1、 存檔編號 贛南師范學院科技學院學士學位論文 空間兩異面直線距離的 若干求法 系 別 數學與信息科學系 屆 別 2014屆 專 業 數學與應用數學 學 號 1020151224 姓 名 劉禹偉 指導老師 陳海蓮 完成日期 目 錄內容摘要1關鍵字1Abstract1Key words11、引言22、空間兩異面直線的相關概念22.1、空間兩異面直線的概念22.2、空間兩異面直線間距離的概念23、求異面直線距離的常用方法33.1、直接法33.2、線面距離法43.3、面面距離法43.4、等體積法54、求解異面直線間距離的其他方法64.1、運用極值法64.2、公式法74.3、射影面積法95、分析比較求解

2、方法106、結語11致謝12參考文獻13 內容摘要：立體幾何中的異面直線間距離( 即兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度) 問題是教材中的一個難點, 學生普遍反映困難, 主要由于學生思維不全面和認識上的不足, 又由于學生由平面幾何到立體幾何思維上的轉化存在著問題, 從而導致解題和學習上困難。本文我們來著重講解空間兩異面直線間的距離的求法，即直接或利用轉換和利用體積來求解。在其基礎上再深入研究，利用解析幾何的思想來探討求解異面直線間距離。比較各種求法，讓學生在求異面直線間距離方面簡單。 關鍵字：異面直線間距離 直接法 轉化法 體積法 解析幾何 Abstract：The differ

3、ences between the three-dimensional geometry of the surface linear distance (ie two different male faces straight vertical line in these two segments of different lengths between straight face) problem is a difficult textbook. Students generally reflect difficulties, Mainly due to the students'

4、thinking is not comprehensive and lack of understanding, Also due to the transformation of the students from the plane geometry on the three-dimensional geometry of thinking there is a problem, resulting in the problem-solving and learning difficulties. In this paper, we explain the space to focus o

5、n the distance between the two different method for finding straight face, that directly or using the conversion and use of volume to solve. The basis of its further in-depth study to explore solving linear distance between the different faces of the use of analytic geometry ideas. Comparative metho

6、d for finding a variety of students in terms of a simple distance between divergent straight face.Key words：The distance between lines in different planes The direct method Volume method Transformation method Analytic geometry1、引言 求異面直線的距離是立體幾何的一個難點，主要原因是公垂線段較難找，那么如何求異面直線的距離呢？為幫助同學們克服這一難點，下面介紹異面直線的概

7、念、異面直線間距離的概和異面直線間距離的求法。2、空間兩異面直線的相關概念1 在空間上,兩條直線的位置關系有平行、相交和異面，下面我們著重來介紹空間兩條異面直線的相關概念。2.1、空間兩異面直線的概念2定義：不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線。特點：既不平行，也不相交。判定方法：（1）定義法：由定義判定兩直線永遠不可能在同一平面內。（2）定理：經過平面外一點和平面內一點的直線和平面內不經過該點的直線，是異面直線。2.2、空間兩異面直線間距離的概念3兩條異面直線的距離的定義：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段，叫做這兩條異面直線的公垂線段；公垂線段的長度d，叫做兩條異面直線的距

8、離。其中，兩條異面直線所成的角的定義：直線a，b是異面直線，經過空間一點O，分別引直線A/a,B/b,相交直線A，B所成的銳角（或直角）叫做異面直線a,b所成的角。角可取的范圍在(0，/2。兩條異面直線垂直的定義：如果兩條異面直線所成的角是直角，則稱這兩條異面直線互相垂直。兩條異面直線的公垂線的定義：和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線。兩條異面直線的公垂線，有且只有一條。理解這些概念，有助于理解異面直線間距離的求法。3、求異面直線距離的常用方法求解異面直線間距離的方法有許多,一般常用的方法有四種，分別為直接法、線面距離法、面面距離法，等體積法，下面詳細介紹這四種方法。3.1

9、、直接法 根據定義，直接找出公垂線段，再求其長，這是解題時首先要考慮的方法。例1 （1999廣東）如圖，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，點E在棱D1D上，截面EAC/D1B，且平面EAC與底面ABCD所成的角為45°，AB=a，求異面直線與AC之間的距離。 解：連結DB，設DB交AC于點O 由題設知ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱 則A1A底面ABCD，即A1AAC,而A1AA1B1 所以A1A是異面直線A1B1與AC的公垂線段由題意分析知 DOE為平面EAC與底面 ABCD所成的角則DOE=45°又截面EAC/D1B，且平面D1BD與平面EAC的交線為EOD1B

10、/EO，DBD1=DOE=45°D1D=DB=AA1=D1D異面直線A1B1與AC之間的距離為3.2、線面距離法選擇異面直線中的一條，過它作另一條直線的平行平面，則此直線與平行平面的距離即為異面直線間的距離。例2 （2004江蘇）在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=2，AD=3，AA1=4，求異面直線AB與A1C間的距離。解：如圖所示，連結A1D 由AB/DC，得AB/平面A1DC故AB到平面A1DC的距離即為AB與A1C間的距離又平面A1D平面A1DC及平面A1DAB故可在平面A1D內過A作AEA1D于點E則AE為AB到平面A1DC的距離即為異面直線AB與A1C間的距離。由A

11、D AA1=A1DAE可得3.3、面面距離法 選擇異面直線中的一條，過它作另一條直線的平行平面，再根據所畫平面作出另平行面,兩異面直線分別在兩個平面上,求兩平行面間的距離。 例3 （2004廣州一模）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，求異面直線A1D與AC間的距離。 解：A1C、C1D、AB1、B1C,A1D與AC分別在兩個相互平行的平面A1DC1和B1CA內，則A1D與AC間的距離就是兩個相互平行的平面A1DC1和B1CA之間的距離。連結BD，且交AC于點O，作OO1平面AC交平面A1C1于O1連結DO1，作OEDO1于E可知OE為兩平行平面A1DC1和B1CA之間的距離在R

12、tDOO1中，OO1=1，DO= ,DO1= OE=OO1異面直線A1D與AC間的距離為3.4、等體積法在一般情況下，求異面直線間的距離可轉化為(1)一異面直線與過另一異面直線且平行于第一條異面直線的平面之間的距離(2)分別過兩異面直線的兩個平行平面之間的距離上述兩種距離總是通過直線上(或平面上)一點到另一平面之間的距離求出，除直接求出外，一般都要通過等積計算再求高的辦法來求得的例4 （2004江西）如圖4所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，求AC與BC1的距離 解：連接A1C1，A1B，C1A， ACA1C1，AC平面A1BC1，則求AC與BC1的距離 轉化為求AC與其平行平面A

13、1BC1的距離也就是三棱錐AA1BC1的高h而 即 由上可知，等積法與作輔助平面法緊密相連，它是以輔助平面為底，與平面平行的另一條異面直線上某一點到該平面的距離為高組成一個三棱錐，若改變三棱錐的底面易于求得三棱錐的體積，便可利用等積法求出以輔助平面為底的三棱錐的高，即異面直線間的距離4、求解異面直線間距離的其他方法一般的解題方法就是上述四種，這些都是基礎的，比較容易掌握。下面我們來結合解析幾何的思想，利用其求解空間兩異面直線間的距離。4.1、運用極值法求異面直線a、b的距離是先在a(或b)上取點A，過A點作ABb，設某一線段為x，列出AB關于x的函數表達式ABf(x)，求出AB的最小值，就是所

14、求異面直線間的距離其理論依據是兩異面直線間的距離是連接兩直線中最短線段的長例5 （2004浙江）如圖5，圓錐底面半徑為R，母線長為2R，AC為軸截面SAB的底角A的平分線，又BD為底面的一條弦，它和AB成30°的角，求AC與DB之間的距離解：在AC上任取一點E，作EFAB， 垂足為F，則EF底面 設EFxSAB是正三角形(ABSASB2R) CAB=30。，AF=XFB=2R-X在底面內作FG BF，FG=BF sin=（2R-X）EG2=EF2+FG2=X2+(R-X)2=(X-R)2+R2 EGmin= R即為所求。4.2、公式法預備定理設：OA,OB,OC是空間共端點的3條射線

15、AOB=1，BOC=2，AOC= ,(其中1,2均為銳角 ) ,二面角A-OB-C是直二面角，則COS =COS1 .COS2.定理 設A , B是直二面角的棱l上的兩點,AC在平面內, BD在平面內,且 CAB=1 ,DBA=2,（其中1,2均為銳角）AB=a。異面直線AC和BD所成的角為，距離為d；則： （1）COS =COS .COS . （2） 例6 （2004江西）已知正三棱錐D-ABC的側棱與底面的邊長相等M, N分別為BD,DC的中點，求：異面直線AM與BN所成角的余弦值。 解 如圖，連接NA，取BC的中點E，連接ME交BN與點G，則DC平面ABN MG/DG MG平面ABN 二

16、面角M-AG-N為直二面角 設正四面體ABCD的棱長為a，則 RTAGM中，AM=a,MG=a AG=a cos1=cosMAG=,ANG中，cos2=cosAGN 由定理可知 注：由于易得cot1=，cot2=；若正四面體的棱長為a，則AG=，由定理可得異面直線AM與BN的距離為 4.3、射影面積法凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（cos= ）求出二面角的大小。ACBP例7 （2004廣州）如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，ACB=90。AP=BP=AB，PCAC求二面角B-AP-C的大?。环治觯罕绢}要求二面角BAPC的

17、大小，如果利用射影面積法解題，不難想到在平面ABP與平面ACP中建立一對原圖形與射影圖形并分別求出S原與S射于是得到下面解法。ACBEP解：AC=BC,AP=BP， APCBPC 又PCAC,，PCBC 又ACB=90。，即ACBC， 且ACPC=C， BC平面PAC 取AP中點E連結BE,CE AB=BP BEAP EC是BE在平面PAC內的射影， CEAP ACE是ABE在平面ACP內的射影，于是可求得：AB=BP=AP=，BE=，AE=EC=,則S射=SACE=AECE=1，S射=SABE=AEEB=設二面角B-AP-C的大小為，則cos=二面角B-AP-C的大小為=arccos5、分析

18、比較求解方法中學空間兩異面直線間距離的算法和解析幾何算法，有相同之處也有不同之處。相同點：都是直接或者間接的利用公垂線的來找出兩異面直線間的關系，讓其兩條線能夠聯系起來。不同點：中學求解方法都能夠在圖中找出公垂線，即能夠找出實實在在的一條線，說明其為兩異面直線的公垂線，而解析幾何的方法都是不找出公垂線，而是利用公垂線的性質，沒有實實在在的找出來，后者需要有比較好的空間概念，能夠想象出公垂線，從而利用其求解。6、結語 本文總結了7種求解空間兩異面直線距離的方法，介紹的方法都是從簡單開始，從基本的思想開始，所以在求解的時候先掌握前面的基本求法，再逐步深入掌握，利用解析幾何的思想，巧妙地求解空間兩異面直線距離。熟練的掌握了這些方法，能夠幫助學生對理解或者求解空間兩異面直線距離方面更易懂。致謝 在論文完成之際，我首先向關心幫助和指導我的指導老師陳海蓮表示衷心的感謝并致以崇高的敬意！ 在學校的學習生活即將結束，回顧四年來的學習經歷，面對現在的收獲，我感到無限欣慰。為此，我向熱心幫助過我的所有老師和同學表示由衷的感謝!在論文工作中，遇到了許許多多這樣那樣的問題，有的是專業上的問題，有的是論文格式上的問題，一直得到陳海蓮老師的親切關懷和悉心指導，使我的論文可以又快又好的完成