1、建筑構造函數法證明不等式的八種方法1、利用導數研究函數的單調性極值和最值，再由單調性來證明不等式是函數、導數、不等式綜合 中的一個難點，也是近幾年高考的熱點。2、解題技巧是構造輔助函數，把不等式的證明轉化為利用導數研究函數的單調性或求最值，從而證得不等式，而如何根據不等式的結構特征構造一個可導函數是用導數證明不等式的關鍵。以下介紹構造函數法證明不等式的八種方法：一、移項法構造函數【例1】已知函數f(x) ln(x 1) x,求證：當x 1時，恒有,11 ln(x 1) xx 1分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數證明，左邊構造函數1 g(x) ln(x 1) 1,從其導數入手即可證明。

2、x 1_ - -1x【解】f (x)1x 1 x 1當1 x 0時，f (x) 0,即f(x)在x ( 1,0)上為增函數當x 0時，f (x) 0,即f(x)在x (0,)上為減函數故函數f (x)的單調遞增區間為(1,0),單調遞減區間(0,)于是函數f(x)在(1,)上的最大值為f (x)max f(0) 0 ,因此，當x 1時，f (x) f (0) 0,即 ln(x 1) x 0 ln(x 1) x (右面得證), _ .1_11x現證左面，令 g(x) ln(x 1) 1, 則g (x) 2 2x 1x 1 (x 1) (x 1)當 x ( 1,0)時,g (x) 0;當x (0,

3、)時,g (x) 0 ,即g(x)在x ( 1,0)上為減函數，在x (0,)上為增函數，故函數g(x)在(1,)上的最小值為g (x) min g(0) 0, 一一 一1 一當 x 1 時，g(x) g(0) 0,即 ln(x 1) 1 0x 11 一， ，1 ln(x 1) 1 ,綜上可知，當 x1 時，有 1 ln(x 1) xx 1x 1【警示啟迪】如果 f(a)是函數f(x)在區間上的最大(小)值，則有 f(x) f(a)(或f (x) f(a), 那么要證不等式，只要求函數的最大值不超過0就可得證.2、作差法構造函數證明1 2 23【例2】已知函數f(x) -x ln x.求證：在

4、區間(1,)上，函數f(x)的圖象在函數g(x) x的23圖象的下方；分析：函數f(x)的圖象在函數g(x)的圖象的下方 不等式f(x) g(x)問題，12.2312.23,、 、一即一x ln x - x ,只需證明在區間(1,)上，恒有一x ln x - x 成立，設2323，1F(x) g(x) f (x) , x (1,),考慮到 F(1) 06要證不等式轉化變為：當x 1時，F(x) F(1),這只要證明：g(x)在區間(1,)是增函數即可。2cle【解】設 F(x) g(x) f(x),即 F(x) 2x3 1x2 ln x,32221 (x 1)( 2x x 1)F (x) 2x

5、 x -=-xx1 時，F (x) = (x 1)(2x一x-J) x 1從而F(x)在(1,)上為增函數，F(x) F(1) - 06，當 x 1 時 g(x) f (x) 0,即 f(x) g(x),2 3故在區間(1,)上，函數f(x)的圖象在函數g(x) -x的圖象的下方。3【警示啟迪】本題首先根據題意構造出一個函數(可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設為函數) 并利用導數判斷所設函數的單調性，再根據函數單調性的定義，證明要證的不等式。讀者也可 以設F(x) f (x) g(x)做一做，深刻體會其中的思想方法。3、換元法構造函數證明111【例3】(2007年，山東卷)證明：對任意的正

6、整數n,不等式ln( 1) 都成立.23n n n1 八，分析：本題是山東卷的第(II )問，從所證結構出發，只需令 一 x ,則問題轉化為：當 x 0時, n恒有 ln( x 1) x2x3成立，現構造函數 h(x) x3 x2ln(x 1),求導即可達到證明。第7頁共6頁【解】令 h(x) x3 x2 ln(x 1),3x22x323x (x 1)在 x(0,所以函數h(x)在(0,)上單調遞增,x (0,)時，恒有 h(x) h(0)0,即 x3 x2 ln(x 1) 0, ln(x 1) x2 x3一 一一，1一，111對任意正整數n,取x (0,),則有ln(1)-2-3nn nn【

7、警示啟迪】 我們知道，當F(x)在a,b上單調遞增，則xa時,有F (x)F(a).如果 f(a) =(a),要證明當x a時，f (x)(x),那么，只要令F(x)= f (x)-(x),就可以利用F(x)的單調增性來推導.也就是說，在F(x)可導的前提下，只要證明F(x)0即可.4、從條件特征入手構造函數證明【例4】若函數y= f (x)在R上可導且滿足不等式 x f (x) f (x)恒成立，且常數 a, b滿足ab,求 證：.a f (a) b f (b)【解】由已知 x f (x)+f(x)0，構造函數 F (x) xf (x),則F (x)x f (x) + f (x) 0,從而F

8、 (x)在R上為增函數。a bF(a) F(b)即 a f (a)b f (b)【警示啟迪】由條件移項后xf (x) f (x),容易想到是一個積的導數，從而可以構造函數 F(x) xf(x),求導即可完成證明。 若題目中的條件改為 xf (x) f(x),則移項后xf (x) f(x),要想到 是一個商的導數的分子，平時解題多注意總結。5、主元法構造函數例.(全國)已知函數 f (x) ln(1 x) x,g(x) xln x(1)求函數f(x)的最大值；a b、(2)設 0 a b,證明：0 g(a) g(b) 2g() (b a)ln 2.2分析：對于(II )絕大部分的學生都會望而生畏

9、.學生的盲點也主要就在對所給函數用不上.如果能挖掘一下所給函數與所證不等式間的聯系，想一想大小關系又與函數的單調性密切相關，由此就可過渡到根 據所要證的不等式構造恰當的函數，利用導數研究函數的單調性，借助單調性比較函數值的大小，以期 達到證明不等式的目的.證明如下：證明：對 g(x) x ln x 求導，則 g(x) ln x 1.，.a b在g(a) g(b) 2g()中以b為王變兀構造函數，2設 F(x) g(a) g(x) 2g(ayx)，則 F(x) g(x) 2g(ayx) In x In ayx .、，.一 ，、一 當0 x a時，F (x) 0,因此F(x)在(0,a)內為減函數

10、. 當x a時，F (x) 0,因此F(x)在(a,)上為增函數.從而當x a時，F(x)有極小值F(a).因為 F(a) 0,b a,所以 F(b) 0,即 g(a) g(b) 2g(-ab) 0. 2又設 G(x) F(x) (x a)ln2.則g(x) ln x ln a 2 x ln 2 ln x ln(a x).當x 0時，G (x) 0 .因此G(x)在(0,)上為減函數 因為 G 0,b a,所以 G(b) 0,即 g(a) g(b) 2g(ab) (b a)ln 2 .26、構造二階導數函數證明導數的單調性例.已知函數f (x) aex 1 x22若f(x)在R上為增函數，求a

11、的取值范圍；(2)若 a=1,求證:x 0 時,f(x)1+x解：(1)f (x) = aex x , f (x)在R上為增函數，f (x) 0對*611恒成立，即a x e 對x C R恒成立記 g(x)=xe x，貝 Ug (x) = cxxc =(1-x)e x ,當 xl 時，g (x)VO,當 xVl 時，g (x)0.知g (x)在(-8,1)上為增函數，在(1,+ oo)上為減函數，1- g(x)在 x=1 時，取得最大值，即 g(x)max=g(1)=1/e,. . a 1/e,即a的取值范圍是1/e, +8)x 12(2)記 F(X)=f(x)-(1+x) = ex x2 1

12、 x(x 0)2則 F (x)=e x-1-x,令 h(x)= F (x)=e x-1-x,則 h (x)=e x-1當 x0 時，h (x)0, h(x)在(0,+ 8)上為增函數,又 h(x)在 x=0 處連續，h(x)h(0)=0即F (x)0 , F(x)在(0,+ oo)上為增函數，又F(x)在x=0處連續， F(x)F(0)=0,即 f(x)1+x .小結：當函數取最大(或最小)值時不等式都成立，可得該不等式恒成立，從而把不等式的恒成立問題 可轉化為求函數最值問題.不等式恒成立問題，一般都會涉及到求參數范圍，往往把變量分離后可以轉 化為mf(x)(或m f(x)恒成立，于是 m大于

13、f(x)的最大值(或 m小于f(x)的最小值)，從而把不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題.因此，利用導數求函數最值是解決不等式恒成立問題的一 種重要方法.7.對數法構造函數(選用于哥指數函數不等式)1 11 x例：證明當x 0時,(1 x) x e 2證明 對不等式兩邊取對數得(與皿1 EI化筒為 2(1+x) 0 (x 0)1 * *由定理之知在小g)上嚴格單調增加.從而r(o)=o (xo)又由在。+ + )上連續，且(G 。得隈黑)在o,上嚴珞單調增加,所以“工)f(0) =0(x0),即2i +- 2(1 +x)la(l 0t2x + x3 2(1 4i)ln(l +工)故(l+j

14、+ji 吟(i0)8.構造形似函數例：證明當b a e,證明ab ba分析此髭目具有薜指遹數形式,對不拿式兩邊分別取時數得舊用而，整理為1世 1nb,在此恭批上根據形似”構造輔助函數f(K)工!尿,再根據函數的睢調性證明之.證明 不等式兩邊取對數得bl皿Aihib.可化為占的=1命. a b令f(K)眼然口外在(七,)內連續井可導.f(i) = - Xinx + - -1 - Jnx) e)XX , K由定理用r(x)在+b 內為嚴格單調遞減.由 b8ef(a f( b.所以L】na% alnb.a b故 J Ab”例：已知mn n都是正整數，且1 m n,證明：(1 m)n (1 n)m證明

15、康不等式/價心“*句”+-),令nth二1土當心2,則/ n) =: _ 山- M + 切 f(n).即(】十iH) r (1+打/成立.【思維挑戰】1、(2007年，安徽卷)設 a 0, f(x) x 1 ln2 x 2aln x求證：當x 1時，恒有x In 2x 2aln x 1,5 a2 3a2 In a, 22、(2007年，安徽卷)已知定義在正實數集上的函數f(x) -x2 2ax, g(x) 3a2 In x b,其中 a0，且 b 2求證：f (x) g(x)x3、已知函數f(x) ln(1 x) ,求證：對任意的正數 a、b,1 xb恒有 ln a ln b 1.a4、(20

16、07年，陜西卷)f(x)是定義在0, +00)上的非負可導函數，且滿足 xf (x)f(x)& 0,對任意正數a、b,若a b,則必有(A) af ( b) bf (a)(B) bf (a) af ( b)(C) af (a) f【答案咨詢】(b)(D) bf ( b) w f (a)1、提示：f (x)1, a 0時，不難證明2ln xf (x) f(x)0,即 f (x)在(0, f (1) 0 , 當 x)內單調遞增，故當1時，恒有x ln2、提示：設F(x)1g(x) f(x) 2x2ax 3a 21nx(X a)(x 3a)(x 0)x故F(x)在(0,a)上為減函數，在值是 F(a) f(a) g(a) 0,(a,故當x3、提示：函數f(x)的定義域為(1,) , f (x)x1時，2alnx 1b 則 F (x) xa 時，F (x)上為增函數，于是函數0時，有f (x) g(x)1(1 x)22a0,F(x)(1 x)23a2在(0,)上的最小 g(x)(1,0)上為減函數當 1 x 0 時，f (x) 0,即 f(x)在 x當