1、 第十一章 曲線積分與曲面積分 1 對弧長的曲線積分1設 關于軸對稱，表示在軸上側的部分，當關于是偶函數時， A.0 B. C. D.ABC都不對2、設是以點為頂點的正方形邊界,則= A. 4 B.2 C. D. 3、有物質沿曲線：分布，其線密度為，則它 的質量 A. B. C. D.4求其中L為由所圍區域的整個邊界解：5其中L為雙紐線解：原積分=6 其中L為原積分7其中L為球面與平面的交線解：將代入方程得于是L的參數方程：，又原積分=8、求均勻弧 的重心坐標， 2 對坐標的曲線積分一、選擇題1.設關于軸對稱，表示在軸上側的部分，當關于是偶函數 時， A.0 B. C. D.ABC都不對2設為

2、的正向，則 A.0 B.4 C.2 D.-23為的正向， A.2 B.-2 C.0 D. 二、計算1，其中由曲線從 到方向解： 2 其中是正向圓周曲線 解： 由奇偶對稱性，： 3其中為從點到的有向線段 解：方程：，三、過和的曲線族，求曲線使沿該曲線從到的積分的值最小解：。 最小，此時 四、空間每一點處有力，其大小與到軸的距離成反比，方向垂直指向軸，試求當質點沿圓周從點到時，力所作的功解：由已知五、將積分化為對弧長的積分,其中L 沿上半圓周解：，于是 3 格林公式及其應用一、選擇題1.若是上半橢圓取順時針方向,則 = A.0 B. C. D 2. 設為的正向，則 A2 B.-2 C.0 D.3.

3、設為曲線的正向，則A9 B.-18 C. -9 D.0 二、計算題1.設是圓取逆時針方向，則 解：將方程代入被積函數在由格林公式得 2其中為點到的拋物線 的弧段解：因故積分與路徑無關，取3求，為(1) (2) 正方形邊界的正向解：(1)直接用格林公式=0 (2) 設為圓周：取逆時針方向，其參數方程 原積分為所以4、驗證在面上是某函數的全微分，求出解：， 5、設曲線積分與路徑無關，其中具有連續的導數，且 ，計算的值解：取路徑：沿從到；再沿從到則或 4 對面積的曲面積分1、計算曲面積分 ，其中是平面在第一卦限的部分 解：2、求曲面積分 ，其中是界于平面z=0和z=H之間的圓柱面 解： =23、求曲

4、面積分 ，其中是錐面被柱面 所截得的有限部分 解：= 5 對坐標的曲面積分一、選擇題1.設關于面對稱反向，是在面的前側部分，若關于為偶函數，則（ ） A.0 B. C. D.ABC都不對2.設取上側,則下述積分不等于零的是（ ）A B C D 3.設為球面取外側,為其上半球面,則有（ ） A. B. C. D. 0二、計算1其中由及三個坐標面所圍成閉曲面的外側2其中為錐面被平面所截部分的外側 3.其中為被平面所截部分，其法向量與z軸成銳角 三、用兩類曲面積分之間的關系計算1 求其中是柱面在部分，是的外法線的方向余弦 2其中為連續函數，為平面在第四卦限部分的上側 =四、試求向量穿過由及及所圍成圓

5、臺外側面（不含上下底）的流量 6 高斯公式1. 設是拋物面介于及之間部分的下側，求 解：做補面：取上側，則構成一個封閉曲面，取外側，由高斯公式知：原式=2設為取外側,求 解：原式=3.設為平面在第一卦限部分的上側，則=解：由輪換對稱性知原式=4. 求，其中有連續的二階導數，是 所圍立體的外側 5.求 ，其中是 及所圍曲面的外側6.，其中為取外側 7 斯托克斯公式 1、設為依參數增大方向的橢圓：，求 （0）2設為平面與坐標面交線，從z軸看去為逆時針方向，求 （2）3.設為圓周若從軸正向看依逆時針方向，則 （） 4、其中為圓周若從軸正向看依逆時針方向。5 ,其中為曲線從軸正 向看依逆時針方向。6

6、,其中為橢圓 若從x軸正向看，此橢圓依逆時針方向。第十章 自測題一、填空（每題4分，共20分）1、設平面曲線為下半圓周，則曲線積分 （）2、設為橢圓，其周長為,則(12)3、設為正向圓周在第一象限中的部分，則曲線積分（）4、設 是由錐面與半球面圍成的空間區域，是 的整個邊界的外側，則5、設為球面外側，則曲面積分 （0）二、選擇題（每題5分，共15分）1、 設是在第一卦限部分.則有 A B.C. D.2、設取上側，則下述積分不正確的是A B. C. D.3、設L是從點(0,0)沿折線、y=1-|x-1|至點A(2,0)的折線段，則曲線積分 為（ ） A 0 B -1 C 2 D 2 三、計算（每題8分）1計算曲面積分，其中為錐面在柱體 內的部分 2、過和的曲線族，求曲線使沿該曲線從到的積分的值最小 解：。 最小，此時 3、計算曲線積分，其中是以為中心，為半徑的圓周（取逆時針方向） 解：設為圓周：取逆時針方向，其參數方程原積分為4