙線性變換法是比較好的兩種設計方法。3 IIR數字濾波器的設計用間接法設計數字濾波器，其設計步驟是:先設計模擬濾波器得到傳輸函數,然后將按某種方法換成數字濾波器的系統函數。下面將具體說明數字濾波器的設計。3.1 模擬濾波器的設計模擬濾波器的理論和設計方法已發展的相當成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯（Butterworth）濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Ellipse)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等，這些濾波器都有嚴格的設計公式、現成的曲線和圖表供設計人員使用。這些典型的濾波器

14、又各有特點：巴特沃斯濾波器具有單調下降的幅頻特性，其具體的設計方法如下：巴特沃斯濾波器的幅度平方函數用下式表示： = (31)式(31)中，N稱為濾波器的階數。當時，時，是3dB截止頻率。當時，隨加大，幅度迅速下降。下降的速度與階數N有關，N愈大，幅度下降的速度愈快，過渡帶愈窄。 切比雪夫濾波器的幅頻特性在通帶或者在阻帶有波動，可以提高選擇性；貝塞爾濾波器通帶內有較好的線性相位特性；橢圓濾波器的選擇性相對前三種是最好的。這樣根據具體要求可以選用不同類型的濾波器。模擬濾波器按幅度特性可分成低通、高通、帶通和帶阻濾波器，它們的理想幅度特性如圖3所示。3.2 數字濾波器的設計 數字濾波器的基本原理與

15、表示方法數字濾波器（Digital Filter，簡稱為DF）是數字信號處理的重要基礎，在對信號的過濾、檢測與參數的估計等信號處理中，數字濾波器是使用最為廣泛的一種線性系統。數字濾波器是對數字信號實現濾波的線性時不變系統。數字濾波實質上是一種運算過程，實現對信號的運算處理。輸入的數字信號（數字序列）通過特定的運算轉變為輸出的數字序列，因此數字濾波器本質上是一個完成特定運算的數字計算過程。圖3 各種理想濾波器的幅頻特性時域離散系統的頻率特性： （32）其中 ，分別是數字濾波器的輸出序列和輸入序列的頻域特性（或稱為頻譜特性），是數字濾波器的單位取樣響應的頻譜，又稱為數字濾波器的頻域響應。可以看出，

16、輸入序列的頻譜經過濾波器變為，因此只要按照輸入信號頻譜的特點和處理信號的目的，適當選擇，使得濾波后的滿足設計的要求，這就是數字濾波器的濾波原理。一個數字濾波器可以用系數函數表示為：= （33）直接由此可得出表示輸入輸出關系的常系數線性差分方程為 （34）可以看出，數字濾波器的功能就是把輸入序列通過一定的運算式（34）換成輸出序列。可以用以下兩種方法來實現數字濾波器；一種方法是把濾波器所要完成的運算編成程序并讓計算機執行，也就是采用計算機軟件來實現；另一種方法是設計專用的數字硬件，專用的數字信號處理器或采用數字信號處理器來實現。 IIR數字濾波器的設計方法由于采用間接法設計數字濾波器的方法是借助

17、于模擬濾波器的設計方法進行的,其設計步驟為：（1）確定所需類型數字低通濾波器的技術指標。（2）將所需類型數字濾波器的技術指標轉換成所需類型模擬濾波器的技術指標。轉換公式為： （35）（3）將所需類型模擬濾波器的技術指標轉換成所需類型模擬濾波器的技術指標，其頻率轉換方法如下表1所示：表1 頻率轉換方法低通到高通低通到帶通低通到帶阻（4）設計模擬低通濾波器。（5）將模擬低通濾波器通過頻率變換，轉換成所需類型的模擬濾波器。（6）采用雙線性變換法，將所需類型的模擬濾波器轉換成所需類型的數字濾波器。 脈沖響應不變法設計IIR數字濾波器 脈沖響應不變的設計原理是使得數字濾波器的單位取樣響應序列模仿模擬濾波

18、器的沖激響應， （36）代表拉氏變換，對進行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到，將作為數字濾波器的單位取樣響應，那么數字濾波器的系統函數便是的Z變換。因此脈沖響應不變法是一種時域的轉換方法，它使在采樣點上等。按照脈沖響應不變法原理，用這種方法設計數字濾波器系統函數的過程是：由模擬濾波器的系統函數求出它的拉普拉斯反變換得到脈沖響應，然后對其進行等間隔采樣： （37）然后求出的Z變換，便得到系統函數的，即 （38）在實際中，脈沖響應不變法特別適合于模擬濾波器系統函數能夠用部分分式展開式表示的情況。假設模擬濾波器的系統函數只有單階極點，且，系統函數可以用部分分式形式表示： （39）其拉普拉斯變換為脈沖響

19、應為： （310）對進行等間隔采樣，可以得到數字濾波器的單位取樣響應： （311）然后對進行Z變換，便得到數字濾波器的系統函數： (312)由此可知，通過模擬濾波器的系統函數，可以直接求得數字濾波器的系統函數，這種方法求取數字濾波器的系統函數是比較方便的。 雙線性變換法設計IIR數字濾波器 為了克服脈沖響應不變法產生的頻率混疊現象，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到之間，再用轉換到平面上。設，經過非線性頻率壓縮后用，表示，這里用正切變換實現頻率壓縮： (313)式中仍是采樣間隔,當從經過0變化到時，則由-經過0變化到，實現了s平面上整個虛軸完全壓縮到平面上虛軸的之間的轉

20、換。這樣便有 (314)再通過轉換到z平面上,得到: (315) (316)式(315)或式(316)稱為雙線性變換。從s平面映射到平面,再從平面映射到z平面。由于從s平面到平面具有非線性頻率壓縮的功能，因此不可能產生頻率混疊現象，這是雙線性變換法比較脈沖響應不變法最大的優點。4 用MATLAB設計IIR數字濾波器4.1 MATLAB軟件的簡介MATLAB是Mathworks公司于1984年推出的一套高性能的數值計算和可視化軟件。 它集數值分析,矩陣運算,信號處理和圖形顯示于一體,構成了一個方便且界面友好的用戶環境3,4,5。作為一個優秀的科技軟件，MATLAB可以給出數據的二維、三維乃至四維

21、的圖形表現，它語言簡潔緊湊，使用起來極為方便靈活，它的運算符也十分豐富。因此，利用MATLAB可以很方便的設計出所需的濾波器，同時可以直觀形象地描繪出波形圖5。4.2 MATLAB程序實現下面介紹利用MATLAB程序設計數字濾波器的方法。 利用脈沖響應不變法設計數字Butterworth濾波器設計模擬低通巴特沃斯濾波器，通帶紋波為Rp1dB，通帶上限角頻率Wp=0.2，阻帶下限角頻率Ws=0.3，阻帶最小衰減As=15dB,根據該低通模擬濾波器，利用沖擊響應不變法設計相應的數字低通濾波器，并畫出設計后的數字低通濾波器的特性曲線。MATLAB程序如下：%脈沖響應不變法clear all;wp=0

22、.2*pi;ws=0.3*pi;Rp=1;As=15;T=1;%性能指標Rip=10(-Rp/20);Atn=10(-As/20);OmgP=wp*T;OmgS=ws*T;N,OmgC=buttord(OmgP,OmgS,Rp,As, 's'); %選取模擬濾波器的階數cs,ds=butter(N,OmgC, 's'); %設計出所需的模擬低通濾波器 b,a=impinvar(cs,ds,T); %應用脈沖響應不變法進行轉換 %求得相對、絕對頻響及相位、群延遲響H,w=freqz(b,a,500);%500點的復頻響應mag=abs(H);db=20*log10

23、(mag/max(mag);pha=angle(H);grd=grpdelay(b,a,w); %繪出各條曲線subplot(2,2,1);plot(w/pi,mag);title('幅頻特性');xlabel('w(/pi) ');ylabel('|H(jw)| ');axis(0,1,0,1.1);set(gca, 'XTickMode', 'manual', 'XTick',0 0.2 0.3 0.5 1);set(gca, 'YTickMode', 'manual&#

24、39;, 'YTick',0 Atn Rip 1);gridsubplot(2,2,2);plot(w/pi,db);title('幅頻特性(dB) ');xlabel('w(/pi) ');ylabel('dB');axis(0,1,-40,5);set(gca, 'XTickMode', 'manual', 'XTick',0 0.2 0.3 0.5 1);set(gca, 'YTickMode', 'manual', 'YTick'

25、;,-40 -As -Rp 0);grid subplot(2,2,3);plot(w/pi,pha/pi);title('相頻特性');xlabel('w(/pi) ');ylabel('pha(/pi) ');axis(0,1,-1,1);set(gca, 'XTickMode', 'manual', 'XTick',0 0.2 0.3 0.5 1);gridsubplot(2,2,4);plot(w/pi,grd);title('群延遲');xlabel('w(/pi)

26、 ');ylabel('Sample');axis(0,1,0,12);set(gca, 'XTickMode', 'manual', 'XTick',0 0.2 0.3 0.5 1);grid程序的運行結果如圖4所示。圖4 利用脈沖響應不變法設計的數字低通濾波器的特性曲線 利用雙線性變換法設計數字 Chebyshev濾波器利用雙線形變換法，設計一個切比雪夫型低通數字濾波器，要求在通帶內頻率低于0.2rad時，允許幅度誤差在1dB以內，在頻率0.3rad到rad之間的阻帶內衰減大于15dB。MATLAB程序如下：clear

27、 all;Wplp=0.2*pi; %低通數字通帶頻率Wslp=0.3*pi; %低通數字阻帶頻率Ap=1;As=15;T=1;Omegap=(2/T)*tan(Wplp/2);Omegas=(2/T)*tan(Wslp/2);if Omegap<=0 erorr('通帶邊緣必須大于0')endif Omegas<=Omegap erorr('阻帶邊緣必須大于通帶邊緣')endif(Ap<=0)|(As<=0) erorr('通帶波動或阻帶衰減必須大于0')endep=sqrt(10(Ap/10)-1);A=10(As/2

28、0);OmegaC=Omegap;OmegaS=Omegas/Omegap;g=sqrt(A*A-1)/ep;N=ceil(log10(g+sqrt(g*g-1)/log10(OmegaS*OmegaS-1);z,p,k=cheb1ap(N,Ap);ds=real(poly(p);dsNn=ds(N+1);p=p*OmegaC;ds=real(poly(p);dsNu=ds(N+1);k=k*dsNu/dsNn;b0=k;B=real(poly(z);cs=k*B; blp,alp=bilinear(cs,ds,T); %雙線形Z變換Wphp=0.6*pi;alpha=(cos(Wplp+Wp

29、hp)/2)/(cos(Wphp-Wplp)/2);H,w=freqz(blp,alp,500); %500點的復頻響應mag=abs(H);db=20*log10(mag/max(mag);pha=angle(H);grd=grpdelay(blp,alp,w); %數字低通濾波器響應subplot(2 2 1); %繪出各條曲線plot(w/pi,mag);title('數字低通濾波器幅頻響|H(ejOmega)| ')xlabel('w(/pi) ');ylabel('|H(jw)| ');axis(0,1,-0.1,1.1);grid o

30、nsubplot(2 2 2);plot(w/pi,db);title('數字低通濾波器幅頻響(dB) ')xlabel('w(/pi) ');ylabel('dB');axis(0,1,-40,2);grid onsubplot(2,2,3);plot(w/pi,pha/pi);title('數字低通濾波器相頻特性');xlabel('w(/pi) ');ylabel('pha(/pi) ');axis(0,1,-1,0.2);grid onsubplot(2,2,4);plot(w/pi,grd

31、);title('數字低通濾波器群延遲');xlabel('w(/pi) ');ylabel('Sample');axis(0,1,0,4);grid on該數字濾波器的幅頻特性曲線如圖5所示。 利用雙線性變換法設計數字低通濾波器使用雙線性變換法設計一個低通數字濾波器，給定的數字濾波器的技術指標為fp=100Hz,fs=300Hz, =3dB, =20dB,抽樣頻率為Fs=1000Hz。MATLAB程序如下所示。 clear all;fp=100;fs=300;Fs=1000;rp=3;rs=20;%wp=2*pi*fp/Fsws=2*pi*fs

32、/Fs;Fs=Fs/Fs;%firstly to finish frequency prewarping;wap=tan(wp/2);was=tan(ws/2);n,wn=buttord(wap,was,rp,rs,'s')%Note:'s'!z,p,k=buttap(n);bp,ap=zp2tf(z,p,k)bs,as=lp2lp(bp,ap,wap)%Note:s=(2/Ts)(z-1)(z+1);Ts=1,that is 2fs=1,fs=0.5;bz,az=bilinear(bs,as,Fs/2)h,w=freqz(bz,az,256,Fs*1000);plot(w,abs(h);grid on;圖5 利用雙線形變換法設計