1、 第1講 稍復雜分數問題例 題 1 思路點撥 一件衣服原價480元，先提價20%，由于季節原因又降價20%出售，現在的售價是多少元？ 同步練習 解決這個問題要注意單位“1是不同的，先提價是把原價看作單位“1，再降價是把提價后的價錢看作單位“1。單位“1用乘法計算。1.一件衣服原價360元，先降價10%，由于季節原因又提價10%出售，現在的售價是多少元？2.一件襯衫，先降價20%，后漲價20%，最終的價格是96元。這件襯衫的原價是多少元？例 題 2思路點撥 一套瓷器，如果比本錢價多80元賣出，可賺25%；實際賣出后，反而虧了128元。這套瓷器是打幾折銷售的？這道題屬于折扣問題，想要求出折扣，我們

2、一般的方法是求出現價與原價，而原價又是“1，所以可以通過解方程或除法先根據題中給出的條件求出原價，實際售出后反而虧了128元，說明現價比原價少128元，從而根據求出的原價再求出現價，進而求出折扣同步練習1.一件商品，如果提價20%，可以賺50元；實際賣出后，反而虧了25元，這件商品是打幾折銷售的？例 題 3思路點撥 小軍三天看完一本書，第一天看了全書的還少4頁，第二天看了全書的還多14頁，第三天看了90頁，這本故事書一共有多少頁？同步練習 解決這類分數問題先找準單位“1，單位“1未知可以用方程來解決。1.修路隊三天修完一條路，第一天修了全長的還多10米，第二天修了全長的還少24米，第三天修了3

3、4米，這條路全長多少米？ 知識概述 第2講 圓柱的外表積一 在實際生活中，我們用的許多容器都是圓柱形的，如杯子、水桶、飲料罐等，我們常常會遇到一些有關圓柱的計算問題，如計算圓柱的外表積，體積。例 題 1 這一講研究圓柱的外表積的計算問題同，圓柱的外表積等于上、下兩個底面的面積加上一個側面積，上、下兩個底面是面積相等的兩個圓，側面沿高展開是一個長方形，長方形的長和寬分別為圓柱的底面周長和高。 一輛壓路機前輪是圓柱形，輪寬1.6米，直徑是0.8米，前輪滾動一周，壓路的面積是多少平方米？思路點撥 壓路機壓路是用圓柱形滾筒的側面在壓路，因此求前輪滾動一周的壓路面積就是求圓柱形滾筒的側面積。用圓柱形滾筒

4、的底面周長乘輪寬就可以求出圓柱形滾筒的側面積，也就是壓路的面積。同步練習1.壓路機的滾筒是一個圓柱體，橫截面半徑為1米，長為1.5米，如果每分鐘滾10周，5分鐘能滾多少平方米的路面？2.大廳里有6根圓柱，每根圓柱的高是6米，直徑是1米，把這些圓柱油漆一次，平均每平方米用油漆需1.5元，需要購置多少錢油漆？例 題 2 一只高9分米的無蓋圓柱形鐵桶，底面周長1.57米，做這只桶需要多少鐵皮？思路點撥這是一只無蓋的圓柱形鐵桶，因此求做這只桶需要多少鐵皮，只要求這只水桶的側面積和一個底面積。題目中已告訴我們圓柱的底面周長和高，直接用底面周長乘高就可以求出側面積；再求底面積，側面中沒有告訴我們底面半徑，

5、的是底面周長，先要根據底面周長求出底面半徑，再求底面積；最后用側面積加上一個底面積就是做這只桶需要的鐵皮。在解題時一定要仔細讀題，認真分析，根據條件，分析所求問題是求幾個面的面積，再列式解答。同步練習 1.無蓋鐵皮水桶的底面半徑15厘米，高60厘米。做這樣一只水桶至少需要鐵皮多少平方分米？用進一法取近似值，保存整十平方分米2.做一對無蓋的圓柱形水桶，每只底面周長都是12.56分米，高都是4分米，至少需要鐵皮多少平方分米？得數用進一法保存整平方分米例 題 3有一張長方形鐵皮，如圖，剪下陰影局部恰好能制成圓柱，求這個圓柱的外表積？單位：分米圓的半徑10分米10思路點撥同步練習 求圓柱的外表積的一般

6、方法是求出圓柱的底面半徑和高，根據示意圖，它的半徑是10分米，而高正好等于圓的直徑，也就是20分米，再根據半徑和高求出外表積即可。4分米1.有一張長方形鐵皮，如圖，剪下陰影局部恰好能制成圓柱，求這個圓柱的外表積？2.有一張長方形鐵皮，如圖，剪下陰影局部恰好能制成圓柱，求這個圓柱的外表積？51.4cm例 題 1第3講 圓柱的外表積 二思路點撥 一個圓柱形，側面展開是一個邊長為15.7厘米的正方形，這個圓柱的外表積是多少平方厘米？ “側面展開是一個邊長為15.7厘米的正方形說明這個圓柱形的底面面積等于高。那么這道題就變成“一個圓柱形，底面周長和高都是15.7厘米，這個圓柱的外表積是多少平方厘米？先

7、根據底面周長可以求出底面半徑，再根據底面半徑和高，分別求出圓柱的一個底面積和側面積，用底面積乘2加上一個側面積就可以求出圓柱的外表積了。同步練習1.一個圓柱體的側面展開是一個邊長為3.14分米的正方形，圓柱的底面半徑是多少分米？ 2.將一個圓柱體的側面展開，得到一個正方形，圓柱的高是28.26厘米，圓柱的外表積是多少平方厘米？例 題 2 把一根長1.2米，底面半徑1分米的圓柱形鋼材截成3段，外表積增加多少平方分米？思路點撥把一根圓柱形鋼材截成3段，要截2次，增加的外表積就是截2次的“切面面積，“切面是圓柱的底面。截一次，增加2個“切面面積，截2次，就增加4個“切面的面積。用圓柱的底面積乘4就是

8、增加的外表積。同步練習1.把一根2米長的圓柱體木材截成3段，木材的橫截面直徑為10厘米，那么外表積比原來增加了多少平方厘米？2.把一根2米長的圓柱體木材截成3段，木材的橫截面直徑為10厘米，那么外表積比原來增加了多少平方厘米？例 題 3思路點撥 一個圓柱的底面半徑是5厘米，如果沿著它的高垂直切成兩半，外表積就增加了200平方厘米，求圓柱的外表積是多少？同步練習把圓柱垂直切開時，外表積增加的是2個長方形的面積，那么一個長方形的面積就是100平方厘米，我們可以畫圖幫助我們理解，這個長方形的長和寬分別相當于圓柱的高和直徑，所以我們可以得出圓柱的高=100÷10=10厘米，再根據半徑和高求出

9、外表積。、1.一個圓柱的底面半徑是6厘米，如果沿著它的高垂直切成兩半，外表積就增加了192平方厘米，求圓柱的外表積是多少？2.一個圓柱的高是8厘米，如果沿著它的高垂直切成兩半，外表積就增加了96平方厘米，求圓柱的外表積是多少？知識概述第4講 圓柱、圓錐的體積一例 題 1這一講，我們研究圓柱、圓錐的體積的計算問題，圓柱的體積等于底面積乘高，圓錐的體積等于底面積乘高再乘三分之一；圓錐的體積等于與它等底等高的圓柱體體積的三分之一，反過來，圓柱的體積等于與它等底等高的圓錐體積的三倍。通過研究，進一步提高空間想象能力和解決實際問題的能力。 圓柱的底面周長為18.84分米，高為5分米，體積是多少立方分米？

10、思路點撥 同步練習 圓柱的體積等于底面積乘高。這道題圓柱底面周長，先根據圓柱的底面周長求出底面半徑，再求出底面積，用底面積乘高求出圓柱的體積。1.一個圓柱體底面半徑是2分米，圓柱側面積是62.8平方分米，這個圓柱體的體積是多少立方分米？2.一個圓錐形石子堆，底面周長為25.12米，高為3米，每立方米石子重2噸，如果用一輛載重為4噸的汽車運，要運多少次才能運完？例 題 2一個圓柱體的體積是502.4立方厘米，底面直徑是8厘米，圓柱體的高是多少？思路點撥圓柱的體積=底面積×高，根據乘、除法之間的關系，圓柱的體積除以底面積就可以求出圓柱的高，圓柱的體積除以高就可以求出圓柱的底面積。同步練習

11、如果圓錐的體積和底面積，求圓錐的高，先要用圓錐的體積乘3，再除以底面積；圓錐的體積和圓錐的高，求圓錐的底面積，先要用圓錐的體積乘3，再除以圓錐的高。1.挖一個底面直徑是4米的圓柱形蓄水池，要使其能裝下56.52立方米的水，應該挖幾米深？2.一個圓錐體積是5.024立方米，底面周長是12.56米，這個圓錐的高是多少米？例 題 3 一個長方形的長是5厘米，寬是3厘米，繞它的長旋轉得到的圓柱的體積是多少？思路點撥由于是繞長方形的長旋轉，那么這個長就成為圓柱的高是5厘米，而寬那么成為圓柱的底面半徑是3厘米，再根據圓柱的體積公式就能求出體積。 同步練習1.長方形的長和寬分別是5厘米和3厘米，饒它的寬旋轉

12、得到的圓柱的體積是多少？ 2.長方形的長和寬分別是6厘米和5厘米，饒它的長旋轉得到的圓柱的體積是多少？ 3. 長方形的長和寬分別是4厘米和3厘米，饒它的一條邊旋轉得到的圓柱的體積最大是多少？ 例 題 1第 5講 圓柱和圓錐的體積二一個圓柱和一個圓錐等底等高，它們的體積差是30立方分米，求圓柱和圓錐的體積。思路點撥圓柱的體積等于與它等底等高的圓錐體積的三倍，把圓錐的體積看作1份，圓柱的體積是3份。它們的體積差是3-1=2份，2份是30立方分米，先求出一份：30÷2=15立方分米，一份是圓錐的體積；圓柱的體積是3份：15×3=45立方分米。同步練習1.一個圓柱和一個圓錐等底等高

13、，圓柱和圓錐的體積相差6立方厘米，圓柱和圓錐的體積各是多少立方厘米？2.一個圓柱和一個圓錐等底等高，它們的體積和是20立方分米，圓柱和圓錐的體積各是多少立方厘米？例 題 2李華要鑄造一個直徑是4厘米，長2分米的圓柱形零件毛坯，應截直徑為8厘米的圓鋼多長？思路點撥鑄造圓柱形零件毛坯時，雖然形狀發生了變化，但體積沒有變，直徑8厘米的圓鋼的體積等于直徑4厘米、長2分米的圓柱的體積。先求出直徑4厘米、長2分米的圓柱的體積注意先統一單位名稱，這個也就是直徑8厘米的圓鋼的體積，用體積除以底面積就可以求出圓鋼的長度。同步練習1.鍛造廠要鍛造一個直徑為60毫米，高20毫米的圓柱體零件毛坯，要截取直徑為40毫米

14、的圓鋼多長？2.將一塊底面積為5平方分米、高6分米的長方體鐵塊熔鑄成底面積為8平方分米的圓錐，圓錐的高是多少分米？例 題 34厘米3厘米 旋轉下列圖這個直角三角形得到的圓錐的體積是多少？思路點撥由于是繞三角形的一條長4厘米的直角邊旋轉，那么這條直角邊就成為圓錐的高，而另一條直角邊3厘米成為圓錐的底面半徑，再根據圓錐的體積公式就能求出體積。 同步練習1. 旋轉下列圖這個直角三角形得到的圓錐的體積是多少？8厘米6厘米2.一個直角三角形的兩條直角邊分別是6厘米和5厘米，饒它的一條直角邊旋轉得到的圓錐的體積最大是多少？ 3.一個直角三角形的三條邊分別是5厘米、4厘米、3厘米，饒它的一條直角邊旋轉得到的

15、圓錐的體積最大是多少？知識概述第6講 解決問題的策略 雞兔同籠問題是我國古代著名的數學趣題，最早出現在?孫子算經?中。解決這類問題有兩類方法，一類是“假設法古代民間一般是這種方法，另一類是方程解法。例 題 1 一共有5只雞和兔放在同一個籠子里，它們一共有12只腳，那么籠子里一共有幾只雞？幾只兔？思路點撥1如果籠子里都是兔子，那么就有5×4=20只腳，這樣就多出20-12=8只腳。2一只兔子比一只雞多2只腳，也就是有8÷2=4只雞。3所以籠子里有4只雞，1只兔子。方法一：假設法假設都是雞：腳的只數：5×2=10只 比實際少：12-10=2只 每只雞比兔少算：4-2=

16、2只 兔的只數：2÷2=1只雞的只數：5-1=4只假設都是兔：腳的只數：5×4=20只 比實際多：20-12=8只 每只兔比雞多算：4-2=2只 雞的只數：8÷2=4只 兔的只數：5-4=1只 方法二：列方程。解：設兔是只，那么，雞的只數就是5-只4X+25-X=124X+102X =12 2X+10 =12 2X =2 X=151=4只答：雞有4只，兔有1只。同步練習1.雞和兔放在一只籠子里，上面有29個頭，下面有92只腳。問籠中雞和兔各有多少只？2.停車場上有小轎車和二輪摩托車共8輛，一共有30個車輪，那么小轎車有幾輛？二輪摩托車有幾輛？例 題 2 東湖小學六

17、年級舉行數學競賽,共20道試題.做對一題得5分,沒有做一題或做錯一題倒扣3分。劉剛得了60分,那么他做對了多少道題？思路點撥做這樣的題目同樣可以用假設法和方程法兩種方法，關鍵要找出做對一道題和做錯一道題之間的分值差。 假設法：20題都做對了 共得分：20×5=100分 比實際多得：10060=40分 把一個錯題看成對題相差：5+3=8分 錯題：40÷8=5道 正確：205=15道方程法： 解:設做錯了X道，那么做對了20X道。 520X3X=60 1005X3X=60 1008X=60 8X=40同步練習 X=5 正確：205=15道 答：他做對了15道題目。1.工人運青瓷

18、花瓶250個,規定完整運一個到目的地給運費20元,損壞一個倒賠100元，運完這批花瓶后，工人共得4400元,那么損壞了多少只？2.某次數學測驗共20題,做對一題得5分,做錯一題或不做一題倒扣1分,小華得了76分,問他做對幾題？例 題 3思路點撥 100個和尚，共吃了100個饅頭，大和尚每人吃4個，小和尚每4個人吃1個，求大、小和尚各有多少人？做這樣的題目同樣可以用假設法或一一列舉的策略兩種方法。如果用假設的方法關鍵是找到1個大和尚與1個小和尚吃饅頭數量的差。同步練習1.大人和小孩80人，共吃了200個蘋果，大人每人吃3個，小孩每3人吃1個，求大人、小孩各有多少人？第7講 比和比例一知識概述用比

19、例知識解應用題步驟是：1.審題，找出提中鐵相關聯的兩種量；根據正、反比例的概念進行判斷，分析相關聯的兩個量是什么關系，看兩個量是商一定還是積一定，如果是商一定就是正比例關系，如果積一定就是反比例關系；2.找出兩種相關聯量的對應數值；3.設未知數，列出比例式；4.解比例式；5.檢驗，寫答句。解答比例應用題時，還要靈活運用“比和“分數之間的轉化。例 題 1思路點撥在比例尺是的地圖上，量的兩地距離是15厘米，一輛汽車以每小時45千米的速度從地出發，經過多少小時才能到達地？ 因為，所以，可以用比例的知識求出實際距離，再根據“路程÷速度=時間，求出行駛的時間。這道題還可以這樣思考：比例尺是，即

20、圖上距離是實際距離的，實際距離是圖上距離的800000倍。用圖上距離除以或者用圖上距離乘800000，都可以求出實際距離，求出實際距離后再求行駛的時間。同步練習1.在比例尺是1:500000的地圖上，量得甲、乙兩地之間的距離是3.5厘米，甲、乙兩地相距多少千米？2.在一幅1:3000000的地圖上，量得甲、乙兩地公路長14厘米，一輛汽車從甲地到乙地行駛了7小時，平均每小時行多少千米？例 題 2思路點撥在比例尺是1:6000000的地圖上，量得濟南到青島的距離是8厘米。在比例尺是1:8000000的地圖上，濟南到青島的距離是多少厘米？ 同步練習先根據“比例尺是1:6000000的地圖上，量得濟南

21、到青島的距離是8厘米，求出濟南到青島的實際距離；再用實際距離乘或者除以8000000，求出在比例尺是1:8000000的地圖上濟南到青島的圖上距離。1.在比例尺的地圖上，量得兩地間的距離是4厘米，實際距離是多少千米？如果將這段實際距離畫在比例尺為的地圖上，應畫幾厘米？2.在比例尺是1:8000000的地圖上，量得兩個城市的距離是12厘米，在比例尺是1:6000000的地圖上，量得兩個城市的距離是幾厘米？例 題 3思路點撥 一塊長方形的地，畫在了一張比例尺為1：1000的圖紙上，從圖上量得它的長是7.5厘米，寬是3厘米，這個長方形地的實際的面積是多少平方米？ 根據比例尺和長與寬的圖上距離求得長與

22、寬的實際距離，從而再求出面積。同步練習1.一塊三角形的地，畫在了一張比例尺為1：2000的圖紙上，從圖上量得它的底是5厘米，高是4厘米，這個三角形地的實際的面積是多少平方米？2.如圖是一個半圓形的花壇，請求出這個花壇實際的周長與面積？比例尺： 10厘米例 題 1第8講 比和比例二工廠要加工1920個零件，前5天加工了240個。照這樣計算，余下的還需要多少天才能完成？思路點撥因為工作總量÷工作時間=工作效率一定，所以工作總量和工作時間成正比例。列比例式時要注意工作總量和工作時間要相對應，可以直接設余下的還需x天才能完成，對應的工作總量是1920-240=1680個；也可以間接設一共需要x天才能完成，對應的工作總量是1920個，求出總天數后減去5天就是還需要的天數。同步練習1.某筑路隊要筑16.2千米路，4天筑了7.2千米。用同樣速度，其余的還要幾天才能筑好？2.食堂進一批煤，原方案每天