1、§6.7 定積分的應用-1 教學目的：熟練運用定積分知識，在已知經濟函數的邊際函數條件下計算其相應原函數或函數值重點：1.弄清常用經濟函數的實際問題的意義，正確列出相關定積分表達式2.利用積分概念與性質簡化計算難點：收益流的現值和將來值教學方法：講練結合教學過程：五、由邊際函數求原函數 經濟函數 .例1 生產某產品的邊際成本函數為,固定成本,求生產個產品的總成本函數解:提問：平均成本如何求？練習1： 生產某產品的邊際成本為,當產量由200增加到300時,需增加成本多少？ 解: 需增加成本為例2 已知邊際收益為,設,求收益函數解:練習2： 某工廠生產某商品在時刻的總產量變化率為(單位/

2、小時)求由到這兩小時的總產量解: 兩小時的總產量為練習3：某工廠生產某商品在時刻的總產量變化率為(單位/小時)求由到這兩小時的總產量解: 兩小時的總產量為（單位）練習4.已知某產品總產量的變化率是時間(單位:年)的函數 ,求第一個五年和第二個五年的總產量各為多少?解, .例3. 已知某產品生產個單位時,總收益的變化率(邊際收益)為,(1)求生產了50個單位時的總收益;(2)如果已經生產了100個單位,求再生產100個單位時的總收益.解, .例4 設某種商品每天生產單位時固定成本為20元,邊際成本函數為(元/單位),求總成本函數.若該商品規定的銷售單價為18元，且產品可以全部售出，求總利潤函數，

3、并問每天生產多少單位時才能獲得最大利潤.解：總成本函數.總利潤函數由，又所以每天生產 單位時，總利潤最大，且（元）.例（2013.10）設生產某產品的固定成本為60000元，可變成本為20元/件，價格函數為,（是單價，單位：元，是銷量，單位：件），已知產銷量平衡，求：（1）該商品的邊際利潤；（2）當時的邊際利潤，并解釋其經濟意義；（3）使得利潤最大的定價.解 由可知，由，（1） 邊際利潤；（2） 令，經濟意義：當產品價格為時，價格每增長1元時收益減少20000.（3） 令，得，又，故時利潤最大.練習5：某產品的總成本(萬元)的變化率(邊際成本),總收益(萬元)的變化率(邊際收益)為生產量(百臺

4、)的函數 ,(1)求生產量等于多少時,總利潤為最大.(2)從利潤最大的生產量又生產了100臺,總利潤減少了多少解(1),由,得,，所以時,總利潤最大.(2),所以減少了5000元.練習6：(92.4.) 設生產某產品的固定成本為10,而當產量為時的邊際成本函數為,邊際收入函數為,試求(1)總利潤函數;(2)使總利潤最大的產量.解 (1)總成本函數為: 總收入函數為:總利潤函數為 令 即又 ,所以為極大值點,也是獲得最大利潤點故 時總利潤最大.例5 在某地區當消費者個人收入為時,消費支出的變化率,當個人收入由900增加到1600時,消費支出增加多少？ 解:消費支出增加 練習7：已知生產某產品單位

5、時的邊際收入為( 元/單位)，求生產40單位時的總收入及平均收入，并求再增加生產10個單位時所增加的總收入解:因為 ，所以生產40單位時的總收入為（元）生產40單位時的平均收入為（元）為在生產40單位后再增加生產10個單位時所增加的總收入（元）（生產50個單位產品時總收益最大）練習8:已知生產某商品單位時，邊際收益函數為（元/單位），試求生產單位時總收益以及平均單位收益，并求生產這種產品2000單位時的總收益和平均單位收益.解：總收益 .平均單位收益；當生產2000單位時，總收益 （元）；平均單位收益 （元）.例6 假設某產品的邊際收入為( 萬元/萬臺)，邊際成本為(萬元/萬臺)，其中產量以萬

6、臺為單位，（1）求產量由4萬臺增加到5萬臺時利潤的變化量；（2）當產量為多少利潤最大？（3）已知固定成本為1萬元，求總成本函數和總利潤函數解：（1）邊際利潤為（萬元）（）由得唯一駐點（萬元），即當產量為萬元時利潤最大（）由已知 三、收益流的現值和將來值 1.由第二章第五節 連續復利(時時刻刻在計息 )知識知道若以連續復利率計息，將一筆元的人民幣從現在起存銀行，t年后的價值（將來值）為若t年后得到元的人民幣，則現在需要存入銀行的金額（現值）為 2.收益流(1)收益流隨時間連續變化的收益(2)收益流量收益流對時間的變化率(3) 兩者的關系 若收益以元為單位,時間以年為單位,收益流量單位為:元/年.

7、若為常數,則稱該收益流具有常數流量(收益率).3.現值和將來值(1)將來值將收益流存入銀行并加上利息之后的存款值(2)現值收益流的現值是這樣一筆款項,若把它存入可獲息的銀行,將來從收益流中獲得的總收益,與包括利息在內的銀行存款值,有相同的價值.總收益減去利息的所得.4.計算公式若不考慮利息,則從時刻開始,以為收益率的收益流到時刻的總收益為 .若考慮利息,為簡單起見,假設以連續復利率計息,對于一筆收益率為(元/年)的收益流,計算現值和將來值假設連續復利率為,收益流的收益流量為(元/年),時間段為從到年,那么(1) 收益流的總現值為: 證明：取中的任一小區間,在期間的收益近似為,此收益可以近似看作

8、單筆在t點的收益，其現值近似為,所以收益流的總現值為: (2)收益流的將來值為: 證明：取中的任一小區間,在期間的收益為,其將來值近似為,所以收益流的總將來值為:例7 假設以連續復利率計息, (1)求收益流量為100元/年的收益在20年期間的現值和將來值；(2)將來值和現值的關系如何?解釋這一關系解：(1)收益在20年期間的現值 (元),將來值 (元);(2). 說明:將單獨的一筆款項存入銀行,并以連續復利率計息,那么這筆款項20年后的將來值為,這個將來值正好等于收益流在20年期間的將來值.結論 將來值和現值的關系 將來值現值.例8 設有一項計劃現在()需要投入1000萬元,在10年中每年收益為200萬元.若連續復利率為,求收益資本價值.(設購置的設備10年后完全失去價值).解：由于資本的價值收益流的現值投入資金的現值,那么 （200萬元為每年的收益流量）(萬元).例9某企業一項為期10年的投資需購置成本80萬元,每年的收益流量為