1、第六章 定積分的應用第六章 定積分的應用一、基本要求及重點、難點 1、 基本要求：（1）理解定積分的元素法。（2）掌握科學技術問題中建立定積分表達式的元素法（微元法），會建立某些簡單幾何量（如平面圖形的面積、旋轉體的體積、平面曲線的弧長等）和物理量（如功、水壓力等）的積分表達式。2、 重點及難點：（1）重點：一些簡單幾何量的定積分表示 （2）難點：定積分的元素法二、內容概述1、(1) 應用定積分的元素法，關鍵是根據題中的具體條件，利用幾何或物理的知識，求出所求量的微元。步驟為：(a) 選取坐標系，確定積分變量并確定其變化區間a，b。(b) 任取一個小區間x，x +dx a，b，計算在這個小區間

2、上部分量的近似值，(c)求解定積分(2) 重點掌握求平面圖形的面積，先作平面區域的大致圖形，根據具體條件選用適當的坐標系，在直角坐標系下，選取適當的積分變量和積分區間，然后寫出面積的積分表達式進行計算；若平面圖形由曲線及圍成，則平面圖形的面積為。在極坐標系下，若有曲線及射線所圍成的曲邊扇形，則曲邊扇形的面積為；若有曲線及（）射線所圍成的曲邊扇形，則曲邊扇形的面積為；(3) 重點掌握求立體的體積：(a) 旋轉體的體積：繞x(或y)軸旋轉，取x(或y)為積分變量，并確定x(或y)的積分區間；(b) 已知截面面積求體積：重點找出x點處截面面積函數(4) 重點掌握求平面曲線的弧長，重點掌握參數方程所表

3、示的曲線弧的弧長。2、面積公式 分類 公式 圖例 直 角 坐標系 極坐標系由曲線分段連續及與x軸所圍成的曲邊梯形的面積：由曲線分段連續及與y所圍成的曲邊梯形的面積：由曲線分段連續及所圍成的曲邊圖形的面積：由曲線分段連續及所圍成的曲邊梯形的面積：若曲線由參數方程表示 上具有連續導數，連續，則該曲線與軸所圍成的曲邊梯形的面積：A=由曲線及射線所圍成的曲邊扇形的面積：由曲線及射線所圍成的平面圖形的面積：2、體積公式； 分類 公式 圖例平 的面 立截 體面 的已 體知 積物體位于之間，過點x且垂直于x軸的截面面積為，則立體的體積為： 旋 轉 體 的 體 積由曲線，直線及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一

4、周而成的立體體積為： 由曲線，直線及y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉一周而成的立體體積為： 3、平面曲線的弧長 分類 公式 直角坐標設為光滑曲線，則在弧段上弧長為：參數方程若光滑曲線由參數方程給出，則曲線弧弧長為： 極坐標若曲線弧由極坐標方程給出，且上具有連續導數，則曲線弧弧長為：4、定積分在物理學上的應用 分類公式變力沿直線作功若積分變量為，變力的函數表達式為，則變力沿直線所作的功為：水壓力若將由曲線及直線所圍成的平面薄板鉛直放入水中，水的比重為，取軸鉛直向下，液面為軸，則平面薄板一側所受的壓力為： 引力當引力的方向不隨小區間的改變而變化時，被積函數即為兩質點間的引力，其中為兩質點間的距離，為

5、引力系數，、分別為兩質點的質量。 當引力的方向隨小區間的改變而變化時，將引力分解成軸、軸方向的二個分力，再分別用元素法得出定積分的表示式。三、典型例題分析例1：求由曲線,所圍圖形的面積。解：如圖3-1 圖3-1例2：求心臟線與所圍成的陰影部分面積如圖3-2解：如圖3-2 圖3-2 例3：設為曲線上的一點，此曲線與直線及軸所圍圖形的面積為，求取得最大值時，點得坐標。解：如圖3-3圖3-3 (a),(b) ，舍去，當時，取得最大值，這時點的坐標為。例4：設曲線，軸和軸所圍成的區域被曲線分成面積相等的兩部分，試確定的值。解：如圖3-4由求得圖3-4例5：求曲線，及圍成的平面圖形面積。解：圖：3-5如

6、圖：3-5 例6：在區間上給定函數，問當為何時時，圖3-6中的陰影部分面積最小？何時最大？解：如圖3-6圖3-6令得到交點，當時，取得最小值，當時，取得最大值。例7：設在上可導，且,。試證對圖3-7中所示的兩塊面積 和，存在唯一的，使得。解：如圖3-7 令：圖3-7 單調增加 又所以由閉區間上連續函數的介值定理知，存在唯一的，使 即例8：求房頂的體積。如圖3-8，其底是矩形，長邊長為，短邊長為，其頂的棱平行于長邊，長為，高為。解：原點取在房頂一端，軸方向向下過坐標為的點作水平截面（圖中的陰影部分），設長為，短邊長為，則其面積，根據相似三角形對應邊成比例，可得：圖3-8例9：求由所確定的平面圖形

7、繞軸旋轉所成立體的體積。 解：如圖3-9 圖3-9例10：求曲線所圍圖形繞軸旋轉所成的立體的體積 解：由得交點（4，1）圖3-10例11：曲線繞軸旋轉得一旋轉體，把它在點與之間的體積記作，問為何值時，。 解：舍去）例12：計算由曲線所圍成的圖形的面積繞軸旋轉一周所得的旋轉體的體積。 解：由于立體關于軸對稱，如圖3-12 圖3-12a例13：求曲線的長度。解：所求弧長為 例14：求圓的漸開線 自至一段弧的弧長。解： 例15：求曲線自至的一段弧的弧長。 解： 例16：計算曲線自原點到與鉛直的切線最近的弧長。解： 故使曲線有鉛直切線且離原點最近的點對應的參數值，而原點對應的參數值例17：把拋物線及繞

8、軸旋轉構成一旋轉拋物面的容器，高為，夾層內盛水，水高為，問把水全部抽出，至少需作多少功？解：如圖：圖3-17例18：斜邊為定長的直角三角形簿板，垂直放置于水中，并讓一直角邊與水相齊，設斜邊與水面交成的銳角為，問取多大時，簿板所受的壓力最大？解：建立如圖所示直角坐標系 斜邊方程為：，水壓力圖3-18 令： 得當時， 當時，當時，取得最大值。例19：試求一質量均勻的半圓弧對位于其中心的單位質量的引力。解：如圖 設半圓弧的半徑為，質量為 則引力微元為： 圖3-19四、自測題A及解答（一）選擇題1、曲線及軸所圍圖形面積為A,則A=（ ）：22、拋物線分圓為兩部分，這兩部分面積之比為（ ）： 3、由曲線

9、與軸圍成的圖形繞軸旋轉所成的旋轉體的體積為（ ）：4、曲線所圍圖形面積（ ）： 5、曲線上一段弧長（ ）： （二）填空題1、設曲線與所圍圖形的面積為，則的取值為_ _。2、已知均勻擺線 當時弧長。3、求曲線與軸所圍部分的面積為。4、曲線所圍圖形繞軸旋轉所得的旋轉體的體積。，繞軸旋轉所得的旋轉體的體積。（三）計算題1、求心形線在圓之外部分的面積2、設直線與直線及所圍的梯形面積等于，試求使這塊面積繞軸旋轉所得的體積最小（其中）3、證明曲線的一個周期的弧長等于橢圓的周長4、一邊長為與在矩形薄板斜置于液體中，它與水平面的傾斜角為，薄板邊長為的邊與液面平行，且位于深為處，求薄板所受的壓力5、如果為線性函

10、數，則在上的平均值自測題A參考答案（一）選擇題1、 2、 3、 4、 5、（二）填空題1、 ， 2、 ， 3、 與軸交點為0、1、2在上在上， 4、 （用分部積分法計算）(三)、計算題1、解： 2、解： ，將代入 令 駐點唯一 當時，旋轉體體積最小，最小值為3、解：證：的一個周期的弧長為： 橢圓的周長為： 利用參數方程 4、 如圖 5、 證：函數在上的平均值是指即證 五、自測題B及解答（一）選擇題1、曲線與所圍圖形的面積（ ）： 2、擺線一拱與軸所圍圖形繞軸旋轉所得的旋轉體的體積（ ）： 3、線自點到點的一段曲線弧長（ ）： （二）填空題1、曲線及所為圖形的面積2、已知，則曲線與軸所圍成圖形的

11、面積為。3、求 自至的曲線弧的長度4、在曲線上某點處作一切線，使之與曲線及軸所圍成的圖形面積為，則該切線方程為5、數在區間上的平均值為（三）計算題1、 曲線繞軸旋轉所得立體的體積。2、 已知點與點是星形線上兩點，試在弧上求一點，使得弧的長度為弧之長。3、 曲線繞其漸近線旋轉，求位于所得曲面內的物體的體積。4、 有一圓柱形貯水池深，底半徑為，貯滿了水，要把水全部抽到田地里，問需作功多少？5、 已知曲線與曲線在點有公切線，求：（1）常數及切點。（2）兩曲線與軸所圍平面圖形的面積。 （3）兩曲線與軸所圍平面圖形的面積繞軸旋轉所得的旋轉體的體積。自測題B參考答案（一）選擇題1、 2、)3、（二）填空題 1 、 2、 與的交點，所以3 、 4、 （設坐標為切線方程