1、.觀察歸納猜想找規(guī)律給出幾個(gè)具體的、特殊的數(shù)、式或圖形，要求找出其中的變化規(guī)律，從而猜想出一般性的結(jié)論.解題的思路是實(shí)施特殊向一般的簡(jiǎn)化；具體方法和步驟是：（1）通過(guò)對(duì)幾個(gè)特例的分析，尋找規(guī)律并且歸納；（2）猜想符合規(guī)律的一般性結(jié)論；（3）驗(yàn)證或證明結(jié)論是否正確,下面通過(guò)舉例來(lái)說(shuō)明這些問(wèn)題.一、數(shù)字類(lèi)基本技巧（一）標(biāo)出序列號(hào)：例如，觀察下列各式數(shù)：0，3，8，15，24，。我們把有關(guān)的量放在一起加以比較：給出的數(shù)：0，3，8，15，24，。序列號(hào)： 1，2，3， 4， 5，。容易發(fā)現(xiàn)，已知數(shù)的每一項(xiàng)，都等于它的序列號(hào)的平方減1。因此，第n項(xiàng)是-1（二）公因式法：每位數(shù)分成最小公因式相乘，然后再

2、找規(guī)律，看是不是與n,或2n、3n有關(guān)。例如：1，9，25，49，（81），（121），的第n項(xiàng)為（），1，2，3，4，5。，從中可以看出n=2時(shí)，正好是2×2-1的平方,n=3時(shí)，正好是2×3-1的平方，以此類(lèi)推。 （三）增副A： 2、9、28、65.增幅是7、19、37.，增幅的增幅是12、18答案與3有關(guān)且是n的3次冪，即：n+1B：2、4、8、16.增幅是2、4、8. .答案與2的乘方有關(guān)即：（四）有的可對(duì)每位數(shù)同時(shí)減去第一位數(shù)，成為第二位開(kāi)始的新數(shù)列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位數(shù)與位置的關(guān)系。再在找出的規(guī)律上加上第一位數(shù)，恢復(fù)到原來(lái)。例：2、5、10

3、、17、26，同時(shí)減去2后得到新數(shù)列： 0、3、8、15、24，序列號(hào)：1、2、3、4、5，從順序號(hào)中可以看出當(dāng)n=1時(shí)，得1*1-1得0，當(dāng)n=2時(shí)，2*2-1得3，3*3-1=8，以此類(lèi)推，得到第n個(gè)數(shù)為。再看原數(shù)列是同時(shí)減2得到的新數(shù)列，則在的基礎(chǔ)上加2，得到原數(shù)列第n項(xiàng)（五）有的可對(duì)每位數(shù)同時(shí)加上，或乘以，或除以第一位數(shù)，成為新數(shù)列，然后，在再找出規(guī)律，并恢復(fù)到原來(lái)。例 ： 4，16，36，64，.，144，196， .（第一百個(gè)數(shù)）同除以4后可得新數(shù)列：1、4、9、16，很顯然是位置數(shù)的平方，得到新數(shù)列第n項(xiàng)即n，原數(shù)列是同除以4得到的新數(shù)列，所以求出新數(shù)列n的公式后再乘以4即，4

4、n，則求出第一百個(gè)數(shù)為4*100=40000(一)等差數(shù)列例題：2，5，8，( )。例題5： 12，15，18，( )，24，27。A.20 B.21 C.22 D.23(二)等比數(shù)列例題1： 2，1，1/2，( )。A.0 B.1/4 C.1/8 D.-1例題2： 2，8，32，128，( )。(三)平方數(shù)列1、完全平方數(shù)列：正序：1，4，9，16，25逆序：100，81，64，49，362、一個(gè)數(shù)的平方是第二個(gè)數(shù)。1)直接得出：2，4，16，( 256)解析：前一個(gè)數(shù)的平方等于第二個(gè)數(shù)，答案為256。2)一個(gè)數(shù)的平方加減一個(gè)數(shù)等于第二個(gè)數(shù)：1，2，5，26，(677) 前一個(gè)數(shù)的平方加1等

5、于第二個(gè)數(shù)，答案為677。3、隱含完全平方數(shù)列：1)通過(guò)加減一個(gè)常數(shù)歸成完全平方數(shù)列：0，3，8，15，24，( 35 )前一個(gè)數(shù)加1分別得到1，4，9，16，25，分別為1，2，3，4，5的平方，答案352)相隔加減，得到一個(gè)平方數(shù)列：例：65，35，17，( 3 )，1A.15 B.13 C.9 D.3解析：不難感覺(jué)到隱含一個(gè)平方數(shù)列。進(jìn)一步思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律是：65等于8的平方加1，35等于6的平方減1，17等于4的平方加1，再觀察時(shí)發(fā)現(xiàn)：奇位置數(shù)時(shí)都是加1，偶位置數(shù)時(shí)都是減1，所以下一個(gè)數(shù)應(yīng)該是2的平方減1等于3，答案是D。*(四)立方數(shù)列立方數(shù)列與平方數(shù)列類(lèi)似。例題1： 1，8，27，64

6、，( 125 )解析：數(shù)列中前四項(xiàng)為1，2，3，4的立方，顯然答案為5的立方，為125。例題2：0，7，26，63 ，( 124 )解析：前四項(xiàng)分別為1，2，3，4的立方減1，答案為5的立方減1，為124。(五)、加法數(shù)列數(shù)列中前兩個(gè)數(shù)的和等于后面第三個(gè)數(shù)：n1+n2=n3例題1： 1，1，2，3，5，( 8 )。A8 B7 C9 D10解析：第一項(xiàng)與第二項(xiàng)之和等于第三項(xiàng)，第二項(xiàng)與第三項(xiàng)之和等于第四項(xiàng)，第三項(xiàng)與第四項(xiàng)之和等于第五項(xiàng)，按此規(guī)律3 +5=8答案為A。例題2： 4，5，( 9 )，14，23，37A 6 B 7 C 8 D 9解析：與例一相同答案為D例題3： 22，35，56，90，

7、( 145 ) 99年考題A 162 B 156 C 148 D 145解析：22 +35-1=56， 35+ 56-1=90 ，56+ 90-1=145，答案為D(六)、減法數(shù)列前兩個(gè)數(shù)的差等于后面第三個(gè)數(shù)：n1-n2=n3例題1：6，3，3，( 0 )，3，-3A 0B 1 C 2 D 3解析：6-3=3，3-3=0 ，3-0=3 ，0-3=-3答案是A。(提醒您別忘了：“空缺項(xiàng)在中間，從兩邊找規(guī)律”)(七)、乘法數(shù)列1、前兩個(gè)數(shù)的乘積等于第三個(gè)數(shù)例題1：1，2，2，4，8，32，( 256 )前兩個(gè)數(shù)的乘積等于第三個(gè)數(shù)，答案是256。例題2：2，12，36，80，() (2007年考題)

8、A.100 B.125 C.150 D.175解析：2×1， 3×4 ，4×9，5×16 自然下一項(xiàng)應(yīng)該為6×25150 選C，此題還可以變形為：，.,以此類(lèi)推，得出2、兩數(shù)相乘的積呈現(xiàn)規(guī)律：等差，等比，平方等數(shù)列。例題2：3/2， 2/3， 3/4，1/3，3/8 ( A ) (99年海關(guān)考題)A 1/6 B 2/9 C 4/3 D 4/9解析：3/2×2/3=1 2/3×3/4=1/2 3/4×1/3=1/4 1/3×3/8=1/8 3/8×"=1/16 答案是 A。(八)、除法數(shù)

9、列與乘法數(shù)列相類(lèi)似，一般也分為如下兩種形式：1、兩數(shù)相除等于第三數(shù)。2、兩數(shù)相除的商呈現(xiàn)規(guī)律：順序，等差，等比，平方等。(九)、質(zhì)數(shù)數(shù)列由質(zhì)數(shù)從小到大的排列：2，3，5，7，11，13，17，19(十)、循環(huán)數(shù)列幾個(gè)數(shù)按一定的次序循環(huán)出現(xiàn)的數(shù)列。例：3，4，5，3，4，5，3，4，5，3，4以上數(shù)列只是一些常用的基本數(shù)列，考題中的數(shù)列是在以上數(shù)列基礎(chǔ)之上構(gòu)造而成的，下面我們主要分析以下近幾年考題中經(jīng)常出現(xiàn)的幾種數(shù)列形式。1、二級(jí)數(shù)列這里所謂的二級(jí)數(shù)列是指數(shù)列中前后兩個(gè)數(shù)的和、差、積或商構(gòu)成一個(gè)我們熟悉的某種數(shù)列形式。例1：2 6 12 20 30 ( 42 )A.38B.42 C.48 D.5

10、6解析：后一個(gè)數(shù)與前個(gè)數(shù)的差分別為：4，6，8，10這顯然是一個(gè)等差數(shù)列，因而要選的答案與30的差應(yīng)該是12，所以答案應(yīng)該是B。例2：20 22 25 30 37 ( ) A.39 B.45 C.48 D.51解析：后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差分別為：2，3，5，7這是一個(gè)質(zhì)數(shù)數(shù)列，因而要選的答案與37的差應(yīng)該是11，所以答案應(yīng)該是C。例3：2 5 11 20 32 ( 47 )A.43 B.45 C.47 D.49解析：后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差分別為：3，6，9，12這顯然是一個(gè)等差數(shù)列，因而要 選的答案與32的差應(yīng)該是15，所以答案應(yīng)該是C。例4：4 5 7 1l19 ( 35 ) A.27 B.

11、31 C.35 D.41解析：后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差分別為：1，2，4，8這是一個(gè)等比數(shù)列，因而要 選的答案與19的差應(yīng)該是16，所以答案應(yīng)該是C。例5：3 4 7 16 ( 43 ) A.23 B.27 C.39 D.43解析：后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差分別為：1，3，9這顯然也是一個(gè)等比數(shù)列，因而要選的答案與16的差應(yīng)該是27，所以答案應(yīng)該是D。例6：32 27 23 20 18( 17 ) A.14 B.15 C.16 D.17解析：后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差分別為：-5，-4，-3，-2這顯然是一個(gè)等差數(shù)列，因而要 選的答案與18的差應(yīng)該是-1，所以答案應(yīng)該是D。例7：1， 4， 8， 13，

12、 16， 20， ( 25 )A.20 B.25 C.27 D.28解析：后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差分別為：3，4，5，3，4這是一個(gè)循環(huán)數(shù)列，因而要 選的答案與20的差應(yīng)該是5，所以答案應(yīng)該是B。例8：1， 3， 7， 15， 31， ( 63 )A.61B.62 C.63 D.64解析：后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差分別為：2，4，8，16這顯然是一個(gè)等比數(shù)列，因而要 選的答案與31的差應(yīng)該是32，所以答案應(yīng)該是C。例9：( 69 )，36，19，10，5，2A.77 B.69 C.54 D.48解析：前一個(gè)數(shù)與后一個(gè)數(shù)的差分別為：3，5，9，17這個(gè)數(shù)列中前一個(gè)數(shù)的2倍減1得后一個(gè)數(shù)，后面的數(shù)應(yīng)該是

13、17*2-1=33，因而33+36=69答案應(yīng)該是 B。例10：1，2，6，15，31，( 56 )A.53 B.56 C.62 D.87解析：后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差分別為：1，4，9，16這顯然是一個(gè)完全平方數(shù)列，因而要選的答案與31的差應(yīng)該是25，所以答案應(yīng)該是B。例11：1，3，18，216，( 5184 )A.1023 B.1892 C.243 D.5184解析：后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的比值分別為：3，6，12這顯然是一個(gè)等比數(shù)列，因而要選的答案與216的比值應(yīng)該是24，所以答案應(yīng)該是D：216*24=5184。例12： -2 1 7 16 ( 28 )43A.25 B.28 C.3lD.

14、35解析：后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差值分別為：3，6，9這顯然是一個(gè)等差數(shù)列，因而要選的答案與16的差值應(yīng)該是12，所以答案應(yīng)該是B。例13：13 6 10 15 ( )A.20 B.21 C.30 D.25解析：相鄰兩個(gè)數(shù)的和構(gòu)成一個(gè)完全平方數(shù)列，即：1+3=4=22，6+10=16=42，則15+.=36=62呢，答案應(yīng)該是B。例14：102，96，108，84，132，( 36 ) ，（228）解析：后項(xiàng)減前項(xiàng)分別得-6，12，-24，48，是一個(gè)等比數(shù)列，則48后面的數(shù)應(yīng)為-96，132-96=36，再看-96后面應(yīng)是96X2=192，192+36=228。二、設(shè)計(jì)類(lèi)【例1】在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，

15、小明為了求的值（結(jié)果用n表示），設(shè)計(jì)如圖a所示的圖形。（1）請(qǐng)你利用這個(gè)幾何圖形求的值為。（2）請(qǐng)你利用圖b，再設(shè)計(jì)一個(gè)能求的值的幾何圖形。三、動(dòng)態(tài)類(lèi)【例3】右圖是一回形圖，其回形通道的寬與OB的長(zhǎng)均為1，回形線(xiàn)與射線(xiàn)OA交于點(diǎn)A1，A2，A3，。若從O點(diǎn)到A1點(diǎn)的回形線(xiàn)為第1圈（長(zhǎng)為7），從A1點(diǎn)到A2點(diǎn)的回形線(xiàn)為第2圈，依此類(lèi)推。則第10圈的長(zhǎng)為。【例4】已知甲運(yùn)動(dòng)方式為：先豎直向上運(yùn)動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度后，再水平向右運(yùn)動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度；乙運(yùn)動(dòng)方式為：先豎直向下運(yùn)動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度后，再水平向左運(yùn)動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度。在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P第1次從原點(diǎn)O出發(fā)按甲方式運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P1，第2次從點(diǎn)P1出發(fā)

16、按乙方式運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P2，第3次從點(diǎn)P2出發(fā)再按甲方式運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P3，第4次從點(diǎn)P3出發(fā)再按乙方式運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P4,。依此運(yùn)動(dòng)規(guī)律，則經(jīng)過(guò)第11次運(yùn)動(dòng)后，動(dòng)點(diǎn)P所在位置P11的坐標(biāo)是。解析：【例3】我們從簡(jiǎn)單的情形出發(fā)，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第1圈的長(zhǎng)為1+1+2+2+1，第2圈的長(zhǎng)為2+3+4+4+2，第三圈的長(zhǎng)為3+5+6+6+3，第四圈的長(zhǎng)為4+7+8+8+4，歸納得到第10圈的長(zhǎng)為10+19+20+20+1079。【例4】（3，4）四、計(jì)算類(lèi)【例10】觀察下列等式：， 則第n個(gè)等式可以表示為。解析：【例10】【例11】觀察下列各式：，根據(jù)前面的規(guī)律，得：。（其中n為正整數(shù)）解析：【例11】【例12】觀察

17、下列等式：觀察下列等式：41=3，9-4=5，16-9=7，25-16=9，36-25=11，這些等式反映了自然數(shù)間的某種規(guī)律，設(shè)n（n1）表示了自然數(shù)，用關(guān)于n的等式表示這個(gè)規(guī)律為。解析：【例12】（n1，n表示了自然數(shù)）五、 圖形類(lèi)【例13】在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為整點(diǎn)。觀察圖中每一個(gè)正方形（實(shí)線(xiàn)）四條邊上的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，請(qǐng)你猜測(cè)由里向外第10個(gè)正方形（實(shí)線(xiàn)）四條邊上的整點(diǎn)共有個(gè)。解析：【例13】第一個(gè)正方形的整點(diǎn)數(shù)為2×4-44，第二個(gè)正方形的 正點(diǎn)數(shù)有3×448，第三個(gè)正方形的整點(diǎn)數(shù)為4×4412個(gè)，故第10個(gè)正方形的整點(diǎn)數(shù)為11&

18、#215;4-440，【例14】“”代表甲種植物，“”代表乙種植物，為美化環(huán)境，采用如圖所示方案種植。按此規(guī)律，第六個(gè)圖案中應(yīng)種植乙種植物株。【例14】第一個(gè)圖案中以乙中植物有2×24個(gè)，第二個(gè)圖案中以乙中植物有3×39個(gè)，第三個(gè)圖案中以乙中植物有4×416個(gè)，故第六個(gè)圖案中以乙中植物有7×749個(gè).練 習(xí)一、數(shù)字排列規(guī)律題1、 觀察下列各算式：1+3=4=221+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42按此規(guī)律（1） 試猜想：1+3+5+7+2005+2007的值.（2）推廣：1+3+5+7+9+（2n-1)+（2n+1)的和是多少. 2、下面數(shù)列

19、后兩位應(yīng)該填上什么數(shù)字呢.23581217_ 3、 請(qǐng)?zhí)畛鱿旅鏅M線(xiàn)上的數(shù)字。112358_ 214、有一串?dāng)?shù)，它的排列規(guī)律是1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6、聰明的你猜猜第100個(gè)數(shù)是什么.5、有一串?dāng)?shù)字 3610 1521 _ 第6個(gè)是什么數(shù).6、觀察下列一組數(shù)的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、，那么第2005個(gè)數(shù)是（ ）.A1B2C3D47、100個(gè)數(shù)排成一行，其中任意三個(gè)相鄰數(shù)中，中間一個(gè)數(shù)都等于它前后兩個(gè)數(shù)的和，如果這100個(gè)數(shù)的前兩個(gè)數(shù)依次為1，0，那么這100個(gè)數(shù)中“0”的個(gè)數(shù)為 _個(gè)二、幾何圖形變化規(guī)律題1、觀察下列球的排列規(guī)律(其中是實(shí)心球，是空心球)： 從第1個(gè)球起到第2004個(gè)球止，共有實(shí)心球個(gè)2、觀察下列圖形排列規(guī)律（其中是三角形，是正方形，是圓），若第一個(gè)圖形是正方形，則第2008個(gè)圖形是（填圖形名稱(chēng)）.三、數(shù)、式計(jì)算規(guī)律題1、已知下列等式： 1312； 132332； 13233362；