1、第9章 多元函數微分法及其應用本章討論多元函數的微分學多元函數的基本概念、理論和方法與一元函數中的概念、理論、方法有很多相似之處只是由于自變量的增加，而使問題變得多樣和復雜些我們將著重以二元函數為例討論多元函數其理由有二：（1）從一元函數到二元函數，在內容和方法上會有一些實質性的差別和變化，而從二元函數到三元函數乃至一般的元函數，只是形式上的不同，沒有本質的區別，掌握了二元函數的相關理論和方法后，很容易將其推廣到一般的多元函數中去；（2）二元函數有直觀幾何幫助思考，而多于二元的函數再也沒有直觀幾何。我們必須時時注意多元函數與一元函數有哪些相似之處和哪些本質差別。熟練二元，推廣到元。本章必需上冊

2、一元函數的極限、連續與間斷、導數、微分基礎知識和求導方法請同學們務必認真復習。第1節 多元函數的基本概念1.1點集我們知道，數軸上的點與實數一一對應，直角坐標系下，平面上的點與二元坐標一一對應，空間中的點與三元坐標一一對應。數軸是，稱為1維空間；平面是，稱為2維空間；空間是，稱為3維空間表示全體元坐標的集合，即，稱為維空間，其中每個元坐標都稱為一個（維）點我們把維向量也寫為。表示維點還是維向量，要看上下文。兩個維向量相加（減）還是對應坐標相加（減）；數乘維向量還是乘遍每個坐標。維空間的兩點，間的距離為，稱為維向量的模1.2鄰域設。點集稱為點的圓鄰域。是以點為中心，為半徑，去掉圓周的圓盤點集稱為

3、的去心圓鄰域點集稱為點的方鄰域點集稱為的去心方鄰域推廣到維空間：設。點的圓鄰域；的去心圓鄰域：；的方鄰域：；的去心方鄰域：容易看出，點的任一圓鄰域一定包含某個方鄰域；反之，任一個方鄰域也一定包含一個圓鄰域通常說鄰域是指的圓鄰域思考題：1集合與, 是否相同？（見右圖。）。1.3內點、外點、邊界點、聚點我們來考察點與點集的關系設。觀察右圖，看看點有什么不同的本質。1點：若存在點的某鄰域使。這樣的點稱為點集的內點的全部內點構成的集合記為或2點：存在點的某鄰域使。這樣的點稱為點集的外點 3點：在點的任一鄰域內，既有屬于的點，又有不屬于的點，即：。這樣的點稱為點集E的邊界點點集的全體邊界點的集合稱為的邊

4、界，記為4聚點：若的任一去心鄰域內，總含有屬于集合的點，即，則稱點P為點集的聚點的全部聚點記為5孤立點：若，且不是的聚點，即存在P的某鄰域，使，則稱點P為的孤立點顯然有：；，且右端三個集合互不相交集合的內點必是聚點，外點一定不是聚點；而邊界點可能是聚點，也可能不是聚點；孤立點一定是邊界點，非孤立點的邊界點一定是聚點例如，。若，則P為E的內點；若或，則P為的邊界點，也是聚點；但為的孤立點、邊界點，不是聚點以上全部內容都可推廣到維空間。1.4區域、閉區域觀察右圖，看看點集有什么不同的本質。點集：的點都是的內點。這樣的點集稱為開集點集：的余集（）是（中的）開集。即包含自己的全部聚點。這樣的點集稱為閉

5、集稱集合的全部聚點為集合的閉包點集：不開不閉例如：為中閉集，為中開集， 既不是中開集，也不是中閉集關于開集和閉集，有如下結論定理1.1 (1) 空集與全集是開集；任意多個開集之并為開集；有限多個開集之交為開集 (2) 空集與全集是閉集；有限多個閉集之并為閉集；任意多個閉集之交為閉集3有界集：設。若存在一定點又存在，使得，有，則稱是有界集，否則稱是無界集有界集可以包含在某個大圓盤內，無界集則不可以。4區域：設D是中的一個開集，如果對D中的任意兩點P1,P2，都可用D內的一條折線 (由有限條直線段連接起來的連續曲線) 將P1與P2連接起來，則稱D是一個連通的開集連通的開集稱為開區域，簡稱為區域如果

6、區域D中的任一條閉曲線所包圍的點都屬于D，則稱區域D為單連通區域，否則稱D為復連通區域5閉區域：區域與它的邊界一起所構成的集合，稱為閉區域連通不連通單連通復連通如：是閉區域；是開區域；是閉集，但不是閉區域；是開集，但不是開區域思考題：2無限多個開集之交是否一定為開集；無限多個閉集之并是否一定為閉集（不一定。例如，。）3設，試指出其邊界點及聚點（邊界；聚點集。）以上全部內容都可推廣到維空間。1.5*平面點列的極限一列無窮無盡的平面點 （1.1）稱為平面上的一個點列，記為。定義 設是平面上的點列，定點。如果對于任意給定的正數，總存在，當時，恒有，則稱點為點列的極限記作 或 ，或上面定義的意思是：。

7、定理1.2 平面點列收斂于的充分必要條件是：對應的坐標數列，分別收斂于即證必要性設，當時，有，于是，充分性設，則對，當時，有；，當時，有取，當時，故以上全部內容都可推廣到維空間。根據定理1.2，點列的極限可以轉化為若干數列的極限。點列的極限再沒有新的內容。*定理1.3(柯西收斂定理)平面點列收斂的充分必要條件是：對，當時，有證明略去【例1.1】 證明：是的聚點的充分必要條件是：存在的點列，證充分性若存在，則對，當時，又，故在的任一去心鄰域中都含有中的點，所以是的聚點必要性若是的聚點，則對，令，則存在，令，則存在；且顯然，如此下去，令，則存在，。我們得到了點列，因此1.6多元函數一元函數是實數集

8、到實數集的映射。類似地，多元函數是多維空間中點集到實數集的映射。下面我們以二元函數為例，討論其性質所有內容和結果都可以推廣到二元以上的函數中去定義1.1設是的一個非空子集。從到實數集的一個映射f稱為定義在上的一個二元函數，記作 或 ，定義1.1 設是的一個非空子集，為實數集，是與之間的對應法則。如果對于中的每一個點，按照對應法則f，在中有唯一一個實數z與對應，則稱在上定義了一個二元函數，記作：，稱為函數在點的值。其中稱為函數f的自變量，z稱為函數f的因變量，稱為f的定義域類似地，定義1.2設是的一個非空子集。從到實數集的一個映射f稱為定義在上的一個三元函數，記作 或 ，定義1.2 設是的一個非

9、空子集，為實數集，是與之間的對應法則。如果對于中的每一個點，按照對應法則f，在中有唯一一個實數與對應，則稱在上定義了一個三元函數，記作：，稱為函數在點的值。其中稱為函數f的自變量，u稱為函數f的因變量，稱為f的定義域以上全部內容都可推廣到元。定義1.n設是的一個非空子集。從到實數集的一個映射f稱為定義在上的一個n元函數，記作 或 ，定義1.n 設是的一個非空子集，為實數集，是與之間的對應法則。如果對于中的每一個點，按照對應法則f，在中有唯一一個實數與對應，則稱在上定義了一個n元函數，記作：或稱為函數在點的值。其中稱為函數f的自變量，y稱為函數f的因變量，稱為f的定義域二元函數的圖像為3維空間中

10、的點集：，它表示的是三維空間中的一張曲面。曲面在點的高正好是，曲面在面上的投影正好是函數的定義域可見，二元函數有幾何直觀幫助思考。二元以上的函數稱為多元函數。與一元函數類似，多元函數也有三種表示方法。由某個解析式表示的多元函數的（自然）定義域是所有使算式有意義的自變量的點所構成的集合例如：函數的定義域為；函數的定義域為與一元函數類似，多元函數也可進行四則運算，也有復合函數。多元基本初等函數：各種各樣自變量的一元基本初等函數。例如，等等。多元初等函數：基本初等函數進行有限次四則運算或復合的結果函數。多元函數的復合函數有多種情形。例如，（1）如果，則有結果是一元的復合函數。（2）如果，則有結果是二

11、元的復合函數。（3）如果，則有復合函數。（4）如果，則有結果是四元的復合函數。等等。設，是的函數時我們畫圖是的函數時我們畫圖是的函數時我們畫圖結果復合函數的圖如下 根據函數結構畫出來的這種圖稱為函數圖（一棵橫放的樹）。上圖中，函數稱為函數圖的根；有五個葉子；從一個葉子到根的路線稱為一條路徑（上函數圖中共有五條路徑：）。思考題：4設為二元函數，試問（a為常數）能否寫為？（不能。）5與是否相等？（不等。）6與是否表示同一函數？為什么？（不同。定義域不一樣。）7設；問它們是否為的二元函數？（是。）習題9-1A類*1設集合，問點，分別為集合的什么點？*2求下列集合的內點，外點，邊界點(1) ；(2)

12、；(3) 3判斷下列集合中，哪些是開集，閉集，有界集及區域并指出其聚點和邊界點(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；*(5) 4求下列函數的定義域：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 5求解下列各題(1) 設，求(2) 設，求(3) 設，若，求6設若當時，求函數和7設，求B類*證明：閉區域必為閉集舉例說明反之不成立*試仿照中點的鄰域的定義，寫出中點的鄰域的定義*給維空間的每一個元賦予范數后，稱為歐幾里得(Euclid)空間，其范數稱為向量的歐幾里得長度試證，范數有下列性質：(1) ；(2) ；(3) (三角不等式)第2節多元函數的極限及連續性2.1多元函數的極限下面我們以二元函數為例，給出

13、多元函數的極限的概念定義2.1設是定義在上的一個二元函數，是的聚點，是固定的常數。如果對于任意給定的，只要，就保證則稱為函數當點趨于時的極限，記作或，也記為注意：稱此極限為二重極限注 二重極限的定義也可表示為：，當（或當，且）時， 對于多元函數的極限，由于點的鄰域是一個平面點集，點趨近于點時，可沿鄰域內的任意曲線。因此，二重極限存在的充分必要條件是：當點在鄰域內以任何方式趨近于時，都以常數為極限如果找到點在鄰域中以兩種不同的方式趨近于時，趨近于不同的常數，則便可斷定在點處極限不存在（證明極限不存在的方法?。┑囊饬x有二：（1）左邊極限存在；（2）等號成立。 一元函數的極限運算法則可平行地推廣到二

14、元函數的極限運算上來定義2.n設是定義在上的一個n元函數，是的聚點，是固定的常數。如果對于任意給定的，只要，就保證則稱為函數當點趨于時的極限，記作或，也記為注意：思考題：1二元函數極限的定義對于是函數定義域的邊界點的情形是否適用？（是。）2對于二元函數來說，當沿任意直線趨近于時，極限值都存在且相等，問是否存在？（不一定。）【例2.1】 用定義驗證解，取，當時，故草稿：因為，所以，【例2.2】 求極限解因為，所以（題目：給定，求。方法總結：把一組東西看作一個整體，變為一元函數求極限。）【例2.3】 討論極限是否存在解考慮，即讓動點沿直線趨近于原點，因，故當點沿直線趨近于原點時，函數趨近于數，此值

15、與的取值有關，即當取不同的值時，函數趨近于不同的常數，故當時，函數的極限不存在（令，時 ，此時，與有關，故不存在）（題目（考點）：給定，證明不存在。方法總結：湊一個函數（比如說經常），如果且與有關，則不存在。）思考題：3運算正確嗎？（不對。時可能是異號的無窮大。當（不一定非得）時，不存在。）4因為不存在，所以不存在，對嗎？（不對。時，是無窮小而有界，所以存在。）*（泥潭！）2.2* 二次極限如果對于任意的，進一步，若存在，則稱它為先，后時的二次極限（也稱為累次極限），記為同樣可定義先，后時的二次極限：如果對于任意的，進一步，若存在，則稱它為先，后時的累次極限記為二次極限與二重極限的關系：1二次

16、極限與二重極限是完全不同的極限概念，二重極限的存在，不能保證二次極限存在；兩個二次極限都存在，也不能保證二重極限存在2若，且對任意，存在，則即若，且對任意，存在，則即若，且及存在，則3若兩個二次極限存在，但不相等，則二重極限不存在【例2.4】 討論函數下列函數在點處的二重極限與二次極限(1) ；(2) ；(3) ；(4) 解(1) 因；，故不存在(2) 顯然不存在，也不存在，即兩個二次極限不存在，故也不存在(3) 因不存在，故不存在；因為，故且(4) 顯然，而不存在，故不存在，所以不存在；同理不存在因，故【例2.5】 證明：對于函數，有：，而不存在證因，故，同理另一方面，若令，若令，則，故不存

17、在2.3多元函數的連續性讓自變量分別有增量，引起函數有全增量容易看出我們給二元函數在一點連續的定義如下定義2.2設是定義在上的二元函數，是的聚點且，如果，則稱函數在點連續，稱為函數的連續點；否則稱在是間斷的，稱為函數的間斷點函數在一點的連續性也可用“”語言描述：如果函數在內的每一點都連續，則稱在內連續，或稱為中的連續函數若區域是閉區域，則當在內的每一點都連續，且對于邊界上的點滿足，則稱在閉區域上是連續的定義2.2設是定義在上的二元函數，是的聚點且若在處，自變量各自取得增量，則相應的函數取得增量，若，則稱為函數的連續點定義2.n設是定義在上的n元函數，是的聚點且，()如果，則稱函數在點連續，稱為

18、函數的連續點；否則稱在是間斷的，稱為函數的間斷點函數在一點的連續性也可用“”語言描述：如果函數在內的每一點都連續，則稱在內連續，或稱為中的連續函數若區域是閉區域，則當在內的每一點都連續，且對于邊界上的點滿足，則稱在閉區域上是連續的對于多元函數，除可能存在間斷點外，還可能存在間斷線，間斷面等多元連續函數的運算法則及多元函數的連續性與一元函數相同：多元連續函數的和、差、積、商（分母函數不為零處）仍是連續函數，多元連續函數的復合函數也仍是連續函數多元初等函數在其定義域內是連續的（題目（考點）：給定，證明在不連續。方法總結：湊一個函數（比如說），如果且與有關，則不存在，從而在不連續。）下面我們不加證明地給出有界閉區域上的多元連續函數的幾個性質，其分別與有界閉區間上的一元連續函數的性質相對應：定理2.1(有界性)有界閉區域上的多元連續函數在此閉區域上是有界的定理2.2(最大值最小值定理) 有界閉區域上的多元連續函數在此區域上必存在最大值和最小值定理2.3(介值定理) 有界閉區