1、第十一章 Euclid空間上的極限和連續(xù)下冊P113114 習(xí)題解答 1.證 正定性: | x y | = .對稱性: | x y | = | y x | .三角不等式: 設(shè)x, y, z,則有| x y | | x z | +| z y |.注意到實數(shù)的三角不等式以及H. Minkowski不等式: 設(shè),則對R , 時有 .( 證明可參閱裴禮文編數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法P287 定理11 )，就有 | x y |= | x z | +| z y |，即| x y | | x z | +| z y |. 2 證明 ：若R中的點列x收斂 ， 則其極限唯一 .證明 : 設(shè) x , x ,現(xiàn)證 .

2、 對, 由于x, x ; 由于x, x .取, 則當(dāng)時, 就有 x x . , 即極限唯一 .3. 設(shè)R中的點列x和y收斂 .證明對于任何實數(shù), , 成立等式x+y)=x+y.證 設(shè)x , y.當(dāng)時 , 顯然有 x+y)和x+y, x+y)=x+y.當(dāng)和不同時為零時,對,由于x, x ;由于y, y .取, 則當(dāng)時, 就有 , (x+y)x y.此即 x+y)x+y.4. 求下列R中子集的內(nèi)部、邊界與閉包 : ;解 ; ;. ; 解 ; . . . 解 ; ; . 5. 求下列點集的全部聚點 : ; 解 的聚點共有兩個 : 和. ; 解 的聚點共有五個 : , , , , . . 解 由于 .

3、集中,除點是孤立點外,其余均為其聚點 .即 .6. 證明定理x是集的聚點的充分必要條件是 : 存在點列x滿足條件x, xx , ,且 x= x . 證 設(shè)點x是集的聚點 , 即在點x的任何鄰域內(nèi)含有集的無窮多個點 .則在x , 內(nèi)有集的無窮多個點 ,取異于x的x且xx , ,有 xx;在x , 內(nèi)有的無窮多個點,取異于x的點x且xx , ,有xx; 在x , 內(nèi)有的無窮多個點, 取異于x的點x且xx , ,有xx;.我們這就得到點列x, x, xx . 由式xx,可見x= x . 對任意的, 由x= x , , 有xx , . 由xx ,x , 中的x彼此不同的有無窮多項 ; 又由x,可見在x

4、 , 內(nèi)有的無窮多個點,由的任意性 ,即得在點x的任何鄰域內(nèi)含有集的無窮多個點 ,即x是集的聚點.7. 設(shè)U是R中的開集 . U中的每個點是否都是其聚點 ? 對于R中的閉集情況又是如何呢?解答 若U是R中的開集 , 則U中的每個點都是U的聚點 . 這是因為U的每個點都是U的內(nèi)點 , 而內(nèi)點必為聚點 . 若U是R中的閉集 , 則U中的點未必是U的聚點 . 例如單點集是閉集 , 但元素并不是集的聚點 .8. 證明 R的所有內(nèi)點組成的點集必是開集 .證 x, 由于x是集的內(nèi)點 ,使x,.現(xiàn)證x,內(nèi)的每個點都是的內(nèi)點.事實上 ,xx,有x- x.取x- x,則. xx, 有 x- x x -xx- x

5、<x- x+x- x=x- x,即x，x, ，可見x是集的內(nèi)點 .由點x的任意性 , x,.是開集 .9. 證明 R的閉包必是閉集 .證 設(shè)x是集的聚點 , 現(xiàn)證x, 即證或有x,或有x.事實上 ,若有x,則有x; 若x, 則由x是集的聚點 , 在點x的任鄰域x,內(nèi)有集的無窮多個點 . 由于這無窮多個點中的每一個或者是集的點 ,否則就是的聚點 , 即在其任鄰域內(nèi)有集的無窮多個點, 可見在x,內(nèi)有集的無窮多個點 , 即x是集的聚點 , 亦即x,仍有x綜上 ,若x是集的聚點 , 總有x . 因此必是閉集 .10. 證明Cantor閉區(qū)域套定理 .Cantor閉區(qū)域套定理 : 設(shè)是非空集序列

6、, 滿足條件 , 以及, 則存在唯一的點, 使對任何 , 有.證 由, 充分大時有界 . 為敘述簡便計 , 可設(shè)每個有界 .現(xiàn)以 R為例施證 .設(shè) , , , .并設(shè)閉矩形. 易見有 , .因此 , 閉矩形列滿足條件和. 據(jù)閉矩形套定理 , 存在唯一的點, 使對任何 , 有. 由, 對任何 , 有. 倘又有對任何成立 ,則有 . 由,對,有 , 因此就有.綜上 ,存在唯一的點, 使對任何 , 有.11 舉例說明 ：滿足條件x x的點列x不一定收斂 . 解答 設(shè) . 雖有, 但是. 即數(shù)列不收斂 .12. 設(shè)E 、F R為緊集 . 證明E F和E F為緊集 .證 E 和F是緊集 , 則它們是有界

7、閉集 . 于是E F和E F均為有界閉集 , 因此它們都是緊集 .13. 用定義證明點集是R中的緊集 .證 設(shè)本, 為的開覆蓋 .現(xiàn)證存在中的有限子族覆蓋. 事實上 , 設(shè)中的開區(qū)間覆蓋單點集, 即 . 則由于, ,時 , ，即不僅覆蓋單點集，且覆蓋了中的點集. 又設(shè)中的開區(qū)間、 、分別覆蓋中的點 、 、 ，則,， ，是中的有限子族 ，且該有限子族覆蓋. 因此 , 的每個開覆蓋存在有限子覆蓋 , 是R中的緊集 .14. 應(yīng)用HeineBorel定理直接證明：R中有界無限點集必有聚點 .證 設(shè)是R中的有界無限點集 , 可設(shè). 易見的補集中的點必不是的聚點 . 反設(shè)集沒有聚點 , 則有界閉集中的每個點都不是的聚點 . 于是 , 對,由于點不是集的聚點 , 存在點的鄰域, 使在內(nèi)僅有集的有限個點 .現(xiàn)設(shè)M, 在內(nèi)僅有集的有限個點 .則M是的一個開覆蓋 .由是有界閉集,據(jù)HeineBorel有限覆蓋定理 , 必為緊集 ,因此存在M的有限子族M 覆蓋.由于M 中僅有有限