1、求點到平面距離的基本方法北京農(nóng)大附中閆小川求點到平面的距離是立體幾何中的一個基本問題，是高考的一個熱點，也 是同學學習中的一個難點.本文通過對一道典型例題的多種解法的探討，概括出 求點到平面的距離的幾種基本方法.例 （2005年福建高考題）如圖1,直二面角D AB E中，四邊形ABCD 是邊長為2的正方形，AE EB, F為CE上的點，且BF 平面ACE .（I）求證：AE 平面BCE;（11）求二面角8 AC E的大小；（田）求點D到平面ACE的距離.圖1圖2（I ）、（ H）解略，（田）解如下:、直接法2, A利用兩個平面垂直，直接作出點到平面的距離.如圖l , AMl ,則AM . AM

2、為點A到平面 的距解：如圖3,過點A作AG0EC ,連結(jié)DG ,CG ,則平面ADG /平面BCE ,平面BCE 平面ACE,平面ADG 平面ACE ,作DH AG,垂足為H ,則DH 平面ACE. DH是點D到平面ACE的距離.在RtADG中，DH 鬻 鬻等圖3二、平行線法如圖4, A l , l /,8為1上任意一點，AM , BN ，則AM BN.點A到平面的距離轉(zhuǎn)化為平行于平面 的直線l到平面的距離，再轉(zhuǎn)化為直 線l上任意一點B到平面 的距離.解：如圖5,/平面ACE ,點D到平面ACE的距離轉(zhuǎn)化為直線 DM到平面ACE的距離，再轉(zhuǎn)化為點 M到平面ACE的距離.作MN CE,垂足為N,

3、平面CEM 平面ACE,:MN是點M到平面ACE的距離.在 Rt CEM 中，MNEM CM 2 22 33,一 6CE圖5三、斜線法利用平面的斜線及三角形相似，轉(zhuǎn)化為求斜線上的點到平面的距離 .如圖AO6、7, l O,A,B l, AM , BN ,若 t,則 AM t BN .點 A到 BO平面 的距離轉(zhuǎn)化為求直線l上的點B到平面 的距離.圖6圖7解：如圖8, BD與AC的交點為Q,即BD 平面ACE Q,v DQ BQ ,.二點D到平面ACE的距離與點B到平面ACE的距離相等.平面BCE 平面ACE , BF 平面ACE ,. BF是點B到平面ACE的距離.在 Rt BCE 中，BFB

4、C BE 2 22 3CE 、63圖8四、線面角法如圖9, OP為平面 的一條斜線，A OP,OA l,OP與 所成的角為， A到平面 的距離為d ,則由斜線和平面所成的角的定義可知，有 d lsin .經(jīng)過OP與 垂直的平面與 相交，交線與OP所成的銳角就是OP與 所成 的角，這里并不強求要作出A在 上的射影B,連結(jié)OB得.圖9解：如圖10, = BF 平面ACE ,平面BDF 平面ACE ,BQF為DQ與平面ACE所成的角為，則點D到平面ACE的距離 d DQ sin由（H ）知二面角B AC E的正弦值為 立,得sin3D到平面ACE的距離d 正-62-3圖10五、二面角法如圖11, l

5、 ,、 所成二面角的大小為，A , AB l , AB a,點A到平面 的距離AO d ,則有d asin .也就是二面角的大小，而不強 求作出經(jīng)過AB的二面角的平面角.解：如圖12,二.平面ACD 平面ACE AC,DQ 平面 ACD , DQ AC ,設二面角D AC E的大小為，則點D到平面ACE的距離d DQsin由（H ）知二面角B AC E的正弦值為3D到平面ACE的距離d 6圖12六、體積法解：如圖13,過點E作EO AB交AB于點O,OE二面角D AB E為直二面角， EO，平面 ABCD.設D到平面ACE的距離為h , Vd ace Ve acd，11 二 s ace h -

6、 S ACD EO.33AE 平面BCE , . AE EC.1 八 _1h萬池dc eo2 2 1通-AE EC 12632 2.二點D到平面ACE的距離為經(jīng).3E圖14|AD n| |n|七、向量法解：如圖14,以線段AB的中點為原點O, OE所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，過。點平行于AD的直線為z軸，建立空間直角坐標系O xyz ,AE 平面BCE , BE 平面BCE , AE BE ,在Rt AEB中,AB 2,0為AB的中點，0E 1,. A(0, 1,0),E(1,0,0),C(0,1,2).AE (1,1,0), AC (0,2,2).設平面ACE的一個法向量為n (x, y, z),則 AE n 0,即 x y 0, AC n 0, 2y 2z 0.解得y X, z x.令x 1,得n (1, 1,1)是平面ACE的一個法向量.ADz AD 2 AD (0,0,2) ACE d